Microscopía de helio de barrido

Diagrama que muestra cómo funciona un microscopio de helio de barrido. Se forma un haz mediante la expansión y colimación de un gas a través de un separador y un orificio. Luego, el haz incide sobre la muestra, donde el gas se dispersa y se recoge a través de una abertura de detector. Luego, el gas dispersado se detecta utilizando un espectrómetro de masas. Luego, al rasterizar la muestra, se puede formar una imagen de la misma.

El microscopio de helio de barrido (SHeM) es una forma novedosa de microscopía que utiliza átomos de helio neutros de baja energía (5-100 meV) para obtener imágenes de la superficie de una muestra sin que el proceso de obtención de imágenes la dañe. Como el helio es inerte y neutro, se puede utilizar para estudiar superficies delicadas y aislantes. Las imágenes se forman al pasar una muestra por debajo de un haz de átomos y al monitorear el flujo de átomos que se dispersan en un detector en cada punto.

La técnica es diferente a la de un microscopio de iones de helio de barrido , que utiliza iones de helio cargados que pueden dañar una superficie.

Motivación

Los microscopios se pueden dividir en dos clases generales: los que iluminan la muestra con un haz y los que utilizan una sonda de barrido física. Los microscopios de sonda de barrido pasan una pequeña sonda por la superficie de una muestra y controlan la interacción de la sonda con la muestra. La resolución de los microscopios de sonda de barrido se establece por el tamaño de la región de interacción entre la sonda y la muestra, que puede ser lo suficientemente pequeña como para permitir la resolución atómica. Sin embargo, el uso de una punta física (por ejemplo, AFM o STM ) tiene algunas desventajas, entre ellas, un área de imagen razonablemente pequeña y la dificultad de observar estructuras con una gran variación de altura en una pequeña distancia lateral.

Los microscopios que utilizan un haz tienen un límite fundamental en el tamaño mínimo de característica resoluble, , que viene dado por el límite de difracción de Abbe , ${\displaystyle d_{\text{A}}}$

${\displaystyle d_{\text{A}}={\frac {\lambda }{2n\sin {\theta }}},}$

donde es la longitud de onda de la onda de sondeo, es el índice de refracción del medio en el que viaja la onda y la onda converge a un punto con un semiángulo de . Si bien es posible superar el límite de difracción en la resolución mediante una técnica de campo cercano , suele ser bastante difícil. Dado que el denominador de la ecuación anterior para el límite de difracción de Abbe será aproximadamente dos en el mejor de los casos, la longitud de onda de la sonda es el factor principal para determinar la característica mínima resoluble, que normalmente es de alrededor de 1 μm para la microscopía óptica. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \theta }$

Para superar el límite de difracción, se necesita una sonda que tenga una longitud de onda más pequeña, lo que se puede lograr utilizando luz con mayor energía o mediante el uso de una onda de materia .

Los rayos X tienen una longitud de onda mucho menor que la luz visible y, por lo tanto, pueden lograr resoluciones superiores en comparación con las técnicas ópticas. La obtención de imágenes por proyección de rayos X se utiliza tradicionalmente en aplicaciones médicas, pero la obtención de imágenes de alta resolución se logra mediante microscopía de rayos X de transmisión por barrido (STXM). Al enfocar los rayos X en un punto pequeño y pasarlos por una muestra, se puede obtener una resolución muy alta con la luz. La pequeña longitud de onda de los rayos X se produce a expensas de una alta energía de los fotones, lo que significa que los rayos X pueden causar daños por radiación. Además, los rayos X interactúan débilmente, por lo que interactuarán principalmente con la mayor parte de la muestra, lo que dificulta las investigaciones de una superficie.

Las ondas de materia tienen una longitud de onda mucho más corta que la luz visible y, por lo tanto, se pueden utilizar para estudiar características por debajo de aproximadamente 1 μm. La aparición de la microscopía electrónica abrió una variedad de nuevos materiales que se podían estudiar debido a la enorme mejora en la resolución en comparación con la microscopía óptica.

