La geometría algebraica no conmutativa es una rama de las matemáticas , y más específicamente una dirección en la geometría no conmutativa , que estudia las propiedades geométricas de los duales formales de objetos algebraicos no conmutativos , como los anillos , así como los objetos geométricos derivados de ellos (por ejemplo, pegándolos a lo largo de localizaciones o tomando cocientes de pila no conmutativos ).
Por ejemplo, se supone que la geometría algebraica no conmutativa extiende una noción de un esquema algebraico mediante la unión adecuada de espectros de anillos no conmutativos; dependiendo de cuán literal y cuán generalmente se entienda este objetivo (y una noción de espectro) en un contexto no conmutativo, esto se ha logrado en varios niveles de éxito. El anillo no conmutativo generaliza aquí un anillo conmutativo de funciones regulares en un esquema conmutativo . Las funciones en espacios usuales en la geometría algebraica tradicional (conmutativa) tienen un producto definido por la multiplicación puntual ; como los valores de estas funciones conmutan , las funciones también conmutan: a por b es igual a b por a . Es notable que considerar las álgebras asociativas no conmutativas como álgebras de funciones en un espacio potencial "no conmutativo" sea una intuición geométrica de largo alcance, aunque formalmente parezca una falacia. [ cita requerida ]
Gran parte de la motivación para la geometría no conmutativa, y en particular para la geometría algebraica no conmutativa, proviene de la física; especialmente de la física cuántica, donde las álgebras de observables son de hecho vistas como análogos no conmutativos de funciones, por lo que es deseable tener la capacidad de observar sus aspectos geométricos.
Uno de los valores del campo es que también proporciona nuevas técnicas para estudiar objetos en geometría algebraica conmutativa como los grupos de Brauer .
Los métodos de la geometría algebraica no conmutativa son análogos de los métodos de la geometría algebraica conmutativa, pero con frecuencia los fundamentos son diferentes. El comportamiento local en la geometría algebraica conmutativa se captura mediante el álgebra conmutativa y especialmente el estudio de los anillos locales . Estos no tienen un análogo de la teoría de anillos en el entorno no conmutativo; aunque en una configuración categórica se puede hablar de pilas de categorías locales de haces cuasicoherentes sobre espectros no conmutativos. Las propiedades globales como las que surgen del álgebra homológica y la teoría K se trasladan con mayor frecuencia al entorno no conmutativo.
La geometría algebraica conmutativa comienza construyendo el espectro de un anillo . Los puntos de la variedad algebraica (o más generalmente, esquema ) son los ideales primos del anillo, y las funciones en la variedad algebraica son los elementos del anillo. Sin embargo, un anillo no conmutativo puede no tener ningún ideal primo bilateral propio distinto de cero. Por ejemplo, esto es cierto para el álgebra de Weyl de operadores diferenciales polinomiales en el espacio afín: El álgebra de Weyl es un anillo simple . Por lo tanto, uno puede, por ejemplo, intentar reemplazar un espectro primo por un espectro primitivo : también existe la teoría de la localización no conmutativa , así como la teoría de la descendencia . Esto funciona hasta cierto punto: por ejemplo, las álgebras envolventes de Dixmier pueden considerarse como la elaboración de la geometría algebraica no conmutativa para el espectro primitivo de un álgebra envolvente de un álgebra de Lie . Otro trabajo de espíritu similar son las notas de Michael Artin tituladas “noncommutative rings” [1] , que en parte es un intento de estudiar la teoría de la representación desde un punto de vista de geometría no conmutativa. La idea clave de ambos enfoques es que las representaciones irreducibles , o al menos los ideales primitivos , pueden considerarse como “puntos no conmutativos”.
Al final resultó que, partiendo, por ejemplo, de espectros primitivos, no era fácil desarrollar una teoría de haces que fuera viable . Se podría pensar que esta dificultad se debe a una especie de fenómeno cuántico: los puntos de un espacio pueden influir en puntos lejanos (y, de hecho, no es adecuado tratar los puntos individualmente y ver un espacio como una mera colección de puntos).
