Límite unilateral

Límite de una función que se aproxima a un punto de valor desde valores por debajo o por encima del punto de valor

La función donde denota la función de signo , tiene un límite izquierdo de un límite derecho de y un valor de función de en el punto ${\displaystyle f(x)=x^{2}+\operatorname {sign} (x),}$ ${\displaystyle \operatorname {sign} (x)}$ ${\displaystyle -1,}$ ${\displaystyle +1,}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x=0.}$

En cálculo , un límite unilateral se refiere a cualquiera de los dos límites de una función de una variable real cuando se aproxima a un punto específico desde la izquierda o desde la derecha. ^{[1] [2]} ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

El límite a medida que disminuye el valor a medida que se acerca ( se acerca "desde la derecha" ^[3] o "desde arriba") se puede denotar: ^{[1] [2]} ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$

$${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)\quad {\text{ or }}\quad \lim _{x\,\downarrow \,a}\,f(x)\quad {\text{ or }}\quad \lim _{x\searrow a}\,f(x)\quad {\text{ or }}\quad f(x+)}$$

El límite a medida que aumenta el valor se acerca ( se acerca "desde la izquierda" ^{[4] [5]} o "desde abajo") se puede denotar: ^{[1] [2]} ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$

$${\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x)\quad {\text{ or }}\quad \lim _{x\,\uparrow \,a}\,f(x)\quad {\text{ or }}\quad \lim _{x\nearrow a}\,f(x)\quad {\text{ or }}\quad f(x-)}$$

Si el límite de cuando tiende a existir, entonces los límites por la izquierda y por la derecha existen y son iguales. En algunos casos en los que el límite no existe, los dos límites unilaterales existen de todos modos. En consecuencia, el límite cuando tiende a veces se denomina "límite bilateral". ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$

Es posible que exista exactamente uno de los dos límites unilaterales (mientras que el otro no exista). También es posible que no exista ninguno de los dos límites unilaterales.

Definición formal

Definición

Si representa algún intervalo que está contenido en el dominio de y si es un punto en entonces el límite del lado derecho como se aproxima puede definirse rigurosamente como el valor que satisface: ^{[6] [ verificación necesaria ]} y el límite del lado izquierdo como se aproxima puede definirse rigurosamente como el valor que satisface: ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle R}$ $${\displaystyle {\text{for all }}\varepsilon >0\;{\text{ there exists some }}\delta >0\;{\text{ such that for all }}x\in I,{\text{ if }}\;0<x-a<\delta {\text{ then }}|f(x)-R|<\varepsilon ,}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle L}$ $${\displaystyle {\text{for all }}\varepsilon >0\;{\text{ there exists some }}\delta >0\;{\text{ such that for all }}x\in I,{\text{ if }}\;0<a-x<\delta {\text{ then }}|f(x)-L|<\varepsilon .}$$

Podemos representar lo mismo de forma más simbólica, de la siguiente manera.

Sea un intervalo, donde , y . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I\subseteq \mathrm {domain} (f)}$ ${\displaystyle a\in I}$

$${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)=R~~~\iff ~~~(\forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{+},\exists \delta \in \mathbb {R} _{+},\forall x\in I,(0<x-a<\delta \longrightarrow |f(x)-R|<\varepsilon ))}$$

$${\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x)=L~~~\iff ~~~(\forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{+},\exists \delta \in \mathbb {R} _{+},\forall x\in I,(0<a-x<\delta \longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon ))}$$

Intuición

En comparación con la definición formal del límite de una función en un punto, el límite unilateral (como lo sugiere el nombre) solo trata con valores de entrada a un lado del valor de entrada alcanzado.

Como referencia, la definición formal del límite de una función en un punto es la siguiente:

$${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L~~~\iff ~~~\forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{+},\exists \delta \in \mathbb {R} _{+},\forall x\in I,0<|x-a|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon .}$$

Para definir un límite unilateral, debemos modificar esta desigualdad. Nótese que la distancia absoluta entre y es ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$

$${\displaystyle |x-a|=|(-1)(-x+a)|=|(-1)(a-x)|=|(-1)||a-x|=|a-x|.}$$

Para el límite desde la derecha, queremos estar a la derecha de , lo que significa que , por lo tanto es positivo. Desde arriba, es la distancia entre y . Queremos acotar esta distancia con nuestro valor de , lo que da la desigualdad . Juntando las desigualdades y y usando la propiedad de transitividad de las desigualdades, tenemos la desigualdad compuesta . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a<x}$ ${\displaystyle x-a}$ ${\displaystyle x-a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle x-a<\delta }$ ${\displaystyle 0<x-a}$ ${\displaystyle x-a<\delta }$ ${\displaystyle 0<x-a<\delta }$

De manera similar, para el límite desde la izquierda, queremos estar a la izquierda de , lo que significa que . En este caso, es que es positivo y representa la distancia entre y . Nuevamente, queremos limitar esta distancia con nuestro valor de , lo que conduce a la desigualdad compuesta . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x<a}$ ${\displaystyle a-x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle 0<a-x<\delta }$

