Objeto gordo (geometría)

En geometría , un objeto gordo es un objeto en dos o más dimensiones, cuyas longitudes en las distintas dimensiones son similares. Por ejemplo, un cuadrado es gordo porque su largo y ancho son idénticos. Un rectángulo de 2 por 1 es más delgado que un cuadrado, pero es grueso en comparación con un rectángulo de 10 por 1. De manera similar, un círculo es más grueso que una elipse de 1 por 10 y un triángulo equilátero es más grueso que un triángulo muy obtuso .

Los objetos gordos son especialmente importantes en geometría computacional . Muchos algoritmos en geometría computacional pueden funcionar mucho mejor si su entrada consiste únicamente en objetos gruesos; consulte la sección de aplicaciones a continuación.

Gordura global

Dada una constante R ≥1, un objeto o se llama R -gordo si su "factor de delgadez" es como máximo R . El "factor de delgadez" tiene diferentes definiciones en diferentes artículos. Una definición común ^[1] es:

${\displaystyle {\frac {{\text{side of smallest cube enclosing}}\ o}{{\text{side of largest cube enclosed in}}\ o}}}$

donde o y los cubos son d -dimensionales. Un cubo bidimensional es un cuadrado , por lo que el factor de delgadez de un cuadrado es 1 (ya que su cuadrado más pequeño es el mismo que su disco más grande). El factor de delgadez de un rectángulo de 10 por 1 es 10. El factor de delgadez de un círculo es √2. Por lo tanto, según esta definición, un cuadrado tiene 1 grasa, pero un disco y un rectángulo de 10 × 1 no son 1 grasa. Un cuadrado también tiene 2 grasas (ya que su factor de delgadez es inferior a 2), 3 grasas, etc. Un disco también tiene 2 grasas (y también 3 grasas, etc.), pero un rectángulo de 10 × 1 no es 2. -gordo. Cada forma es ∞-grasa, ya que por definición el factor de delgadez es siempre como máximo ∞.

La definición anterior puede denominarse gordura de dos cubos, ya que se basa en la relación entre las longitudes de los lados de dos cubos. De manera similar, es posible definir la gordura de dos bolas , en las que en su lugar se utiliza una bola d-dimensional . ^[2] Una bola bidimensional es un disco . Según esta definición alternativa, un disco tiene 1 grasa pero un cuadrado no tiene 1 grasa, ya que su delgadez de dos bolas es √2.

Una definición alternativa, que puede denominarse gordura de bola envolvente (también llamada "espesor" ^[3] ) se basa en el siguiente factor de delgadez:

${\displaystyle \left({\frac {{\text{volume of smallest ball enclosing}}\ o}{{\text{volume of}}\ o}}\right)^{1/d}}$

El exponente 1/ d hace que esta definición sea una relación de dos longitudes, por lo que es comparable a la gordura de dos bolas.

Aquí también se puede utilizar un cubo en lugar de una bola.

De manera similar, es posible definir la gordura de la bola encerrada basándose en el siguiente factor de delgadez:

${\displaystyle \left({\frac {{\text{volume of}}\ o}{{\text{volume of largest ball enclosed in}}\ o}}\right)^{1/d}}$

Grasa envolvente versus gordura cerrada

La delgadez de la bola/cubo envolvente puede ser muy diferente de la delgadez de la bola/cubo cerrado.

Por ejemplo, considere una paleta con un caramelo en forma de cuadrado de 1×1 y un palo en forma de rectángulo b ×(1/ b ) (con b >1>(1/ b )). A medida que b aumenta, el área del cubo encerrado (≈ b ² ) aumenta, pero el área del cubo encerrado permanece constante (=1) y el área total de la forma también permanece constante (=2). Por lo tanto, la delgadez del cubo cerrado puede crecer arbitrariamente mientras que la delgadez del cubo cerrado permanece constante (=√2). Vea esta página de GeoGebra para una demostración.

Por otro lado, considere una 'serpiente' rectilínea con ancho 1/b y longitud b , que está completamente doblada dentro de un cuadrado de lado 1. A medida que b aumenta, el área del cubo encerrado (≈1/ b ² ) disminuye , pero las áreas totales de la serpiente y del cubo que la rodea permanecen constantes (=1). Por lo tanto, la delgadez del cubo cerrado puede crecer arbitrariamente mientras que la delgadez del cubo envolvente permanece constante (=1).

