Teorema del núcleo de Peano

Teorema matemático utilizado en el análisis numérico.

En análisis numérico , el teorema del núcleo de Peano es un resultado general sobre límites de error para una amplia clase de aproximaciones numéricas (como las cuadraturas numéricas ), definidas en términos de funcionales lineales . Se atribuye a Giuseppe Peano . ^[1]

Declaración

Sea el espacio de todas las funciones diferenciables en que sean de variación acotada en , y sea una funcional lineal en . Supongamos que eso aniquila todos los polinomios de grado , es decir ${\displaystyle {\mathcal {V}}[a,b]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}[a,b]}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \leq \nu }$

$${\displaystyle Lp=0,\qquad \forall p\in \mathbb {P} _{\nu }[x].}$$

función bivariada ${\displaystyle g(x,\theta )}$ ${\displaystyle g(x,\cdot ),\,g(\cdot ,\theta )\in C^{\nu +1}[a,b]}$

$${\displaystyle L\int _{a}^{b}g(x,\theta )\,d\theta =\int _{a}^{b}Lg(x,\theta )\,d\theta ,}$$

núcleo de ${\displaystyle L}$

$${\displaystyle k(\theta )=L[(x-\theta )_{+}^{\nu }],\qquad \theta \in [a,b],}$$

$${\displaystyle (x-\theta )_{+}^{\nu }={\begin{cases}(x-\theta )^{\nu },&x\geq \theta ,\\0,&x\leq \theta .\end{cases}}}$$

teorema del núcleo de Peano ^{[1] [2]}continuamente diferenciable ${\displaystyle k\in {\mathcal {V}}[a,b]}$ ${\displaystyle f}$ ${\textstyle \nu +1}$

$${\displaystyle Lf={\frac {1}{\nu !}}\int _{a}^{b}k(\theta )f^{(\nu +1)}(\theta )\,d\theta .}$$

Límites

De este resultado se siguen varios límites sobre el valor de : ${\displaystyle Lf}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}|Lf|&\leq {\frac {1}{\nu !}}\|k\|_{1}\|f^{(\nu +1)}\|_{\infty }\\[5pt]|Lf|&\leq {\frac {1}{\nu !}}\|k\|_{\infty }\|f^{(\nu +1)}\|_{1}\\[5pt]|Lf|&\leq {\frac {1}{\nu !}}\|k\|_{2}\|f^{(\nu +1)}\|_{2}\end{aligned}}}$$

donde , y son las normas de taxi , euclidiana y máxima respectivamente. ^[2] ${\displaystyle \|\cdot \|_{1}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}$

Solicitud

En la práctica, la principal aplicación del teorema del núcleo de Peano es acotar el error de una aproximación que sea exacta para todos . El teorema anterior se deriva del polinomio de Taylor con resto integral: ${\displaystyle f\in \mathbb {P} _{\nu }}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)=f(a)+{}&(x-a)f'(a)+{\frac {(x-a)^{2}}{2}}f''(a)+\cdots \\[6pt]&\cdots +{\frac {(x-a)^{\nu }}{\nu !}}f^{(\nu )}(a)+{\frac {1}{\nu !}}\int _{a}^{x}(x-\theta )^{\nu }f^{(\nu +1)}(\theta )\,d\theta ,\end{aligned}}}$

definiéndolo como el error de la aproximación, usando la linealidad de junto con la exactitud para aniquilar todo excepto el término final en el lado derecho, y usando la notación para eliminar la dependencia de los límites integrales. ^[3] ${\displaystyle L(f)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle f\in \mathbb {P} _{\nu }}$ ${\displaystyle (\cdot )_{+}}$ ${\displaystyle x}$

Ver también

• Diferencias divididas

Referencias

1. Ridgway Scott, L. (2011). Análisis numérico . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. págs.209. ISBN 9780691146867. OCLC  679940621.
2. Iserles, Arieh (2009). Un primer curso de análisis numérico de ecuaciones diferenciales (2ª ed.). Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 443–444. ISBN 9780521734905. OCLC  277275036.
3. Iserles, Arieh (1997). «Análisis numérico» (PDF) . Consultado el 9 de agosto de 2018 .