Ahora bien, cuando nuestro valor de está en su intervalo deseado, esperamos que el valor de también esté dentro de su intervalo deseado. La distancia entre y , el valor límite del límite del lado izquierdo, es . De manera similar, la distancia entre y , el valor límite del límite del lado derecho, es . En ambos casos, queremos limitar esta distancia por , por lo que obtenemos lo siguiente: para el límite del lado izquierdo, y para el límite del lado derecho. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle |f(x)-L|}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle |f(x)-R|}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon }$ ${\displaystyle |f(x)-R|<\varepsilon }$

Ejemplos

Ejemplo 1 : Los límites desde la izquierda y desde la derecha decuandose aproximason La razónes porquesiempre es negativo (ya quesignifica quecon todos los valores de quesatisfacen), lo que implica quesiempre es positivo de modo quediverge ^{[nota 1]} hacia(y no hacia) cuandose aproximadesde la izquierda. De manera similar,dado que todos los valores desatisfacen(dicho de otra manera,siempre es positivo) cuandose aproximadesde la derecha, lo que implica quesiempre es negativo de modo quediverge hacia ${\displaystyle g(x):=-{\frac {1}{x}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a:=0}$ $${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{-1/x}=+\infty \qquad {\text{ and }}\qquad \lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}=-\infty }$$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{-1/x}=+\infty }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\to 0^{-}}$ ${\displaystyle x\to 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x<0}$ ${\displaystyle -1/x}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{-1/x}}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}=-\infty }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle -1/x}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}}$ ${\displaystyle -\infty .}$

Gráfica de la función ${\displaystyle 1/(1+2^{-1/x}).}$

Ejemplo 2 : Un ejemplo de una función con diferentes límites unilaterales es(cf. imagen) donde el límite desde la izquierda esy el límite desde la derecha es Para calcular estos límites, primero demuestre que (lo cual es cierto porque) de modo que en consecuencia, mientras que debido a que el denominador diverge al infinito; es decir, porque Dado queel límiteno existe. ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+2^{-1/x}}},}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}f(x)=0}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}f(x)=1.}$ $${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}2^{-1/x}=\infty \qquad {\text{ and }}\qquad \lim _{x\to 0^{+}}2^{-1/x}=0}$$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{-1/x}=+\infty {\text{ and }}\lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}=-\infty }$ $${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{1+2^{-1/x}}}={\frac {1}{1+\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}2^{-1/x}}}={\frac {1}{1+0}}=1}$$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{1+2^{-1/x}}}=0}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}1+2^{-1/x}=\infty .}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}f(x)\neq \lim _{x\to 0^{+}}f(x),}$ ${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x)}$

Relación con la definición topológica del límite

El límite unilateral de un punto corresponde a la definición general de límite , con el dominio de la función restringido a un lado, ya sea permitiendo que el dominio de la función sea un subconjunto del espacio topológico, o considerando un subespacio unilateral, incluyendo ^{[1] [ verificación necesaria ]} Alternativamente, se puede considerar el dominio con una topología de intervalo semiabierto . ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p.}$

Teorema de Abel

Un teorema notable que trata los límites unilaterales de ciertas series de potencias en los límites de sus intervalos de convergencia es el teorema de Abel . ^{[ cita requerida ]}

Notas

1. Se dice que un límite que es igual a diverge a en lugar de converger a Lo mismo es cierto cuando un límite es igual a ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty .}$ ${\displaystyle -\infty .}$

Referencias

1. «Límite unilateral - Enciclopedia de Matemáticas». encyclopediaofmath.org . Consultado el 7 de agosto de 2021 .
2. Fridy, JA (24 de enero de 2020). Análisis introductorio: la teoría del cálculo. Gulf Professional Publishing. pág. 48. ISBN 978-0-12-267655-0. Recuperado el 7 de agosto de 2021 .
3. Hasan, Osman; Khayam, Syed (2 de enero de 2014). "Hacia el criptoanálisis lineal formal utilizando HOL4" (PDF) . Journal of Universal Computer Science . 20 (2): 209. doi :10.3217/jucs-020-02-0193. ISSN  0948-6968.
4. Gasic, Andrei G. (12 de diciembre de 2020). Fenómenos de fase de las proteínas en la materia viva (Tesis doctoral).
5. Brokate, Martin; Manchanda, Pammy; Siddiqi, Abul Hasan (2019), "Límite y continuidad", Cálculo para científicos e ingenieros , Matemáticas industriales y aplicadas, Singapur: Springer Singapur, págs. 39-53, doi :10.1007/978-981-13-8464-6_2, ISBN 978-981-13-8463-9, S2CID  201484118 , consultado el 11 de enero de 2022
6. Giv, Hossein Hosseini (28 de septiembre de 2016). Análisis matemático y su naturaleza inherente. American Mathematical Soc. pág. 130. ISBN 978-1-4704-2807-5. Recuperado el 7 de agosto de 2021 .

Véase también

• Línea real extendida proyectivamente
• Semidiferenciabilidad
• Límite superior y límite inferior