La longitud de onda de De Broglie , , de una onda de materia en términos de su energía cinética, , y masa de partícula, , está dada por ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{\sqrt {2mE}}}.}$

Por lo tanto, para que un haz de electrones resuelva la estructura atómica, la longitud de onda de la onda de materia debería ser al menos = 1 Å y, por lo tanto, la energía del haz debería estar dada por > 100 eV. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle E}$

Como los electrones están cargados, se pueden manipular mediante óptica electromagnética para formar puntos de tamaño extremadamente pequeño sobre una superficie. Debido a que la longitud de onda de un haz de electrones es baja, el límite de difracción de Abbe se puede llevar por debajo de la resolución atómica y se pueden utilizar lentes electromagnéticas para formar puntos muy intensos sobre la superficie de un material. La óptica de un microscopio electrónico de barrido generalmente requiere que la energía del haz sea superior a 1 keV para producir el haz de electrones de mejor calidad.

La alta energía de los electrones hace que el haz de electrones interactúe no solo con la superficie de un material, sino que forme un volumen de interacción en forma de lágrima debajo de la superficie. Si bien el tamaño del punto en la superficie puede ser extremadamente pequeño, los electrones viajarán hacia la masa y continuarán interactuando con la muestra. La microscopía electrónica de transmisión evita la interacción con la masa al utilizar solo muestras delgadas; sin embargo, por lo general, el haz de electrones que interactúa con la masa limitará la resolución de un microscopio electrónico de barrido.

El haz de electrones también puede dañar el material, destruyendo la estructura que se va a estudiar debido a la alta energía del haz. El daño del haz de electrones puede ocurrir a través de una variedad de procesos diferentes que son específicos de la muestra. ^[1] Los ejemplos de daño del haz incluyen la ruptura de enlaces en un polímero, que cambia la estructura, y el daño indirecto en metales que crea una vacante en la red, que cambia la química de la superficie. Además, el haz de electrones está cargado, lo que significa que la superficie de la muestra debe ser conductora para evitar artefactos de acumulación de carga en las imágenes. Un método para mitigar el problema al obtener imágenes de superficies aislantes es utilizar un microscopio electrónico de barrido ambiental (ESEM).

Por lo tanto, en general, los electrones no suelen ser especialmente adecuados para estudiar superficies delicadas debido a la alta energía del haz y la falta de sensibilidad superficial exclusiva. En cambio, se requiere un haz alternativo para el estudio de superficies a baja energía sin alterar la estructura.

Dada la ecuación para la longitud de onda de De Broglie anterior, la misma longitud de onda de un haz se puede lograr a energías más bajas utilizando un haz de partículas que tienen una masa mayor. Por lo tanto, si el objetivo fuera estudiar la superficie de un material con una resolución inferior a la que se puede lograr con la microscopía óptica, puede ser adecuado utilizar átomos como sonda en su lugar. Si bien los neutrones se pueden utilizar como sonda, interactúan débilmente con la materia y solo pueden estudiar la estructura en masa de un material. ^[2] La formación de imágenes de neutrones también requiere un alto flujo de neutrones, que generalmente solo puede proporcionar un reactor nuclear o un acelerador de partículas.

Un haz de átomos de helio con una longitud de onda de 1 Å tiene una energía de 20 meV, que es aproximadamente la misma que la energía térmica. El uso de partículas con una masa superior a la de un electrón permite obtener un haz con una longitud de onda adecuada para sondear escalas de longitud hasta el nivel atómico con una energía mucho menor. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle E\approx }$

Los haces de energía térmica de átomos de helio son exclusivamente sensibles a la superficie, lo que le da a la dispersión de helio una ventaja sobre otras técnicas como la dispersión de electrones y rayos X para estudios de superficies. Para las energías de haz que se utilizan, los átomos de helio tendrán puntos de inflexión clásicos a 2-3 Å de distancia de los núcleos de los átomos de la superficie. ^[3] El punto de inflexión está muy por encima de los núcleos de los átomos de la superficie, lo que significa que el haz solo interactuará con los electrones más externos.

