En teoría de números , los números amigos son dos o más números naturales con un índice de abundancia común , la relación entre la suma de los divisores de un número y el número mismo. Dos números con la misma "abundancia" forman una pareja amiga ; n números con la misma "abundancia" forman una n -tupla amigable .
Ser mutuamente amigable es una relación de equivalencia y, por lo tanto, induce una partición de los naturales positivos en clubes ( clases de equivalencia ) de "números mutuamente amigables".
Se llama solitario a un número que no forma parte de ninguna pareja amiga .
El índice de "abundancia" de n es el número racional σ( n )/ n , en el que σ denota la función de suma de divisores . Un número n es un "número amigable" si existe m ≠ n tal que σ( m ) / m = σ( n ) / n . "Abundancia" no es lo mismo que abundancia , que se define como σ( n ) − 2n .
"Abundancia" también se puede expresar como donde denota una función divisora igual a la suma de las k -ésimas potencias de los divisores de n .
Los números del 1 al 5 son todos solitarios. El "número amigo" más pequeño es el 6, formando por ejemplo, el par "amigo" 6 y 28 con "abundancia" σ(6) / 6 = (1+2+3+6) / 6 = 2, lo mismo que σ (28) / 28 = (1+2+4+7+14+28) / 28 = 2. El valor compartido 2 es un número entero en este caso, pero no en muchos otros casos. Los números con “abundancia” 2 también se conocen como números perfectos . Hay varios problemas sin resolver relacionados con los "números amigos".
A pesar de la similitud de nombre, no existe una relación específica entre los números amigos y los números amigables o los números sociables , aunque las definiciones de estos dos últimos también implican la función divisoria.
Como otro ejemplo, 30 y 140 forman una pareja amiga, porque 30 y 140 tienen la misma "abundancia": [1]
Los números 2480, 6200 y 40640 también son miembros de este club, ya que cada uno de ellos tiene una "abundancia" igual a 12/5.
Para ver un ejemplo de números impares amigables, considere 135 y 819 ("abundancia" 16/9 ( deficiente )). También hay casos de par "amigable" a impar, como 42, 3472, 56896,... (secuencia A347169 en la OEIS ) y 544635 ("abundancia" 16/7). El "amigo" impar puede ser menor que el par, como en 84729645 y 155315394 ("abundancia" 896/351), o en 6517665, 14705145 y 2746713837618 ("abundancia" 64/27).
Un número cuadrado puede ser amigable, por ejemplo, tanto 693479556 (el cuadrado de 26334) como 8640 tienen una "abundancia" 127/36 (este ejemplo está acreditado a Dean Hickerson).
En la siguiente tabla, los números azules son amigables (secuencia A074902 en OEIS ), los números rojos son solitarios (secuencia A095739 en OEIS ), los números n tales que n y son coprimos (secuencia A014567 en OEIS ) se dejan sin colorear. aunque se sabe que son solitarios. Otros números tienen estado desconocido y son amarillos.
Un número que pertenece a un club singleton, porque ningún otro número es "amigo" con él, es un número solitario. Se sabe que todos los números primos son solitarios, al igual que las potencias de los números primos. De manera más general, si los números n y σ( n ) son coprimos , lo que significa que el máximo común divisor de estos números es 1, de modo que σ( n )/ n es una fracción irreducible, entonces el número n es solitario (secuencia A014567 en la OEIS ). Para un número primo p tenemos σ( p ) = p + 1, que es coprimo con p .
No se conoce ningún método general para determinar si un número es "amigable" o solitario. El número más pequeño cuya clasificación se desconoce es 10; se conjetura que es solitario. Si no lo es, al menos su amigo más pequeño lo es . [2] [3] .Existen números pequeños con un amigo más pequeño relativamente grande: por ejemplo, 24 es "amigable", con su amigo más pequeño 91.963.648. [2] [3]
Es un problema abierto el de si existen clubes infinitamente grandes de números mutuamente "amigos". Los números perfectos forman un club, y se conjetura que hay infinitos números perfectos (al menos tantos como primos de Mersenne ), pero no se conoce ninguna prueba. A diciembre de 2022 [actualizar]se conocen 51 números perfectos, el mayor de los cuales tiene más de 49 millones de dígitos en notación decimal . Hay clubes con miembros más conocidos: en particular, los formados por números multiplicados perfectos , que son números cuya "abundancia" es un número entero. En diciembre de 2022 [actualizar], el club de los números "amigos" con "abundancia" igual a 9 cuenta con 2130 miembros conocidos. [4] Aunque se sabe que algunos son bastante grandes, se conjetura que los clubes de números multiplicadamente perfectos (excluyendo los propios números perfectos) son finitos.
Cada par a , b de números amigos da lugar a una proporción positiva de todos los números naturales que son amigos (pero en diferentes clubes), al considerar pares na , nb para multiplicadores n con mcd ( n , ab ) = 1. Por ejemplo, el El par amistoso "primitivo" 6 y 28 da lugar a los pares amistosos 6 n y 28 n para todos los n que son congruentes con 1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37 o 41 módulo. 42. [5]
Esto muestra que la densidad natural de números amigos (si existe) es positiva.
Anderson y Hickerson propusieron que la densidad debería ser, de hecho, 1 (o equivalentemente, que la densidad de los números solitarios debería ser 0). [5] Según el artículo de MathWorld sobre Número solitario (consulte la sección Referencias a continuación), esta conjetura no se ha resuelto, aunque Pomerance pensó en un momento que la había refutado.
