Espacio topológico noetheriano

En matemáticas, un espacio topológico noetheriano , llamado así por Emmy Noether , es un espacio topológico en el que los subconjuntos cerrados satisfacen la condición de cadena descendente . De manera equivalente, podríamos decir que los subconjuntos abiertos satisfacen la condición de cadena ascendente , ya que son los complementos de los subconjuntos cerrados. La propiedad noetheriana de un espacio topológico también puede verse como una condición de compacidad fuerte , es decir, que todo subconjunto abierto de dicho espacio es compacto, y de hecho es equivalente a la afirmación aparentemente más fuerte de que todo subconjunto es compacto.

Definición

Un espacio topológico se denomina noetheriano si satisface la condición de cadena descendente para subconjuntos cerrados : para cualquier secuencia ${\displaystyle X}$

${\displaystyle Y_{1}\supseteq Y_{2}\supseteq \cdots }$

de subconjuntos cerrados de , existe un entero tal que ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle Y_{m}=Y_{m+1}=\cdots .}$

Propiedades

• Un espacio topológico es noetheriano si y solo si cada subespacio de es compacto (es decir, es hereditariamente compacto), y si y solo si cada subconjunto abierto de es compacto. ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• Cada subespacio de un espacio noetheriano es noetheriano.
• La imagen continua de un espacio noetheriano es noetheriana. ^[2]
• Una unión finita de subespacios noetherianos de un espacio topológico es noetheriana. ^[3]
• Todo espacio noetheriano de Hausdorff es finito con la topología discreta .

Demostración: Todo subconjunto de X es compacto en un espacio de Hausdorff, por lo tanto cerrado. Por lo tanto, X tiene topología discreta y, al ser compacto, debe ser finito.

• Todo espacio noetheriano X tiene un número finito de componentes irreducibles . ^[4] Si los componentes irreducibles son , entonces , y ninguno de los componentes está contenido en la unión de los otros componentes. ${\displaystyle X_{1},...,X_{n}}$ ${\displaystyle X=X_{1}\cup \cdots \cup X_{n}}$ ${\displaystyle X_{i}}$

De la geometría algebraica

Muchos ejemplos de espacios topológicos noetherianos provienen de la geometría algebraica , donde para la topología de Zariski un conjunto irreducible tiene la propiedad intuitiva de que cualquier subconjunto cerrado propio tiene una dimensión menor. Dado que la dimensión solo puede "saltar hacia abajo" un número finito de veces, y los conjuntos algebraicos están formados por uniones finitas de conjuntos irreducibles, las cadenas descendentes de conjuntos cerrados de Zariski deben ser, en última instancia, constantes.

Una forma más algebraica de ver esto es que los ideales asociados que definen conjuntos algebraicos deben satisfacer la condición de cadena ascendente . Esto se deduce porque los anillos de la geometría algebraica, en el sentido clásico, son anillos noetherianos . Por lo tanto, esta clase de ejemplos también explica el nombre.

Si R es un anillo noetheriano conmutativo, entonces Spec( R ), el espectro primo de R , es un espacio topológico noetheriano. En términos más generales, un esquema noetheriano es un espacio topológico noetheriano. La inversa no se cumple, ya que hay anillos no noetherianos con un solo ideal primo, de modo que Spec( R ) consta exactamente de un punto y, por lo tanto, es un espacio noetheriano.

Ejemplo

El espacio ( espacio afín sobre un cuerpo ) bajo la topología de Zariski es un ejemplo de un espacio topológico noetheriano. Por las propiedades del ideal de un subconjunto de , sabemos que si ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}}$

${\displaystyle Y_{1}\supseteq Y_{2}\supseteq Y_{3}\supseteq \cdots }$

es una cadena descendente de subconjuntos cerrados por Zariski, entonces

${\displaystyle I(Y_{1})\subseteq I(Y_{2})\subseteq I(Y_{3})\subseteq \cdots }$

es una cadena ascendente de ideales de Dado que es un anillo noetheriano, existe un entero tal que ${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}].}$ ${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle I(Y_{m})=I(Y_{m+1})=I(Y_{m+2})=\cdots .}$

Dado que es el cierre de Y para todos los Y , para todos Por lo tanto ${\displaystyle V(I(Y))}$ ${\displaystyle V(I(Y_{i}))=Y_{i}}$ ${\displaystyle i.}$

${\displaystyle Y_{m}=Y_{m+1}=Y_{m+2}=\cdots }$según sea necesario.

Notas

1. "topología general - $V$ es espacio noetheriano sólo si cada subconjunto abierto de $V$ es compacto". Intercambio de pila de matemáticas .
2. "Lema 5.9.3 (04Z8)—El proyecto Stacks". stacks.math.columbia.edu .
3. "Lema 5.9.4 (0053)—El proyecto Stacks". stacks.math.columbia.edu .
4. "topología general - Pregunta sobre espacios topológicos noetherianos". Stack Exchange de matemáticas .

Referencias

• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, Sr.  0463157

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