Historia

La primera discusión sobre la obtención de una imagen de una superficie usando átomos fue de King y Bigas, ^{[4] [¿ investigación original? ]} quienes demostraron que se puede obtener una imagen de una superficie calentando una muestra y monitoreando los átomos que se evaporan de la superficie ^{[ ¿cuándo? ]} . King y Bigas sugieren que podría ser posible formar una imagen dispersando átomos de la superficie, aunque pasó algún tiempo antes de que esto se demostrara. ^{[ ¿cuándo? ]}

La idea de obtener imágenes con átomos en lugar de luz fue posteriormente ampliamente discutida en la literatura. ^{[5] [6] [7] [8] [9] [ ¿investigación original? ] [ ¿cuándo? ]} El enfoque inicial para producir un microscopio de helio asumió que se requiere un elemento de enfoque para producir un haz de átomos de alta intensidad. Un enfoque temprano fue desarrollar un espejo atómico , ^{[8] [ se necesita una fuente no primaria ]} que es atractivo ya que el enfoque es independiente de la distribución de velocidad de los átomos entrantes. Sin embargo, los desafíos materiales para producir una superficie apropiada que sea macroscópicamente curvada y libre de defectos en una escala de longitud atómica ha demostrado ser demasiado desafiante hasta ahora. ^{[10] [11] [ se necesita una fuente no primaria ]} King y Bigas, ^[4] demostraron que se puede obtener una imagen de una superficie calentando una muestra y monitoreando los átomos que se evaporan de la superficie. King y Bigas sugieren que podría ser posible formar una imagen dispersando átomos de la superficie, aunque pasó algún tiempo antes de que se demostrara. ^{[ Se necesita una fuente no primaria ]}

Los átomos metaestables son átomos que han sido excitados fuera del estado fundamental, pero permanecen en un estado excitado durante un período de tiempo significativo. Se ha demostrado que es posible la microscopía utilizando átomos metaestables, donde los átomos metaestables liberan energía interna almacenada en la superficie, liberando electrones que proporcionan información sobre la estructura electrónica. ^{[12] [13] [ fuente no primaria necesaria ]} La energía cinética de los átomos metaestables significa que solo se investiga la estructura electrónica de la superficie, pero el gran intercambio de energía cuando el átomo metaestable se desexcita aún perturbará las delicadas superficies de la muestra.

Las primeras imágenes bidimensionales de helio neutro fueron obtenidas utilizando una placa de zona de Fresnel convencional ^[9] por Koch et al. ^{[14] [ fuente no primaria necesaria ] [ ¿cuándo? ]} en una configuración de transmisión. El helio no pasa a través de un material sólido, por lo tanto, se obtiene un gran cambio en la señal medida cuando se coloca una muestra entre la fuente y el detector. Al maximizar el contraste y usar el modo de transmisión, fue mucho más fácil verificar la viabilidad de la técnica. Sin embargo, la configuración utilizada por Koch et al. con una placa de zona no produjo una señal lo suficientemente alta como para observar la señal reflejada desde la superficie en ese momento. No obstante, el enfoque obtenido con una placa de zona ofrece el potencial de una resolución mejorada debido al pequeño tamaño del punto del haz en el futuro. La investigación sobre microscopios de helio neutro que utilizan una placa de zona de Fresnel es un área activa en el grupo de Holst en la Universidad de Bergen.

Dado que el uso de una placa de zona resultó difícil debido a la baja eficiencia de enfoque, se exploraron métodos alternativos para formar un haz de helio para producir imágenes con átomos.

Los esfuerzos recientes ^{[ ¿cuándo? ]} han evitado enfocar elementos y en su lugar están colimando directamente un haz con un orificio. La falta de óptica atómica significa que el ancho del haz será significativamente mayor que en un microscopio electrónico . La primera demostración publicada de una imagen bidimensional formada por helio que se refleja desde la superficie fue realizada por Witham y Sánchez, quienes usaron un orificio para formar el haz de helio. ^{[15] [ se necesita una fuente no primaria ]} Se coloca un pequeño orificio muy cerca de una muestra y el helio dispersado en un gran ángulo sólido se alimenta a un detector. Las imágenes se recogen moviendo la muestra por debajo del haz y monitoreando cómo cambia el flujo de helio dispersado.