Por lo anterior, se acepta un paradigma implícito en la tesis de Pierre Gabriel y parcialmente justificado por el teorema de reconstrucción de Gabriel-Rosenberg (según Pierre Gabriel y Alexander L. Rosenberg ) de que un esquema conmutativo puede ser reconstruido, hasta el isomorfismo de esquemas, únicamente a partir de la categoría abeliana de haces cuasicoherentes sobre el esquema. Alexander Grothendieck enseñó que para hacer geometría no se necesita un espacio, basta tener una categoría de haces sobre la que sería el espacio; esta idea ha sido transmitida al álgebra no conmutativa por Yuri Manin . Existen, un poco más débiles, teoremas de reconstrucción a partir de las categorías derivadas de haces (cuasi)coherentes que motivan la geometría algebraica no conmutativa derivada (ver justo debajo).
Quizás el enfoque más reciente es a través de la teoría de la deformación , colocando la geometría algebraica no conmutativa en el ámbito de la geometría algebraica derivada .
Como ejemplo motivador, considere el álgebra unidimensional de Weyl sobre los números complejos C . Este es el cociente del anillo libre C < x , y > por la relación
Este anillo representa los operadores diferenciales polinómicos en una sola variable x ; y sustituye al operador diferencial ∂ x . Este anillo encaja en una familia de un parámetro dada por las relaciones xy - yx = α . Cuando α no es cero, entonces esta relación determina un anillo isomorfo al álgebra de Weyl. Sin embargo, cuando α es cero, la relación es la relación de conmutatividad para x e y , y el anillo cociente resultante es el anillo polinómico en dos variables, C [ x , y ]. Geométricamente, el anillo polinómico en dos variables representa el espacio afín bidimensional A 2 , por lo que la existencia de esta familia de un parámetro dice que el espacio afín admite deformaciones no conmutativas al espacio determinado por el álgebra de Weyl. Esta deformación está relacionada con el símbolo de un operador diferencial y que A 2 es el fibrado cotangente de la línea afín. (El estudio del álgebra de Weyl puede conducir a información sobre el espacio afín: la conjetura de Dixmier sobre el álgebra de Weyl es equivalente a la conjetura jacobiana sobre el espacio afín).
En esta línea de enfoque, la noción de operad , un conjunto o espacio de operaciones, adquiere protagonismo: en la introducción a (Francis 2008) , Francis escribe:
Comenzamos el estudio de ciertas geometrías algebraicas menos conmutativas. … la geometría algebraica sobre anillos puede considerarse como una interpolación entre algunas teorías derivadas de geometrías algebraicas no conmutativas y conmutativas. A medida que n aumenta, estas álgebras convergen a la geometría algebraica derivada de Toën-Vezzosi y Lurie .
Una de las construcciones básicas en geometría algebraica conmutativa es la construcción Proj de un anillo conmutativo graduado . Esta construcción construye una variedad algebraica proyectiva junto con un fibrado lineal muy amplio cuyo anillo de coordenadas homogéneo es el anillo original. Construir el espacio topológico subyacente de la variedad requiere localizar el anillo, pero construir haces en ese espacio no. Por un teorema de Jean-Pierre Serre , los haces cuasi coherentes en Proj de un anillo graduado son lo mismo que los módulos graduados sobre el anillo hasta factores de dimensión finita. La filosofía de la teoría de topos promovida por Alexander Grothendieck dice que la categoría de haces en un espacio puede servir como el espacio mismo. En consecuencia, en geometría algebraica no conmutativa a menudo se define Proj de la siguiente manera: Sea R una C -álgebra graduada , y sea Mod- R la categoría de R -módulos rectos graduados. Sea F la subcategoría de Mod- R que consiste en todos los módulos de longitud finita. Proj R se define como el cociente de la categoría abeliana Mod- R por F . De manera equivalente, es una localización de Mod- R en la que dos módulos se vuelven isomorfos si, después de tomar sus sumas directas con objetos de F elegidos apropiadamente , son isomorfos en Mod- R .
Este enfoque conduce a una teoría de geometría proyectiva no conmutativa . Una curva proyectiva suave no conmutativa resulta ser una curva conmutativa suave, pero para curvas singulares o espacios suaves de dimensiones superiores, la configuración no conmutativa permite nuevos objetos.