Tanto en la piruleta como en la serpiente, la delgadez de los dos cubos crece arbitrariamente, ya que en general:

delgadez-de-bola-cerrada ⋅ delgadez-de-bola-cerrada = delgadez-de-dos-bolas

delgadez-del-cubo-cerrado ⋅ delgadez-del-cubo-cerrado = delgadez-de-dos-cubos

Dado que todos los factores de delgadez son al menos 1, se deduce que si un objeto o es R-graso según la definición de dos bolas/cubos, también es R-graso según la bola/cubo encerrado y la bola/cubo encerrado. definiciones (pero lo contrario no es cierto, como se ejemplificó anteriormente).

Bolas versus cubos

El volumen de una bola d -dimensional de radio r es : , donde V _d es una constante dependiente de la dimensión: ${\displaystyle V_{d}\cdot r^{d}}$

${\displaystyle V_{d}={\frac {\pi ^{d/2}}{\Gamma ({\frac {d}{2}}+1)}}}$

Un cubo d -dimensional con una longitud de lado 2 a tiene volumen (2 a ) ^d . Está encerrado en una bola d -dimensional con radio a√d cuyo volumen es V _d ( a√d ) ^d . Por lo tanto, para cada objeto d -dimensional:

delgadez-de-bola-cerrante ≤ delgadez-de-cubo-cerrante ⋅ . ${\displaystyle {V_{d}}^{1/d}\cdot {\sqrt {d}}/2}$

Para dimensiones pares ( d = 2 k ), el factor se simplifica a: . En particular, para formas bidimensionales V ₂ =π y el factor es: √(0.5 π)≈1.25, entonces: ${\displaystyle {\sqrt {0.5\pi k}}/{{(k!)}^{1/2k}}}$

delgadez del disco envolvente ≤ delgadez del cuadrado envolvente ⋅ 1,25

De consideraciones similares:

delgadez-de-cubo-cerrado ≤ delgadez-de-bola-cerrada ⋅ ${\displaystyle {V_{d}}^{1/d}\cdot {\sqrt {d}}/2}$

delgadez-cuadrado-cerrado ≤ delgadez-disco-cerrado ⋅ 1,25

Una bola d -dimensional con radio a está encerrada en un cubo d -dimensional con una longitud de lado 2 a . Por lo tanto, para cada objeto d -dimensional:

delgadez-del-cubo-que encierra ≤ delgadez-de-la-bola-que encierra ⋅ ${\displaystyle 2/{V_{d}}^{1/d}}$

Para dimensiones pares ( d = 2 k ), el factor se simplifica a: . En particular, para formas bidimensionales el factor es: 2/√π≈1.13, entonces: ${\displaystyle 2/{(k!)}^{1/2k}/{\sqrt {\pi }}}$

delgadez-del-cuadrado-cerrante ≤ delgadez-del-disco-cerrante ⋅ 1,13

De consideraciones similares:

delgadez-de-bola-cerrada ≤ delgadez-de-cubo-cerrado ⋅ ${\displaystyle 2/{V_{d}}^{1/d}}$

delgadez-de-disco-cerrado ≤ delgadez-de-cuadrado-cerrado ⋅ 1,13

Al multiplicar las relaciones anteriores se obtienen las siguientes relaciones simples:

delgadez-de-dos-bolas ≤ delgadez-de-dos-cubos ⋅ √ d

delgadez-de-dos-cubos ≤ delgadez-de-dos-bolas ⋅ √ d

Por lo tanto, un objeto R -fat según la definición de dos bolas o de dos cubos es como máximo R √ d -fat según la definición alternativa.

Gordura local

Todas las definiciones anteriores son globales en el sentido de que no les importan las áreas pequeñas y delgadas que forman parte de un objeto grande y gordo.

Por ejemplo, considere una paleta con un caramelo en forma de cuadrado de 1×1 y un palo en forma de rectángulo de 1×(1/ b ) (con b >1>(1/ b )). A medida que b aumenta, el área del cubo encerrado (=4) y el área del cubo encerrado (=1) permanecen constantes, mientras que el área total de la forma cambia sólo ligeramente (=1+1/ b ). Por lo tanto, los tres factores de delgadez están acotados: delgadez del cubo cerrado ≤2, delgadez del cubo cerrado ≤2, delgadez de dos cubos = 2. Por lo tanto, según todas las definiciones, la piruleta tiene 2 grasas. Sin embargo, la parte del palito de la piruleta obviamente se vuelve cada vez más delgada.

