En lógica matemática , un cálculo formal , u operación formal , es un cálculo sistemático pero sin justificación rigurosa . Implica manipular símbolos en una expresión mediante una sustitución genérica sin demostrar que se cumplen las condiciones necesarias. En esencia, implica la forma de una expresión sin considerar su significado subyacente. Este razonamiento puede servir como evidencia positiva de que alguna afirmación es verdadera cuando es difícil o innecesario proporcionar pruebas o como inspiración para la creación de nuevas definiciones (completamente rigurosas).
Sin embargo, esta interpretación del término formal no es universalmente aceptada, y algunos consideran que significa todo lo contrario: un argumento completamente riguroso, como en la lógica matemática formal .
Los cálculos formales pueden llevar a resultados erróneos en un contexto, pero correctos en otro. La ecuación
se cumple si q tiene un valor absoluto menor que 1. Ignorando esta restricción y sustituyendo q = 2 se llega a
Sustituyendo q = 2 en la prueba de la primera ecuación, se obtiene un cálculo formal que produce la última ecuación. Pero es erróneo con los números reales, ya que la serie no converge. Sin embargo, en otros contextos (por ejemplo, trabajando con números 2-ádicos o con números enteros módulo una potencia de 2 ), la serie sí converge. El cálculo formal implica que la última ecuación debe ser válida en esos contextos.
Otro ejemplo se obtiene sustituyendo q = -1. La serie resultante 1-1+1-1+... es divergente (sobre los números reales y p-ádicos ) pero se le puede asignar un valor con un método alternativo de suma, como la suma de Cesàro . El valor resultante, 1/2, es el mismo que el obtenido mediante el cálculo formal.
Serie de potencias formal es un concepto que adopta la forma de serie de potencias del análisis real . La palabra "formal" indica que la serie no necesita converger. En matemáticas, y especialmente en álgebra, una serie formal es una suma infinita que se considera independientemente de cualquier noción de convergencia y que puede manipularse con operaciones algebraicas sobre series (suma, resta, multiplicación, división, sumas parciales, etc.).
Una serie de potencias formales es un tipo especial de serie formal, que puede considerarse como una generalización de un polinomio, donde se permite que el número de términos sea infinito, sin requisitos de convergencia. Por lo tanto, la serie ya no puede representar una función de su variable, sino simplemente una secuencia formal de coeficientes, en contraste con una serie de potencias, que define una función tomando valores numéricos para la variable dentro de un radio de convergencia. En una serie de potencias formales, las potencias de la variable se utilizan solo como marcadores de posición para los coeficientes, de modo que el coeficiente de es el quinto término de la secuencia. En combinatoria, el método de generación de funciones utiliza series de potencias formales para representar secuencias numéricas y multiconjuntos, por ejemplo, permitiendo expresiones concisas para secuencias definidas recursivamente independientemente de si la recursión se puede resolver explícitamente. De manera más general, las series de potencias formales pueden incluir series con cualquier número finito (o contable) de variables y con coeficientes en un anillo arbitrario.
Los anillos de series de potencias formales son anillos locales completos, que admiten métodos similares al cálculo en el marco puramente algebraico de la geometría algebraica y el álgebra conmutativa . Son análogos a los números enteros p-ádicos, que pueden definirse como series formales de las potencias de p.
Para resolver la ecuación diferencial
Estos símbolos pueden tratarse como símbolos algebraicos ordinarios y, sin dar ninguna justificación sobre la validez de este paso, tomamos los recíprocos de ambos lados:
Una antiderivada simple :
Como se trata de un cálculo formal , es aceptable dejar y obtener otra solución:
Las soluciones finales se pueden comprobar para confirmar que resuelven la ecuación.
El producto vectorial se puede expresar como el siguiente determinante :
donde es una base ortonormal orientada positivamente de un espacio vectorial euclidiano orientado tridimensional , mientras que son escalares tales que y similares para .
