Número que no está en el rango de la función totiente de Euler
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En teoría de números , un no-totiente es un entero positivo n que no es un número totiente : no está en el rango de la función totiente φ de Euler , es decir, la ecuación φ( x ) = n no tiene solución x . En otras palabras, n es un no cliente si no hay ningún número entero x que tenga exactamente n coprimos debajo. Todos los números impares son no-tocientes, excepto 1 , ya que tiene las soluciones x = 1 y x = 2. Los primeros no-tocientes pares son esta secuencia:
- 14 , 26 , 34 , 38 , 50 , 62 , 68 , 74 , 76 , 86 , 90 , 94 , 98 , 114 , 118 , 122 , 124 , 134 , 142 , 146 , 152 , 158 , 170 , 174 , 182 , 186 , 188 , 194 , 202 , 206 , 214 , 218 , 230 , 234 , 236 , 242 , 244 , 246 , 248 , 254 , 258 , 266 , 274 , 278 , 4 , 286 , 290 , 298 , .. (secuencia A005277 en la OEIS ) .
El valor mínimo de k tal que el total de k sea n es (0 si no existe tal k ) es esta secuencia:
- 1, 3, 0, 5, 0, 7, 0, 15, 0, 11, 0, 13, 0, 0, 0, 17, 0, 19, 0, 25, 0, 23, 0, 35, 0, 0, 0, 29, 0, 31, 0, 51, 0, 0, 0, 37, 0, 0, 0, 41, 0, 43, 0, 69, 0, 47, 0, 65, 0, 0, 0, 53, 0, 81, 0, 87, 0, 59, 0, 61, 0, 0, 0, 85, 0, 67, 0, 0, 0, 71, 0, 73, ... (secuencia A049283 en la OEIS )
El mayor valor de k tal que el totiente de k sea n es (0 si no existe tal k ) es esta secuencia:
- 2, 6, 0, 12, 0, 18, 0, 30, 0, 22, 0, 42, 0, 0, 0, 60, 0, 54, 0, 66, 0, 46, 0, 90, 0, 0, 0, 58, 0, 62, 0, 120, 0, 0, 0, 126, 0, 0, 0, 150, 0, 98, 0, 138, 0, 94, 0, 210, 0, 0, 0, 106, 0, 162, 0, 174, 0, 118, 0, 198, 0, 0, 0, 240, 0, 134, 0, 0, 0, 142, 0, 270, ... (secuencia A057635 en la OEIS )
El número de k s tales que φ( k ) = n son (comience con n = 0) son esta secuencia:
- 0, 2, 3, 0, 4, 0, 4, 0, 5, 0, 2, 0, 6, 0, 0, 0, 6, 0, 4, 0, 5, 0, 2, 0, 10, 0, 0, 0, 2, 0, 2, 0, 7, 0, 0, 0, 8, 0, 0, 0, 9, 0, 4, 0, 3, 0, 2, 0, 11, 0, 0, 0, 2, 0, 2, 0, 3, 0, 2, 0, 9, 0, 0, 0, 8, 0, 2, 0, 0, 0, 2, 0, 17, ... ( secuencia A014197 en el OEIS )
La conjetura de Carmichael es que no hay unos en esta secuencia.
Un no tociente par puede ser uno más que un número primo , pero nunca uno menos, ya que todos los números por debajo de un número primo son, por definición, coprimos con respecto a él. Para decirlo algebraicamente, para p primo: φ( p ) = p − 1. Además, un número pronico n ( n − 1) ciertamente no es un no paciente si n es primo ya que φ( p 2 ) = p ( p − 1 ).
Si un número natural n es un totiente, n · 2 k es un totiente para todos los números naturales k .
Hay infinitos números pares no-tocientes: de hecho, hay infinitos números primos distintos p (como 78557 y 271129, ver número de Sierpinski ) tales que todos los números de la forma 2 a p son no-tocientes, y cada número impar tiene un múltiplo par que es un no paciente.
Referencias
- Chico, Richard K. (2004). Problemas no resueltos en teoría de números . Libros de problemas en matemáticas. Nueva York, Nueva York: Springer-Verlag . pag. 139.ISBN 0-387-20860-7. Zbl 1058.11001.
- L. Havelock, algunas observaciones sobre la valencia totiente y cototiente de PlanetMath
- Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004). Manual de teoría de números II . Dordrecht: Académico Kluwer. pag. 230.ISBN 1-4020-2546-7. Zbl 1079.11001.
- Zhang, Mingzhi (1993). "Sobre los no pacientes". Revista de teoría de números . 43 (2): 168-172. doi : 10.1006/junio.1993.1014 . ISSN 0022-314X. Zbl 0772.11001.
