En matemáticas , una superficie incompresible es una superficie adecuadamente incrustada en una variedad 3 , que, en términos intuitivos, es una superficie "no trivial" que no se puede simplificar. En términos no matemáticos, la superficie de una maleta es comprimible, porque podríamos cortar el asa y encogerla en la superficie. Pero una esfera de Conway (una esfera con cuatro agujeros) es incompresible, porque hay partes esenciales de un nudo o eslabón tanto por dentro como por fuera, por lo que no hay forma de mover todo el nudo o eslabón a un lado de la esfera perforada. La definición matemática es la siguiente. Hay dos casos a considerar. Una esfera es incompresible si tanto dentro como fuera de la esfera hay algunas obstrucciones que impiden que la esfera se contraiga hasta un punto y también impiden que la esfera se expanda para abarcar todo el espacio. Una superficie que no sea una esfera es incompresible si cualquier disco con su límite en la superficie abarca un disco en la superficie. [1]
Las superficies incompresibles se utilizan para la descomposición de variedades de Haken , en la teoría de superficies normales y en el estudio de los grupos fundamentales de 3 variedades.
Sea S una superficie compacta adecuadamente incrustada en un colector M liso o PL 3 . Un disco de compresión D es un disco incrustado en M tal que
y la intersección es transversal. Si la curva ∂ D no une un disco dentro de S , entonces D se llama disco compresor no trivial . Si S tiene un disco de compresión no trivial, entonces llamamos a S una superficie compresible en M.
Si S no es ni la 2 esfera ni una superficie comprimible, entonces llamamos a la superficie ( geométricamente ) incompresible .
Tenga en cuenta que las 2 esferas están excluidas ya que no tienen discos de compresión no triviales según el teorema de Jordan-Schoenflies , y las 3 variedades tienen abundantes 2 esferas incrustadas. A veces se modifica la definición para que una esfera incompresible sea una 2 esferas incrustada en una variedad de 3 que no une una bola de 3 incrustada . Tales esferas surgen exactamente cuando una variedad 3 no es irreducible . Dado que esta noción de incompresibilidad para una esfera es bastante diferente de la definición anterior para superficies, a menudo se hace referencia a una esfera incompresible como esfera esencial o esfera reductora .
Dada una superficie compresible S con un disco de compresión D que podemos suponer que se encuentra en el interior de M y corta a S transversalmente, se puede realizar una cirugía incrustada en S para obtener una superficie que se obtiene comprimiendo S a lo largo de D. Hay una vecindad tubular de D cuyo cierre es una incrustación de D × [-1,1] siendo D × 0 identificado con D y con
Entonces
es una nueva superficie correctamente incrustada que se obtiene comprimiendo S a lo largo de D.
Una medida de complejidad no negativa en superficies compactas sin componentes de 2 esferas es b 0 ( S ) − χ ( S ), donde b 0 ( S ) es el número cero de Betti (el número de componentes conectados) y χ ( S ) es la característica de Euler . Al comprimir una superficie comprimible a lo largo de un disco de compresión no trivial, la característica de Euler aumenta en dos, mientras que b 0 puede permanecer igual o aumentar en 1. Por lo tanto, cada superficie compacta correctamente incrustada sin componentes de 2 esferas está relacionada con una superficie incompresible a través de un secuencia de compresiones.
A veces descartamos la condición de que S sea compresible. Si D uniera un disco dentro de S (lo que siempre es el caso si S es incompresible, por ejemplo), entonces comprimir S a lo largo de D daría como resultado una unión disjunta de una esfera y una superficie homeomorfa a S. La superficie resultante con la esfera eliminada podría o no ser isotópica de S , y lo será si S es incompresible y M es irreducible.
También existe una versión algebraica de la incompresibilidad. Supongamos que se trata de una incrustación adecuada de una superficie compacta en una variedad de 3. Entonces S es π 1 -inyectivo (o algebraicamente incompresible ) si el mapa inducido
sobre grupos fundamentales es inyectivo .
En general, toda superficie inyectiva π 1 es incompresible, pero la implicación inversa no siempre es cierta. Por ejemplo, el espacio de la lente L (4,1) contiene una botella de Klein incompresible que no es π 1 -inyectiva.
Sin embargo, si S es bilateral , el teorema del bucle implica el lema de Kneser, que si S es incompresible, entonces es π 1 -inyectivo.
Una superficie de Seifert S para un enlace orientado L es una superficie orientada cuyo límite es L con la misma orientación inducida. Si S no es π 1 inyectivo en S 3 − N ( L ), donde N ( L ) es una vecindad tubular de L , entonces el teorema del bucle proporciona un disco de compresión que se puede usar para comprimir S , proporcionando otra superficie de Seifert de Complejidad reducida. Por tanto, existen superficies de Seifert incompresibles.
Cada superficie Seifert de un enlace está relacionada entre sí mediante compresiones en el sentido de que la relación de equivalencia generada por la compresión tiene una clase de equivalencia. Lo inverso de una compresión a veces se denomina cirugía de arco integrado (cirugía 0 integrada).
El género de un enlace es el género mínimo de todas las superficies Seifert de un enlace. Una superficie de Seifert de género mínimo es incompresible. Sin embargo, en general no se da el caso de que una superficie de Seifert incompresible sea de género mínimo, por lo que π 1 por sí solo no puede certificar el género de un vínculo. Gabai demostró en particular que una superficie de Seifert que minimiza el género es una hoja de alguna foliación tensa y orientada transversalmente del complemento del nudo, que puede certificarse con una jerarquía múltiple suturada tensa.
Dada una superficie de Seifert incompresible S para un nudo K , entonces el grupo fundamental de S 3 − N ( K ) se divide como una extensión HNN sobre π 1 ( S ), que es un grupo libre . Los dos mapas de π 1 ( S ) a π 1 ( S 3 − N ( S )) dados al empujar bucles fuera de la superficie hacia el lado positivo o negativo de N ( S ) son ambos inyecciones.
![{\displaystyle (D\times [-1,1])\cap S=\partial D\times [-1,1].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/291fc6861b87d960c549e448ef699a3c8c59f679)
