Elemento aleatorio

En teoría de la probabilidad , el elemento aleatorio es una generalización del concepto de variable aleatoria a espacios más complicados que la simple línea real. El concepto fue introducido por Maurice Fréchet  (1948), quien comentó que “el desarrollo de la teoría de la probabilidad y la expansión del área de sus aplicaciones han llevado a la necesidad de pasar de esquemas donde los resultados (aleatorios) de los experimentos pueden describirse mediante números o un conjunto finito de números, a esquemas donde los resultados de los experimentos representan, por ejemplo, vectores , funciones , procesos, campos , series , transformaciones y también conjuntos o colecciones de conjuntos”. ^[1]

El uso moderno de “elemento aleatorio” frecuentemente supone que el espacio de valores es un espacio vectorial topológico , a menudo un espacio de Banach o de Hilbert con un álgebra sigma natural especificada de subconjuntos. ^[2]

Definición

Sea un espacio de probabilidad y un espacio medible . Un elemento aleatorio con valores en E es una función X : Ω→ E que es - medible . Es decir, una función X tal que para cualquier , la preimagen de B se encuentra en . ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$ ${\displaystyle ({\mathcal {F}},{\mathcal {E}})}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

A veces, los elementos aleatorios con valores en se denominan variables aleatorias con valores . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

Nótese que si , donde son los números reales, y es su σ-álgebra de Borel , entonces la definición de elemento aleatorio es la definición clásica de variable aleatoria . ${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$

La definición de un elemento aleatorio con valores en un espacio de Banach se entiende típicamente como la utilización del álgebra más pequeña en B para la cual cada funcional lineal acotado es medible. Una definición equivalente, en este caso, a la anterior, es que una función , de un espacio de probabilidad, es un elemento aleatorio si es una variable aleatoria para cada funcional lineal acotado f , o, equivalentemente, que es débilmente medible . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle X:\Omega \rightarrow B}$ ${\displaystyle f\circ X}$ ${\displaystyle X}$

Ejemplos de elementos aleatorios

Variable aleatoria

Una variable aleatoria es el tipo más simple de elemento aleatorio. Es un mapa, es una función medible del conjunto de resultados posibles . ${\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Como función de valor real, a menudo describe una cantidad numérica de un evento determinado. Por ejemplo, la cantidad de caras después de una cierta cantidad de lanzamientos de moneda; la altura de diferentes personas. ${\displaystyle X}$

Cuando la imagen (o rango) de es finita o infinitamente contable , la variable aleatoria se denomina variable aleatoria discreta ^[3] y su distribución se puede describir mediante una función de masa de probabilidad que asigna una probabilidad a cada valor en la imagen de . Si la imagen es infinitamente contable, entonces se denomina variable aleatoria continua. En el caso especial de que sea absolutamente continua , su distribución se puede describir mediante una función de densidad de probabilidad , que asigna probabilidades a intervalos; en particular, cada punto individual debe tener necesariamente probabilidad cero para una variable aleatoria absolutamente continua. No todas las variables aleatorias continuas son absolutamente continuas, ^[4] por ejemplo, una distribución de mezcla . Tales variables aleatorias no se pueden describir mediante una densidad de probabilidad o una función de masa de probabilidad. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Vector aleatorio

Un vector aleatorio es un vector columna (o su transpuesta , que es un vector fila ) cuyos componentes son variables aleatorias de valor escalar en el mismo espacio de probabilidad , donde es el espacio muestral , es el álgebra sigma (la colección de todos los eventos) y es la medida de probabilidad (una función que devuelve la probabilidad de cada evento ). ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},...,X_{n})^{T}}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle P}$

Los vectores aleatorios se utilizan a menudo como la implementación subyacente de varios tipos de variables aleatorias agregadas , por ejemplo, una matriz aleatoria , un árbol aleatorio , una secuencia aleatoria , un proceso aleatorio , etc.