En paralelo al trabajo de Witham y Sánchez, en Cambridge se estaba desarrollando una máquina de prueba de concepto llamada microscopio de helio de barrido (SHeM) en colaboración con el grupo de Dastoor de la Universidad de Newcastle. ^{[16] [ fuente no primaria necesaria ]} El enfoque que se adoptó fue simplificar los intentos anteriores que involucraban un espejo atómico mediante el uso de un orificio, pero seguir utilizando una fuente de helio convencional para producir un haz de alta calidad. Otras diferencias con el diseño de Witham y Sánchez incluyen el uso de una distancia mayor entre la muestra y el orificio, de modo que se pueda utilizar una mayor variedad de muestras, y el uso de un ángulo sólido de recolección más pequeño, de modo que sea posible observar un contraste más sutil. Estos cambios también redujeron el flujo total en el detector, lo que significa que se requieren detectores de mayor eficiencia (lo que en sí mismo es un área activa de investigación. ^{[17] [18] [ fuente no primaria necesaria ]}

Proceso de formación de imágenes

Imagen del ojo de una mosca a partir de un átomo de helio

Árbol de mecanismos de contraste SHeM

El haz atómico se forma mediante una expansión supersónica , que es una técnica estándar utilizada en la dispersión de átomos de helio . La línea central del gas se selecciona mediante un skimmer para formar un haz de átomos con una distribución de velocidad estrecha. Luego, el gas se colima aún más mediante un orificio para formar un haz estrecho, que normalmente tiene entre 1 y 10 μm. El uso de un elemento de enfoque (como una placa de zona) permite lograr tamaños de punto de haz inferiores a 1 μm, pero actualmente sigue teniendo una intensidad de señal baja.

El gas se dispersa desde la superficie y se recoge en un detector. Para medir el flujo de los átomos de helio neutro, primero hay que ionizarlos. La inercia del helio, que lo convierte en una sonda delicada, hace que sea difícil ionizarlo, por lo que normalmente se utiliza un bombardeo de electrones bastante agresivo para crear los iones. A continuación, se utiliza un espectrómetro de masas para seleccionar solo los iones de helio para la detección.

Una vez que se recoge el flujo de una parte específica de la superficie, la muestra se mueve debajo del haz para generar una imagen. Al obtener el valor del flujo disperso en una cuadrícula de posiciones, los valores se pueden convertir en una imagen.

El contraste observado en las imágenes de helio ha estado dominado típicamente por la variación en la topografía de la muestra. Típicamente, dado que la longitud de onda del haz de átomos es pequeña, las superficies aparecen extremadamente rugosas para el haz de átomos entrante. Por lo tanto, los átomos se dispersan de manera difusa y siguen aproximadamente la Ley de Knudsen [cita?] (el equivalente atómico de la ley del coseno de Lambert en óptica). Sin embargo, más recientemente, el trabajo ha comenzado a ver divergencia de la dispersión difusa debido a efectos como la difracción ^[18] y los efectos de contraste químico. ^[19] Sin embargo, los mecanismos exactos para formar contraste en un microscopio de helio son un campo activo de investigación. La mayoría de los casos tienen una combinación compleja de varios mecanismos de contraste que dificultan desentrañar las diferentes contribuciones.

La combinación de imágenes desde múltiples perspectivas permite que la estereofotogrametría produzca imágenes tridimensionales parciales, especialmente valiosas para muestras biológicas sujetas a degradación en microscopios electrónicos. ^[20]

Configuraciones óptimas

Las configuraciones óptimas de los microscopios de helio de barrido son configuraciones geométricas que maximizan la intensidad del haz de imágenes dentro de una resolución lateral dada y bajo ciertas restricciones tecnológicas . ^{[21] [22]}

Al diseñar un microscopio de helio de barrido, los científicos se esfuerzan por maximizar la intensidad del haz de imágenes y minimizar su ancho. La razón detrás de esto es que el ancho del haz proporciona la resolución del microscopio, mientras que su intensidad es proporcional a su relación señal/ruido. Debido a su neutralidad y alta energía de ionización , los átomos de helio neutros son difíciles de detectar. ^[22] Esto hace que los haces de alta intensidad sean un requisito crucial para un microscopio de helio de barrido viable.

Para generar un haz de alta intensidad, los microscopios de helio de barrido están diseñados para generar una expansión supersónica del gas en el vacío, que acelera los átomos de helio neutros a altas velocidades. ^[23] Los microscopios de helio de barrido existen en dos configuraciones diferentes: la configuración de orificio ^[24] y la configuración de placa de zona. ^[25] En la configuración de orificio, una pequeña abertura (el orificio) selecciona una sección de la expansión supersónica alejada de su origen, que previamente ha sido colimada por un skimmer (esencialmente, otro orificio pequeño). Esta sección luego se convierte en el haz de imágenes. En la configuración de placa de zona, una placa de zona de Fresnel enfoca los átomos que vienen de un skimmer en un pequeño punto focal.