En algunas aplicaciones, partes tan delgadas son inaceptables, por lo que la gordura local , basada en un factor de delgadez local, puede ser más apropiada. Para cada factor de delgadez global, es posible definir una versión local. Por ejemplo, para la delgadez de la bola envolvente, es posible definir el factor de delgadez de la bola envolvente local de un objeto o considerando el conjunto B de todas las bolas cuyo centro está dentro de o y cuyo límite cruza el límite de o ( es decir, que no contiene completamente o ). El factor de delgadez de la bola envolvente local se define como: ^{[3] [4]}

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot \sup _{b\in B}\left({\frac {{\text{volume of}}\ B}{{\text{volume of}}\ B\cap o}}\right)^{1/d}}$

El 1/2 es un factor de normalización que hace que la delgadez de la bola envolvente local de una bola sea igual a 1. La delgadez de la bola envolvente local de la forma de paleta descrita anteriormente está dominada por 1×(1/ b ) se pega, y va a ∞ a medida que b crece. Por lo tanto, según la definición local, la paleta anterior no tiene 2 grasas.

Definiciones globales versus locales

La gordura local implica gordura global. Aquí hay un boceto de prueba de gordura basado en bolas encerradas. Por definición, el volumen de la bola más pequeña que la rodea es ≤ el volumen de cualquier otra bola que la rodea. En particular, es ≤ el volumen de cualquier bola circundante cuyo centro esté dentro de o y cuyo límite toque el límite de o . Pero cada una de estas bolas envolventes está en el conjunto B considerado por la definición de delgadez de la bola envolvente local. Por eso:

delgadez-de-la-bola-que encierra ^d =

= volumen (la bola que encierra la más pequeña)/volumen ( o )

≤ volumen(bola-que-encierra- b -en- B )/volumen( o )

= volumen(bola-que-encierra- b -en- B )/volumen( b ∩ o )

≤ (2 delgadez de la bola envolvente local) ^d

Por eso:

delgadez-de-la-bola-cerrada ≤ 2⋅delgadez-de-la-bola-cerrada-local

Para un cuerpo convexo , lo contrario también es cierto: la gordura local implica gordura global. La prueba ^[3] se basa en el siguiente lema. Sea o un objeto convexo. Sea P un punto en o . Sean by B dos bolas centradas en P tales que b es menor que B. Entonces o interseca una porción mayor de b que de B , es decir:

${\displaystyle {\frac {{\text{volume}}\ (b\cap o)}{{\text{volume}}\ (b)}}\geq {\frac {{\text{volume}}\ (B\cap o)}{{\text{volume}}\ (B)}}}$

Bosquejo de prueba: estando en el punto P , podemos mirar diferentes ángulos θ y medir la distancia al límite de o . Como o es convexa, esta distancia es una función, digamos r ( θ ). Podemos calcular el lado izquierdo de la desigualdad integrando la siguiente función (multiplicada por alguna función determinante) en todos los ángulos:

${\displaystyle f(\theta )=\min {({\frac {r(\theta )}{{\text{radius}}\ (b)}},1)}}$

De manera similar podemos calcular el lado derecho de la desigualdad integrando la siguiente función:

${\displaystyle F(\theta )=\min {({\frac {r(\theta )}{{\text{radius}}\ (B)}},1)}}$

Al marcar los 3 casos posibles, es posible demostrar que siempre . Por tanto, la integral de f es al menos la integral de F , y el lema sigue. ${\displaystyle f(\theta )\geq F(\theta )}$

La definición de delgadez de bola envolvente local considera todas las bolas que están centradas en un punto en o y cruzan el límite de o . Sin embargo, cuando o es convexo, el lema anterior nos permite considerar, para cada punto en o , sólo bolas que son de tamaño máximo, es decir, sólo bolas que contienen enteramente o (y cuyo límite intersecta el límite de o ). Por cada una de esas bolas b :

${\displaystyle {\text{volume}}\ (b)\leq C_{d}\cdot {\text{diameter}}\ (o)^{d}}$

donde es alguna constante dependiente de la dimensión. ${\displaystyle C_{d}}$

El diámetro de o es como máximo el diámetro de la bola más pequeña que encierra a o , y el volumen de esa bola es: . Combinando todas las desigualdades se obtiene que para cada objeto convexo : ${\displaystyle C_{d}\cdot ({\text{diameter(smallest ball enclosing}}\ o)/2)^{d}}$

delgadez-de-la-bola-envolvente-local ≤ delgadez-de-la-bola-encerrada

Para objetos no convexos, esta desigualdad, por supuesto, no se cumple, como lo ejemplifica la paleta de arriba.