Matriz aleatoria

Una matriz aleatoria es un elemento aleatorio con valores matriciales . Muchas propiedades importantes de los sistemas físicos se pueden representar matemáticamente como problemas matriciales. Por ejemplo, la conductividad térmica de una red se puede calcular a partir de la matriz dinámica de las interacciones entre partículas dentro de la red.

Función aleatoria

Una función aleatoria es un tipo de elemento aleatorio en el que se selecciona un único resultado de una familia de funciones, donde la familia consiste en una clase de todas las funciones del dominio al codominio . Por ejemplo, la clase puede estar restringida a todas las funciones continuas o a todas las funciones escalonadas . Los valores determinados por una función aleatoria evaluada en diferentes puntos de la misma realización generalmente no serían estadísticamente independientes pero, dependiendo del modelo, los valores determinados en el mismo punto o en diferentes puntos de diferentes realizaciones podrían tratarse como independientes.

Proceso aleatorio

Un proceso aleatorio es una colección de variables aleatorias que representan la evolución de algún sistema de valores aleatorios a lo largo del tiempo. Esta es la contraparte probabilística de un proceso determinista (o sistema determinista ). En lugar de describir un proceso que solo puede evolucionar en una dirección (como en el caso, por ejemplo, de las soluciones de una ecuación diferencial ordinaria ), en un proceso estocástico o aleatorio hay cierta indeterminación: incluso si se conoce la condición inicial (o punto de partida), existen varias direcciones (a menudo infinitas) en las que el proceso puede evolucionar.

En el caso simple del tiempo discreto , a diferencia del tiempo continuo , un proceso estocástico involucra una secuencia de variables aleatorias y las series de tiempo asociadas con estas variables aleatorias (por ejemplo, ver cadena de Markov , también conocida como cadena de Markov de tiempo discreto).

Campo aleatorio

Dado un espacio de probabilidad y un espacio medible X, un campo aleatorio de valor X es una colección de variables aleatorias de valor X indexadas por elementos en un espacio topológico T. Es decir, un campo aleatorio F es una colección ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$

${\displaystyle \{F_{t}:t\in T\}}$

donde cada uno es una variable aleatoria con valor X. ${\displaystyle F_{t}}$

Existen varios tipos de campos aleatorios, entre ellos el campo aleatorio de Markov (MRF), el campo aleatorio de Gibbs (GRF), el campo aleatorio condicional (CRF) y el campo aleatorio gaussiano . Un MRF exhibe la propiedad markoviana

${\displaystyle P(X_{i}=x_{i}|X_{j}=x_{j},i\neq j)=P(X_{i}=x_{i}|\partial _{i}),\,}$

donde es un conjunto de vecinos de la variable aleatoria Xi . En otras palabras, la probabilidad de que una variable aleatoria asuma un valor depende de las otras _variables aleatorias solo a través de las que son sus vecinas inmediatas. La probabilidad de una variable aleatoria en una MRF está dada por ${\displaystyle \partial _{i}}$

${\displaystyle P(X_{i}=x_{i}|\partial _{i})={\frac {P(\omega )}{\sum _{\omega '}P(\omega ')}},}$

donde Ω' es la misma realización de Ω, excepto para la variable aleatoria X _i . Es difícil de calcular con esta ecuación, sin recurrir a la relación entre MRFs y GRFs propuesta por Julian Besag en 1974.

Medida aleatoria

Una medida aleatoria es un elemento aleatorio con valor de medida . ^{[5] [6]} Sea X un espacio métrico separable completo y la σ-álgebra de sus conjuntos de Borel. Una medida de Borel μ en X es acotadamente finita si μ(A) < ∞ para cada conjunto de Borel acotado A. Sea el espacio de todas las medidas acotadas finitas en . Sea (Ω, ℱ, P ) un espacio de probabilidad , entonces una medida aleatoria se asigna desde este espacio de probabilidad al espacio medible ( ,  ) . ^[7] Una medida generalmente podría descomponerse como: ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(X)}$ ${\displaystyle M_{X}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(X)}$ ${\displaystyle M_{X}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(M_{X})}$

${\displaystyle \mu =\mu _{d}+\mu _{a}=\mu _{d}+\sum _{n=1}^{N}\kappa _{n}\delta _{X_{n}},}$

Aquí hay una medida difusa sin átomos, mientras que es una medida puramente atómica. ${\displaystyle \mu _{d}}$ ${\displaystyle \mu _{a}}$

Conjunto aleatorio

Un conjunto aleatorio es un elemento aleatorio con valor de conjunto.