Cada una de estas configuraciones tiene diferentes diseños óptimos, ya que están definidos por diferentes ecuaciones ópticas.

Configuración de orificio estenopeico

Geometría de un microscopio de helio de barrido en su configuración estenopeica que muestra las variables utilizadas en este artículo. Imagen tomada de ^[22] (subida por el autor).

En la configuración de orificios, el ancho del haz (que pretendemos minimizar) viene determinado en gran medida por la óptica geométrica . El tamaño del haz en el plano de la muestra viene determinado por las líneas que conectan los bordes del skimmer con los bordes de los orificios. Cuando el número de Fresnel es muy pequeño ( ), el ancho del haz también se ve afectado por la difracción de Fraunhofer (véase la ecuación siguiente). ${\displaystyle F\ll 1}$

${\displaystyle \Phi =2{\sqrt {2\ln 2/3}}{\sqrt {\delta ^{2}+3\sigma _{A}^{2}(1-\theta (F))}}.}$

En esta ecuación, es el ancho total en la mitad del máximo del haz, es la proyección geométrica del haz y es el término de difracción de Airy . es la función escalonada de Heaviside que se utiliza aquí para indicar que la presencia del término de difracción depende del valor del número de Fresnel. Tenga en cuenta que existen variaciones de esta ecuación según lo que se defina como el "ancho del haz" (para obtener más detalles, compare ^[21] y ^[22] ). Debido a la pequeña longitud de onda del haz de helio, el término de difracción de Fraunhofer generalmente se puede omitir. ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \sigma _{A}}$ ${\displaystyle \theta }$

La intensidad del haz (que pretendemos maximizar) viene dada por la siguiente ecuación (según el modelo de Sikora y Andersen): ^[26]

${\displaystyle I=I_{0}{\frac {r_{ph}^{2}}{(R_{F}+a)^{2}}}\left(1-\exp \left[-S^{2}\left({\frac {r_{S}(R_{F}+a)}{R_{F}(R_{F}-x_{S}+a)}}\right)^{2}\right]\right).}$

Donde es la intensidad total que surge de la tobera de expansión supersónica (tomada como una constante en el problema de optimización), es el radio del agujero, S es la relación de velocidad del haz, es el radio del skimmer, es el radio de la superficie de salida de la expansión supersónica (el punto en la expansión desde el cual se puede considerar que los átomos viajan en línea recta), es la distancia entre la tobera y el skimmer y es la distancia entre el skimmer y el agujero. Hay varias otras versiones de esta ecuación que dependen del modelo de intensidad, pero todas muestran una dependencia cuadrática con el radio del agujero (cuanto más grande es el agujero, más intensidad) y una dependencia cuadrática inversa con la distancia entre el skimmer y el agujero (cuanto más se extienden los átomos, menor intensidad). ${\displaystyle I_{0}}$ ${\displaystyle r_{ph}}$ ${\displaystyle r_{S}}$ ${\displaystyle R_{F}}$ ${\displaystyle x_{S}}$ ${\displaystyle a}$

Combinando las dos ecuaciones mostradas arriba, se puede obtener que para un ancho de haz dado para el régimen de óptica geométrica los siguientes valores corresponden a máximos de intensidad: ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle r_{S}^{max}={\frac {\Phi a}{2W_{D}K}},\qquad r_{ph}^{max}={\frac {\Phi a}{2K(a+W_{D})}}.}$

En este caso, representa la distancia de trabajo del microscopio y es una constante que se deriva de la definición del ancho del haz. Nótese que ambas ecuaciones se dan con respecto a la distancia entre el skimmer y el orificio, a . El máximo global de intensidad se puede obtener numéricamente reemplazando estos valores en la ecuación de intensidad anterior. En general, se prefieren radios de skimmer más pequeños acoplados con distancias más pequeñas entre el skimmer y el orificio, lo que en la práctica conduce al diseño de microscopios estenopeicos cada vez más pequeños. ${\displaystyle W_{D}}$ ${\displaystyle K=2{\sqrt {2\ln 2/3}}}$

Configuración de placa de zona

Geometría de un microscopio de helio de barrido en su configuración de placa de zona que muestra las variables utilizadas en este artículo. Imagen tomada de ^[27] (subida por el autor).

