norma de gowers

En matemáticas , en el campo de la combinatoria aditiva , una norma de Gowers o norma de uniformidad es una clase de normas sobre funciones en un grupo finito o un objeto similar a un grupo que cuantifican la cantidad de estructura presente, o por el contrario, la cantidad de aleatoriedad . ^[1] Se utilizan en el estudio de progresiones aritméticas en el grupo. Llevan el nombre de Timothy Gowers , quien lo introdujo en su trabajo sobre el teorema de Szemerédi . ^[2]

Definición

Sea una función de valor complejo en un grupo abeliano finito y denotemos una conjugación compleja . La norma de Gowers es ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle \Vert f\Vert _{U^{d}(G)}^{2^{d}}=\sum _{x,h_{1},\ldots ,h_{d}\in G}\prod _{\omega _{1},\ldots ,\omega _{d}\in \{0,1\}}J^{\omega _{1}+\cdots +\omega _{d}}f\left({x+h_{1}\omega _{1}+\cdots +h_{d}\omega _{d}}\right)\ .}$

Las normas de Gowers también se definen para funciones f de valores complejos en un segmento , donde N es un número entero positivo . En este contexto, la norma de uniformidad se da como , donde es un número entero grande, denota la función indicadora de [ N ] y es igual a for y para todos los demás . Esta definición no depende de , siempre y cuando . ${\displaystyle [N]={0,1,2,...,N-1}}$ ${\displaystyle \Vert f\Vert _{U^{d}[N]}=\Vert {\tilde {f}}\Vert _{U^{d}(\mathbb {Z} /{\tilde {N}}\mathbb {Z} )}/\Vert 1_{[N]}\Vert _{U^{d}(\mathbb {Z} /{\tilde {N}}\mathbb {Z} )}}$ ${\displaystyle {\tilde {N}}}$ ${\displaystyle 1_{[N]}}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x\in [N]}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\tilde {N}}}$ ${\displaystyle {\tilde {N}}>2^{d}N}$

Conjeturas inversas

Una conjetura inversa para estas normas es una afirmación que afirma que si una función acotada f tiene una norma d de Gowers grande, entonces f se correlaciona con una fase polinómica de grado d − 1 u otro objeto con comportamiento polinómico (por ejemplo, a ( d − 1)- paso nilsecuencia ). La afirmación precisa depende de la norma de Gowers que se considere.

La conjetura inversa para espacios vectoriales sobre un campo finito afirma que para cualquier existe una constante tal que para cualquier espacio vectorial de dimensión finita V sobre y cualquier función de valores complejos en , acotada por 1, tal que existe una secuencia polinómica tal eso ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \Vert f\Vert _{U^{d}[V]}\geq \delta }$ ${\displaystyle P\colon V\to \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$

${\displaystyle \left|{\frac {1}{|V|}}\sum _{x\in V}f(x)e\left(-P(x)\right)\right|\geq c,}$

dónde . Bergelson, Tao y Ziegler demostraron que esta conjetura era cierta. ^{[3] [4] [5]} ${\displaystyle e(x):=e^{2\pi ix}}$

La conjetura inversa de la norma de Gowers afirma que para cualquier , se puede encontrar una colección finita de constantes y variedades nulas de ( d − 1) pasos , de modo que lo siguiente es cierto. Si es un entero positivo y está acotado en valor absoluto por 1 y , entonces existe una variedad nula y una secuencia nula donde y acotado por 1 en valor absoluto y con la constante de Lipschitz acotada por tal que: ${\displaystyle U^{d}[N]}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\delta }}$ ${\displaystyle c,C}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f\colon [N]\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \Vert f\Vert _{U^{d}[N]}\geq \delta }$ ${\displaystyle G/\Gamma \in {\mathcal {M}}_{\delta }}$ ${\displaystyle F(g^{n}x)}$ ${\displaystyle g\in G,\ x\in G/\Gamma }$ ${\displaystyle F\colon G/\Gamma \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle \left|{\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}f(n){\overline {F(g^{n}x}})\right|\geq c.}$

Green, Tao y Ziegler demostraron que esta conjetura era cierta. ^{[6] [7]} Cabe destacar que la aparición de nilsecuencias en la declaración anterior es necesaria. La afirmación ya no es cierta si solo consideramos las fases polinómicas.

Referencias

1. Hartnett, Kevin. "Los matemáticos detectan un patrón al descubrir cómo evitarlo". Revista Quanta . Consultado el 26 de noviembre de 2019 .
2. Gowers, Timoteo (2001). "Una nueva prueba del teorema de Szemerédi". Análisis geométrico y funcional . 11 (3): 465–588. doi :10.1007/s00039-001-0332-9. SEÑOR  1844079. S2CID  124324198.
3. Bergelson, Vitaly; Tao, Terencia ; Ziegler, Tamar (2010). "Un teorema inverso para las seminormas de uniformidad asociadas con la acción de ". Análisis geométrico y funcional . 19 (6): 1539-1596. arXiv : 0901.2602 . doi :10.1007/s00039-010-0051-1. SEÑOR  2594614. S2CID  10875469. ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}^{\infty }}$
4. Tao, Terencia ; Ziegler, Tamar (2010). "La conjetura inversa de la norma de Gowers sobre campos finitos mediante el principio de correspondencia". Análisis y PDE . 3 (1): 1–20. arXiv : 0810.5527 . doi :10.2140/apde.2010.3.1. SEÑOR  2663409. S2CID  16850505.
5. Tao, Terencia ; Ziegler, Tamar (2011). "La conjetura inversa de la norma de Gowers sobre campos finitos en característica baja". Anales de combinatoria . 16 : 121–188. arXiv : 1101.1469 . doi :10.1007/s00026-011-0124-3. SEÑOR  2948765. S2CID  253591592.
6. Verde, Ben ; Tao, Terencia ; Ziegler, Tamar (2011). "Un teorema inverso para la norma de Gowers". Electrón. Res. Anunciar. Matemáticas. Ciencia . 18 : 69–90. arXiv : 1006.0205 . doi :10.3934/era.2011.18.69. SEÑOR  2817840. ${\displaystyle U^{s+1}[N]}$
7. Verde, Ben ; Tao, Terencia ; Ziegler, Tamar (2012). "Un teorema inverso para la norma de Gowers". Anales de Matemáticas . 176 (2): 1231-1372. arXiv : 1009.3998 . doi : 10.4007/annals.2012.176.2.11. SEÑOR  2950773. S2CID  119588323. ${\displaystyle U^{s+1}[N]}$

• Tao, Terence (2012). Análisis de Fourier de orden superior. Estudios de Posgrado en Matemáticas . vol. 142. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-8986-2. SEÑOR  2931680. Zbl  1277.11010.