Ejemplos

La siguiente tabla muestra el factor de delgadez de varias formas según las diferentes definiciones. Las dos columnas de las definiciones locales se rellenan con "*" cuando la forma es convexa (en este caso, el valor de la delgadez local es igual al valor de la delgadez global correspondiente):

Gordura de un triangulo

La delgadez es invariante a la escala, por lo que el factor de delgadez de un triángulo (como de cualquier otro polígono) puede presentarse como una función de sus ángulos únicamente. Los tres factores de delgadez basados ​​en bolas se pueden calcular utilizando identidades trigonométricas bien conocidas.

Delgadez de bola cerrada

El círculo más grande contenido en un triángulo se llama incírculo . Se sabe que:

${\displaystyle \Delta =r^{2}\cdot (\cot {\frac {\angle A}{2}}+\cot {\frac {\angle B}{2}}+\cot {\frac {\angle C}{2}})}$

donde Δ es el área de un triángulo y r es el radio del círculo. Por tanto, la delgadez de la bola encerrada de un triángulo es:

${\displaystyle {\sqrt {\frac {\cot {\frac {\angle A}{2}}+\cot {\frac {\angle B}{2}}+\cot {\frac {\angle C}{2}}}{\pi }}}}$

Delgadez de la bola envolvente

El círculo que contiene más pequeño para un triángulo agudo es su círculo circunstante , mientras que para un triángulo obtuso es el círculo que tiene como diámetro el lado más largo del triángulo. ^[5]

Se sabe que:

${\displaystyle \Delta =R^{2}\cdot 2\sin A\sin B\sin C}$

donde nuevamente Δ es el área de un triángulo y R es el radio del círculo circunstante. Por lo tanto, para un triángulo agudo, el factor de delgadez de la bola circundante es:

${\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{2\sin A\sin B\sin C}}}}$

También se sabe que:

${\displaystyle \Delta ={\frac {c^{2}}{2(\cot \angle {A}+\cot \angle {B})}}={\frac {c^{2}(\sin \angle {A})(\sin \angle {B})}{2\sin(\angle {A}+\angle {B})}}}$

donde c es cualquier lado del triángulo y A , B son los ángulos adyacentes. Por lo tanto, para un triángulo obtuso con ángulos agudos A y B (y lado más largo c ), el factor de delgadez de la bola circundante es:

${\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi \cdot (\cot \angle {A}+\cot \angle {B})}{2}}}={\sqrt {\frac {\pi \cdot \sin(\angle {A}+\angle {B})}{2(\sin \angle {A})(\sin \angle {B})}}}}$

Tenga en cuenta que en un triángulo rectángulo , las dos expresiones coinciden. ${\displaystyle \sin {\angle {C}}=\sin {\angle {A}+\angle {B}}=1}$

Delgadez de dos bolas

El inradio r y el circunradio R están conectados mediante un par de fórmulas que proporcionan dos expresiones alternativas para la delgadez de dos bolas de un triángulo agudo: ^[6]

${\displaystyle {\frac {R}{r}}={\frac {1}{4\sin({\frac {\angle {A}}{2}})\sin({\frac {\angle {B}}{2}})\sin({\frac {\angle {C}}{2}})}}={\frac {1}{\cos \angle {A}+\cos \angle {B}+\cos \angle {C}-1}}}$

Para un triángulo obtuso, se debe usar c /2 en lugar de R . Por la ley de los senos :

${\displaystyle {\frac {c}{2}}=R\sin {\angle {C}}}$

Por tanto, el factor de delgadez de un triángulo obtuso con ángulo obtuso C es:

${\displaystyle {\frac {c/2}{r}}={\frac {\sin {\angle {C}}}{4\sin({\frac {\angle {A}}{2}})\sin({\frac {\angle {B}}{2}})\sin({\frac {\angle {C}}{2}})}}={\frac {\sin {\angle {C}}}{\cos \angle {A}+\cos \angle {B}+\cos \angle {C}-1}}}$