Un ejemplo específico es un conjunto compacto aleatorio . Sea un espacio métrico separable completo . Sea el conjunto de todos los subconjuntos compactos de . La métrica de Hausdorff en se define por ${\displaystyle (M,d)}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$

${\displaystyle h(K_{1},K_{2}):=\max \left\{\sup _{a\in K_{1}}\inf _{b\in K_{2}}d(a,b),\sup _{b\in K_{2}}\inf _{a\in K_{1}}d(a,b)\right\}.}$

${\displaystyle ({\mathcal {K}},h)}$es también un espacio métrico separable completo. Los subconjuntos abiertos correspondientes generan un σ-álgebra en , el álgebra sigma de Borel de . ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}({\mathcal {K}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$

Un conjunto compacto aleatorio es una función medible de un espacio de probabilidad en . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ ${\displaystyle ({\mathcal {K}},{\mathcal {B}}({\mathcal {K}}))}$

Dicho de otra manera, un conjunto compacto aleatorio es una función medible tal que es casi seguramente compacta y ${\displaystyle K\colon \Omega \to 2^{M}}$ ${\displaystyle K(\omega )}$

${\displaystyle \omega \mapsto \inf _{b\in K(\omega )}d(x,b)}$

es una función medible para cada . ${\displaystyle x\in M}$

Objetos geométricos aleatorios

Estos incluyen puntos aleatorios, figuras aleatorias, ^[8] y formas aleatorias. ^[8]

Referencias

1. Fréchet, M. (1948). "Les elementos aleatorios de la naturaleza quelconque dans un espacio distante". Anales del Instituto Henri Poincaré . 10 (4): 215–310.
2. VV Buldygin, AB Kharazishvili. Aspectos geométricos de la teoría de la probabilidad y la estadística matemática. – Kluwer Academic Publishers, Dordrecht. – 2000
3. Yates, Daniel S.; Moore, David S.; Starnes, Daren S. (2003). La práctica de la estadística (2.ª ed.). Nueva York: Freeman . ISBN 978-0-7167-4773-4. Archivado desde el original el 9 de febrero de 2005.
4. L. Castañeda; V. Arunachalam y S. Dharmaraja (2012). Introducción a la probabilidad y los procesos estocásticos con aplicaciones. Wiley. pág. 67. ISBN 9781118344941.
5. Kallenberg, O. , Random Measures , 4.ª edición. Academic Press, Nueva York, Londres; Akademie-Verlag, Berlín (1986). ISBN 0-12-394960-2 MR 854102. Una referencia autorizada pero bastante difícil. 
6. Jan Grandell, Procesos puntuales y medidas aleatorias, Advances in Applied Probability 9 (1977) 502-526. MR 0478331 JSTOR Una introducción agradable y clara.
7. Daley, DJ; Vere-Jones, D. (2003). Introducción a la teoría de procesos puntuales . Probabilidad y sus aplicaciones. doi :10.1007/b97277. ISBN 0-387-95541-0.
8. Stoyan, D., y Stoyan, H. (1994) Fractales, formas aleatorias y campos de puntos. Métodos de estadística geométrica . Chichester, Nueva York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-93757-6 

Literatura

• Hoffman-Jorgensen J., Pisier G. (1976) "Ann.Probab.", v.4, 587–589.
• Mourier E. (1955) Elements aleatoires dans un espace de Banach (Estos). París.
• Prokhorov Yu.V. (1999) Elemento aleatorio. Probabilidad y estadística matemática. Enciclopedia. Moscú: "Gran Enciclopedia Rusa", pág. 623.

Enlaces externos

• Entrada en la Enciclopedia Springer de Matemáticas