El microscopio de placa de zona utiliza una placa de zona (que actúa aproximadamente como una lente clásica ) en lugar de un orificio para enfocar el haz de átomos en un punto focal pequeño. Esto significa que la ecuación del ancho del haz cambia significativamente (ver a continuación).

${\displaystyle \Phi =K{\sqrt {\sigma _{cm}^{2}+\sigma _{A}^{2}+\left({\frac {Mr_{S}}{\sqrt {3}}}\right)^{2}}}\sim K{\sqrt {\left({\frac {r_{ZP}}{S{\sqrt {2}}}}\right)^{2}+0.42\Delta r+\left({\frac {Mr_{S}}{\sqrt {3}}}\right)^{2}}}.}$

Aquí, se muestra el aumento de la placa de zona y es el ancho de la zona más pequeña. Nótese la presencia de aberraciones cromáticas ( ). El signo de aproximación indica el régimen en el que la distancia entre la placa de zona y el skimmer es mucho mayor que su longitud focal. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Delta r}$ ${\displaystyle \sigma _{cm}}$

El primer término de esta ecuación es similar a la contribución geométrica en el caso del agujero estenopeico: una placa de zona más grande (considerando todos los parámetros constantes) corresponde a un tamaño de punto focal más grande. El tercer término difiere de la configuración óptica del agujero estenopeico, ya que incluye una relación cuadrática con el tamaño del skimmer (que se visualiza a través de la placa de zona) y una relación lineal con el aumento de la placa de zona, que al mismo tiempo dependerá de su radio. ${\displaystyle \delta }$

La ecuación para maximizar la intensidad es la misma que en el caso del agujero estenopeico con la sustitución . Por sustitución de la ecuación de aumento: ${\displaystyle r_{ph}\leftrightarrow r_{ZP}}$

${\displaystyle M={\frac {f}{a-f}}={\frac {2r_{ZP}\Delta r}{\lambda (a-2r_{ZP}\Delta r/\lambda )}},}$

donde es la longitud de onda media de De-Broglie del haz. Tomando una constante , que debe ser igual al valor más pequeño alcanzable, los máximos de la ecuación de intensidad con respecto al radio de la placa de zona y la distancia entre el skimmer y la placa de zona se pueden obtener analíticamente. La derivada de la intensidad con respecto al radio de la placa de zona se puede reducir a la siguiente ecuación cúbica (una vez que se ha establecido igual a cero): ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Delta r}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle a^{3}+2a^{2}\left(R_{F}-{\sqrt {3\Gamma }}r_{ZP}\right)+aR_{F}(R_{F}-4r_{ZP}{\sqrt {3\Gamma }})=r_{ZP}{\sqrt {3\Gamma }})R_{F}^{2}\left[{\frac {2S^{2}\Phi '^{2}+r_{ZP}^{2}(\Gamma -1)}{S^{2}\Phi '^{2}-0.5r_{ZP}^{2}}}\right].}$

Aquí se utilizan algunas agrupaciones: es una constante que da el tamaño relativo de la apertura más pequeña de la placa de zona en comparación con la longitud de onda promedio del haz y es el ancho del haz modificado, que se utiliza a través de la derivación para evitar operar explícitamente con el término constante de Airy: . ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Phi '}$ ${\displaystyle \Phi '^{2}=\sigma _{cm}^{2}+\left({\frac {Mr_{S}}{\sqrt {3}}}\right)^{2}}$

Esta ecuación cúbica se obtiene bajo una serie de supuestos geométricos y tiene una solución analítica en forma cerrada que se puede consultar en el artículo original ^[27] u obtener a través de cualquier software de álgebra moderno. La consecuencia práctica de esta ecuación es que los microscopios de placa de zona están diseñados de manera óptima cuando las distancias entre los componentes son pequeñas y el radio de la placa de zona también es pequeño. Esto va en línea con los resultados obtenidos para la configuración de orificios y tiene como consecuencia práctica el diseño de microscopios de helio de barrido más pequeños.

Véase también

• Dispersión de átomos de helio
• Óptica atómica
• Espejo atómico
• Onda de materia

Referencias

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