Tenga en cuenta que en un triángulo rectángulo , las dos expresiones coinciden. ${\displaystyle \sin {\angle {C}}=1}$

Las dos expresiones se pueden combinar de la siguiente manera para obtener una sola expresión para la delgadez de dos bolas de cualquier triángulo con ángulos A y B más pequeños :

${\displaystyle {\frac {\sin {\max(\angle {A},\angle {B},\angle {C},\pi /2)}}{4\sin({\frac {\angle {A}}{2}})\sin({\frac {\angle {B}}{2}})\sin({\frac {\pi -\angle {A}-\angle {B}}{2}})}}={\frac {\sin {\max(\angle {A},\angle {B},\angle {C},\pi /2)}}{\cos \angle {A}+\cos \angle {B}-\cos(\angle {A}+\angle {B})-1}}}$

Para tener una idea de la tasa de cambio en la gordura, considere lo que da esta fórmula para un triángulo isósceles con un ángulo de cabeza θ cuando θ es pequeño :

${\displaystyle {\frac {\sin {\max(\theta ,\pi /2)}}{4\sin ^{2}({\frac {\pi -\theta }{4}})\sin({\frac {\theta }{2}})}}\approx {\frac {1}{4{\sqrt {1/2}}^{2}\theta /2}}={\frac {1}{\theta }}}$

Las siguientes gráficas muestran el factor de delgadez de 2 bolas de un triángulo:

• Delgadez de un triángulo general cuando un ángulo (a) es un parámetro constante mientras que el otro ángulo (x) cambia.
• Delgadez de un triángulo isósceles en función del ángulo de su cabeza (x).

Gordura de círculos, elipses y sus partes.

La delgadez de un círculo basada en la bola es, por supuesto, 1, el valor más pequeño posible.

Para un segmento circular con ángulo central θ , el diámetro del círculo circunstante es la longitud de la cuerda y el diámetro del círculo circunstante es la altura del segmento, por lo que la delgadez de las dos bolas (y su aproximación cuando θ es pequeño ) es:

${\displaystyle {\frac {\text{length of chord}}{\text{height of segment}}}={\frac {2R\sin {\frac {\theta }{2}}}{R\left(1-\cos {\frac {\theta }{2}}\right)}}={\frac {2\sin {\frac {\theta }{2}}}{\left(1-\cos {\frac {\theta }{2}}\right)}}\approx {\frac {\theta }{\theta ^{2}/8}}={\frac {8}{\theta }}}$

Para un sector circular con ángulo central θ (cuando θ es pequeño), el diámetro del círculo circunstante es el radio del círculo y el diámetro del círculo circunstante es la longitud de la cuerda, por lo que la delgadez de las dos bolas es:

${\displaystyle {\frac {\text{radius of circle}}{\text{length of chord}}}={\frac {R}{2R\sin {\frac {\theta }{2}}}}={\frac {1}{2\sin {\frac {\theta }{2}}}}\approx {\frac {1}{2\theta /2}}={\frac {1}{\theta }}}$

Para una elipse , los factores de delgadez son diferentes en diferentes ubicaciones. Por ejemplo, considere una elipse con eje corto a y eje largo b . la longitud de una cuerda varía entre el lado estrecho de la elipse y su lado ancho; de manera similar, la altura del segmento oscila entre el lado estrecho y el lado ancho. Entonces la delgadez de dos bolas oscila entre: ${\displaystyle 2a\sin {\frac {\theta }{2}}}$ ${\displaystyle 2b\sin {\frac {\theta }{2}}}$ ${\displaystyle b\left(1-\cos {\frac {\theta }{2}}\right)}$ ${\displaystyle a\left(1-\cos {\frac {\theta }{2}}\right)}$

${\displaystyle {\frac {2a\sin {\frac {\theta }{2}}}{b\left(1-\cos {\frac {\theta }{2}}\right)}}\approx {\frac {8a}{b\theta }}}$

y:

${\displaystyle {\frac {2b\sin {\frac {\theta }{2}}}{a\left(1-\cos {\frac {\theta }{2}}\right)}}\approx {\frac {8b}{a\theta }}}$

En general, cuando la secante comienza en el ángulo Θ, el factor de delgadez se puede aproximar mediante: ^[7]

${\displaystyle {\frac {2\sin {\frac {\theta }{2}}}{\left(1-\cos {\frac {\theta }{2}}\right)}}}$ ${\displaystyle \left({\frac {b}{a}}\cos ^{2}(\Theta +{\frac {\theta }{2}})+{\frac {a}{b}}\sin ^{2}(\Theta +{\frac {\theta }{2}})\right)}$

Gordura de un polígono convexo

Un polígono convexo se llama r -separado si el ángulo entre cada par de aristas (no necesariamente adyacentes) es al menos r .

