Operador de número de partículas

Operador en mecánica cuántica

En mecánica cuántica , para sistemas donde es posible que no se conserve el número total de partículas , el operador numérico es el observable que cuenta el número de partículas.

Lo siguiente está en notación entre corchetes : El operador numérico actúa en el espacio de Fock . Dejar

$${\displaystyle |\Psi \rangle _{\nu }=|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }}$$

ser un estado de Fock , compuesto por estados de una sola partícula extraídos de una base del espacio de Hilbert subyacente del espacio de Fock. Dados los operadores de creación y aniquilación correspondientes y definimos el operador numérico por ${\displaystyle |\phi _{i}\rangle }$ ${\displaystyle a^{\dagger }(\phi _{i})}$ ${\displaystyle a(\phi _{i})\,}$

$${\displaystyle {\hat {N_{i}}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ a^{\dagger }(\phi _{i})a(\phi _{i})}$$

y tenemos

$${\displaystyle {\hat {N_{i}}}|\Psi \rangle _{\nu }=N_{i}|\Psi \rangle _{\nu }}$$

¿Dónde está el número de partículas en el estado ? La igualdad anterior se puede demostrar observando que ${\displaystyle N_{i}}$ ${\displaystyle |\phi _{i}\rangle }$

$${\displaystyle {\begin{matrix}a(\phi _{i})|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }&=&{\sqrt {N_{i}}}|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }\\a^{\dagger }(\phi _{i})|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }&=&{\sqrt {N_{i}}}|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }\end{matrix}}}$$

$${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\hat {N_{i}}}|\Psi \rangle _{\nu }&=&a^{\dagger }(\phi _{i})a(\phi _{i})\left|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\right\rangle _{\nu }\\[1ex]&=&{\sqrt {N_{i}}}a^{\dagger }(\phi _{i})\left|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\right\rangle _{\nu }\\[1ex]&=&{\sqrt {N_{i}}}{\sqrt {N_{i}}}\left|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\right\rangle _{\nu }\\[1ex]&=&N_{i}|\Psi \rangle _{\nu }\\[1ex]\end{array}}}$$

Ver también

• Oscilador armónico
• Oscilador armónico cuántico
• Segunda cuantificación
• Teoría cuántica de campos
• Termodinámica
• (-1) ^F

Referencias

• Bruus, Henrik; Flensberg, Karsten (2004). Teoría cuántica de muchos cuerpos en física de la materia condensada: una introducción . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 0-19-856633-6.
• Segundas notas de cuantificación de Fradkin