En la teoría de conjuntos axiomáticos , una función f : Ord → Ord se denomina normal (o función normal ) si es continua (con respecto a la topología de orden ) y estrictamente monótonamente creciente . Esto es equivalente a las dos condiciones siguientes:
Una función normal simple está dada por f ( α ) = 1 + α (ver aritmética ordinal ). Pero f ( α ) = α + 1 no es normal porque no es continua en ningún ordinal límite; es decir, la imagen inversa del conjunto abierto de un punto { λ + 1} es el conjunto { λ } , que no es abierto cuando λ es un ordinal límite. Si β es un ordinal fijo, entonces las funciones f ( α ) = β + α , f ( α ) = β × α (para β ≥ 1 ), y f ( α ) = β α (para β ≥ 2 ) son todas normales.
Ejemplos más importantes de funciones normales los dan los números aleph , que conectan números ordinales y cardinales , y los números beth .
Si f es normal, entonces para cualquier ordinal α ,
Demostración : Si no, elija γ mínimo tal que f ( γ ) < γ . Dado que f es estrictamente monótonamente creciente, f ( f ( γ )) < f ( γ ) , contradiciendo la minimalidad de γ .
Además, para cualquier conjunto no vacío S de ordinales, tenemos
Demostración : "≥" se deduce de la monotonía de f y de la definición del supremo . Para " ≤ ", fijemos δ = sup S y consideremos tres casos:
Toda función normal f tiene puntos fijos arbitrariamente grandes; véase el lema del punto fijo para funciones normales para una prueba. Se puede crear una función normal f ′ : Ord → Ord , llamada derivada de f , tal que f ′ ( α ) es el α -ésimo punto fijo de f . [2] Para una jerarquía de funciones normales, véase Funciones de Veblen .