Lema: La delgadez de la bola envolvente de un polígono convexo separado por r es como máximo . ^{[8] : 7–8} ${\displaystyle O(1/r)}$

Un polígono convexo se llama k,r -separado si:

1. No tiene bordes paralelos, excepto quizás dos horizontales y dos verticales.
2. Cada arista no paralela al eje forma un ángulo de al menos r con cualquier otra arista y con los ejes xey.
3. Si hay dos bordes horizontales, entonces el diámetro/altura es como máximo k .
4. Si hay dos bordes verticales, entonces el diámetro/ancho es como máximo k .

Lema: La delgadez de la bola envolvente de un polígono convexo separado por k,r es como máximo . ^[9] mejorar el límite superior a . ${\displaystyle O(\max(k,1/r))}$ ${\displaystyle O(d)}$

Contar objetos gordos

Si un objeto o tiene un diámetro de 2 a , entonces cada bola que encierra a o debe tener un radio al menos a y un volumen al menos V _d a ^d . Por lo tanto, por definición de gordura de bola envolvente, el volumen de un objeto R -gordo con diámetro 2 a debe ser al menos: V _d a ^d / R ^d . Por eso:

Lema 1 : Sean R ≥1 y C≥0 dos constantes. Considere una colección de objetos d -dimensionales que no se superponen y que son todos globalmente R -gordos (es decir, con una delgadez de bola envolvente ≤ R ). El número de tales objetos de diámetro al menos 2 a , contenidos en una bola de radio C⋅a , es como máximo:

${\displaystyle V_{d}\cdot (Ca)^{d}/(V_{d}\cdot a^{d}/R^{d})=(RC)^{d}}$

Por ejemplo (tomando d =2, R =1 y C =3): El número de discos no superpuestos con radio al menos 1 contenidos en un círculo de radio 3 es como máximo 3 ² =9. (En realidad, son como máximo 7).

Si consideramos la gordura local en lugar de la gordura global, podemos obtener un lema más sólido: ^[3]

Lema 2 : Sean R ≥1 y C≥0 dos constantes. Considere una colección de objetos d -dimensionales que no se superponen y que son todos localmente R -gordos (es decir, con una delgadez de bola envolvente local ≤ R ). Sea o un solo objeto en esa colección con diámetro 2 a . Entonces, el número de objetos de la colección con un diámetro mayor que 2 a que se encuentran a una distancia 2C⋅a del objeto o es como máximo:

${\displaystyle (4R\cdot (C+1))^{d}}$

Por ejemplo (tomando d =2, R =1 y C =0): el número de discos no superpuestos con radio mayor que 1 que tocan una unidad de disco dada es como máximo 4 ² =16 (esto no es un límite estricto ya que en este caso es fácil demostrar un límite superior de 5).

Generalizaciones

^[2] estudió la siguiente generalización de la gordura para objetos bidimensionales.

Un triángulo ∆ es un triángulo (β, δ) de un objeto plano o (0<β≤π/3, 0<δ< 1), si ∆ ⊆ o , cada uno de los ángulos de ∆ es al menos β, y la longitud de cada una de sus aristas es al menos δ·diámetro( o ). Un objeto o en el plano está cubierto por (β,δ) si para cada punto P ∈ o existe un triángulo (β, δ) ∆ de o que contiene a P.

Para objetos convexos , las dos definiciones son equivalentes, en el sentido de que si o es α-fat, para alguna constante α, entonces también está cubierto (β,δ), para las constantes apropiadas β y δ, y viceversa. Sin embargo, para objetos no convexos, la definición de ser gordo es más general que la definición de estar cubierto (β, δ). ^[2]

Aplicaciones

Los objetos grasos se utilizan en diversos problemas, por ejemplo:

• Planificación del movimiento : planificar la trayectoria de un robot que se mueve entre obstáculos se vuelve más fácil cuando los obstáculos son objetos gruesos. ^[3]
• Corte justo de pasteles : dividir un pastel se vuelve más difícil cuando los trozos tienen que ser objetos gordos. Este requisito es común, por ejemplo, cuando el "pastel" a dividir es un terreno. ^[10]
• Se pueden encontrar más aplicaciones en las referencias siguientes.

Referencias

1. Katz, MJ (1997). "Disparo de rayos verticales en 3D y cierre de puntos en 2-D, búsqueda de alcance y disparo en arco en medio de objetos gruesos convexos" (PDF) . Geometría Computacional . 8 (6): 299–316. doi :10.1016/s0925-7721(96)00027-2. S2CID  122806176., Agarwal, PK; Katz, MJ; Sharir, M. (1995). "Cálculo de órdenes de profundidad para objetos gruesos y problemas relacionados". Geometría Computacional . 5 (4): 187. doi : 10.1016/0925-7721(95)00005-8 .
2. , A.; Katz, MJ; Nielsen, F.; Sharir, M. (2000). "Estructuras de datos dinámicas para objetos gordos y sus aplicaciones". Geometría Computacional . 15 (4): 215. doi : 10.1016/s0925-7721(99)00059-0 .
3. Van Der Stappen, AF; Halperin, D.; Overmars, MH (1993). "La complejidad del espacio libre para un robot que se mueve entre grandes obstáculos". Geometría Computacional . 3 (6): 353. doi :10.1016/0925-7721(93)90007-s. hdl : 1874/16650 .
4. Berg, M.; Groot, M.; Overmars, M. (1994). "Nuevos resultados sobre particiones de espacio binario en el plano (resumen ampliado)". Teoría de algoritmos - SWAT '94 . Apuntes de conferencias sobre informática. vol. 824. pág. 61. doi :10.1007/3-540-58218-5_6. ISBN 978-3-540-58218-2., Van Der Stappen, AF; Overmars, MH (1994). "Planificación de movimiento en medio de grandes obstáculos (resumen ampliado)". Actas del décimo simposio anual sobre geometría computacional - SCG '94 . pag. 31. doi : 10.1145/177424.177453. ISBN 978-0897916486. S2CID  152761., Overmars, MH (1992). "Ubicación de puntos en subdivisiones gordas". Cartas de procesamiento de información (manuscrito enviado). 44 (5): 261–265. doi :10.1016/0020-0190(92)90211-d. hdl : 1874/17965 ., Overmars, MH; Van Der Stappen, FA (1996). "Búsqueda de rango y ubicación de puntos entre objetos gordos". Revista de algoritmos . 21 (3): 629. doi : 10.1006/jagm.1996.0063. hdl : 1874/17327 .
5. Rajan, VT (1994). "Optimidad de la triangulación de Delaunay en R d {\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}". Geometría discreta y computacional . 12 (2): 189–202. doi : 10.1007/BF02574375 . SEÑOR  1283887.
6. Weisstein, Eric W. "Inradius". MundoMatemático . Consultado el 28 de septiembre de 2014 .
7. Ver gráfico en: https://www.desmos.com/calculator/fhfqju02sn
8. Marcos de Berg; Onak, Krzysztof; Sidiropoulos, Anastasios (2010). "Particiones poligonales gruesas con aplicaciones a visualización e incrustaciones". Revista de geometría computacional . 4 . arXiv : 1009.1866 . doi : 10.20382/jocg.v4i1a9. S2CID  15245776.
9. De Berg, Mark; Speckmann, Bettina ; Van Der Weele, Vicente (2014). "Mapas de árbol con relación de aspecto acotada". Geometría Computacional . 47 (6): 683. arXiv : 1012.1749 . doi :10.1016/j.comgeo.2013.12.008. S2CID  12973376.. Versión de la conferencia: Treemaps convexos con relación de aspecto acotada (PDF) . EuroCG. 2011.
10. Segal-Halevi, Erel; Nitzan, Shmuel; Jasidim, Avinatan; Aumann, Yonatan (2017). "Justo y limpio: corte de tartas en dos dimensiones". Revista de Economía Matemática . 70 : 1–28. arXiv : 1409.4511 . doi :10.1016/j.jmateco.2017.01.007. S2CID  1278209.