Función multivalor

Función matemática generalizada

Función multivalor {1,2,3} → {a,b,c,d}.

En matemáticas , una función multivaluada (también conocida como función de múltiples valores) es una función que tiene dos o más valores en su rango para al menos un punto en su dominio. ^[1] Es una función de valores conjuntos con propiedades adicionales según el contexto. A veces también se utilizan los términos multifunción y función de múltiples valores .

Una función multivalor de conjuntos f : X → Y es un subconjunto

${\displaystyle \Gamma _{f}\ \subseteq \ X\times Y.}$

Escribe f(x) para el conjunto de aquellas y ∈ Y con ( x,y ) ∈ Γ _f . Si f es una función ordinaria, es una función multivaluada tomando su gráfica

${\displaystyle \Gamma _{f}\ =\ \{(x,f(x))\ :\ x\in X\}.}$

Se denominan funciones de un solo valor para distinguirlas.

Motivación

El término función multivaluada se originó en el análisis complejo, de continuación analítica . A menudo ocurre que uno conoce el valor de una función analítica compleja en algún entorno de un punto . Este es el caso de las funciones definidas por el teorema de la función implícita o por una serie de Taylor alrededor de . En tal situación, uno puede extender el dominio de la función univaluada a lo largo de curvas en el plano complejo comenzando en . Al hacerlo, uno encuentra que el valor de la función extendida en un punto depende de la curva elegida de a ; dado que ninguno de los nuevos valores es más natural que los otros, todos ellos se incorporan a una función multivaluada. ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle z=a}$ ${\displaystyle z=a}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle z=b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Por ejemplo, sea la función raíz cuadrada habitual en números reales positivos. Se puede extender su dominio a un entorno de en el plano complejo, y luego más allá a lo largo de curvas que comienzan en , de modo que los valores a lo largo de una curva dada varían continuamente de . Extendiendo a números reales negativos, se obtienen dos valores opuestos para la raíz cuadrada, por ejemplo ± i para –1 , dependiendo de si el dominio se ha extendido a través de la mitad superior o inferior del plano complejo. Este fenómeno es muy frecuente y ocurre para raíces n -ésimas , logaritmos y funciones trigonométricas inversas . ${\displaystyle f(z)={\sqrt {z}}\,}$ ${\displaystyle z=1}$ ${\displaystyle z=1}$ ${\displaystyle {\sqrt {1}}=1}$

Para definir una función univaluada a partir de una función multivaluada compleja, se puede distinguir uno de los valores múltiples como el valor principal , produciendo una función univaluada en todo el plano que es discontinua a lo largo de ciertas curvas límite. Alternativamente, tratar con la función multivaluada permite tener algo que es continuo en todas partes, a costa de posibles cambios de valor cuando se sigue un camino cerrado ( monodromía ). Estos problemas se resuelven en la teoría de superficies de Riemann : para considerar una función multivaluada como una función ordinaria sin descartar ningún valor, se multiplica el dominio en un espacio de recubrimiento de múltiples capas , una variedad que es la superficie de Riemann asociada a . ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle f(z)}$

Inversas de funciones

Si f : X → Y es una función ordinaria, entonces su inversa es la función multivaluada

${\displaystyle \Gamma _{f^{-1}}\ \subseteq \ Y\times X}$

definida como Γ _f , vista como un subconjunto de X × Y . Cuando f es una función diferenciable entre variedades , el teorema de la función inversa da condiciones para que ésta sea univaluada localmente en X .

Por ejemplo, el logaritmo complejo log(z) es la inversa multivaluada de la función exponencial e ^z  : C → C ^× , con gráfica

${\displaystyle \Gamma _{\log(z)}\ =\ \{(z,w)\ :\ w=\log(z)\}\ \subseteq \ \mathbf {C} \times \mathbf {C} ^{\times }.}$

No es univaluado, dado un único w con w = log(z) , tenemos

${\displaystyle \log(z)\ =\ w\ +\ 2\pi i\mathbf {Z} .}$

Dada cualquier función holomorfa en un subconjunto abierto del plano complejo C , su continuación analítica es siempre una función multivaluada.

Ejemplos concretos

• Todo número real mayor que cero tiene dos raíces cuadradas reales , por lo que la raíz cuadrada puede considerarse una función multivaluada. Por ejemplo, podemos escribir ; aunque cero solo tiene una raíz cuadrada, . ${\displaystyle {\sqrt {4}}=\pm 2=\{2,-2\}}$ ${\displaystyle {\sqrt {0}}=\{0\}}$
• Cada número complejo distinto de cero tiene dos raíces cuadradas, tres raíces cúbicas y, en general, n raíces n -ésimas . La única raíz n- ésima de 0 es 0.
• La función logaritmo complejo es multivaluada. Los valores que asume para números reales y son para todos los números enteros . ${\displaystyle \log(a+bi)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \log {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+i\arg(a+bi)+2\pi ni}$ ${\displaystyle n}$
• Las funciones trigonométricas inversas tienen múltiples valores porque las funciones trigonométricas son periódicas. Tenemos Como consecuencia, arctan(1) está intuitivamente relacionada con varios valores: π /4, 5 π /4, −3 π /4, y así sucesivamente. Podemos tratar a arctan como una función de un solo valor restringiendo el dominio de tan x a − π /2 < x < π /2 – un dominio sobre el cual tan x aumenta monótonamente. Por lo tanto, el rango de arctan( x ) se convierte en − π /2 < y < π /2 . Estos valores de un dominio restringido se denominan valores principales . $${\displaystyle \tan \left({\tfrac {\pi }{4}}\right)=\tan \left({\tfrac {5\pi }{4}}\right)=\tan \left({\tfrac {-3\pi }{4}}\right)=\tan \left({\tfrac {(2n+1)\pi }{4}}\right)=\cdots =1.}$$
• La antiderivada puede considerarse como una función multivaluada. La antiderivada de una función es el conjunto de funciones cuya derivada es dicha función. La constante de integración se deduce del hecho de que la derivada de una función constante es 0.
• Las funciones hiperbólicas inversas sobre el dominio complejo tienen múltiples valores porque las funciones hiperbólicas son periódicas a lo largo del eje imaginario. Sobre los números reales, tienen un solo valor, excepto arcosh y arsech.

Todos estos son ejemplos de funciones multivaluadas que surgen de funciones no inyectivas . Dado que las funciones originales no conservan toda la información de sus entradas, no son reversibles. A menudo, la restricción de una función multivaluada es una inversa parcial de la función original.

Puntos de ramificación

Las funciones multivaluadas de una variable compleja tienen puntos de ramificación . Por ejemplo, para las funciones raíz n -ésima y logaritmo, 0 es un punto de ramificación; para la función arcotangente, las unidades imaginarias i y − i son puntos de ramificación. Usando los puntos de ramificación, estas funciones pueden redefinirse para ser funciones de un solo valor, restringiendo el rango. Un intervalo adecuado puede encontrarse mediante el uso de un corte de ramificación , un tipo de curva que conecta pares de puntos de ramificación, reduciendo así la superficie de Riemann multicapa de la función a una sola capa. Como en el caso de las funciones reales, el rango restringido puede llamarse la rama principal de la función.

Aplicaciones

En física, las funciones multivaluadas desempeñan un papel cada vez más importante. Forman la base matemática de los monopolos magnéticos de Dirac , de la teoría de los defectos en los cristales y la plasticidad resultante de los materiales, de los vórtices en superfluidos y superconductores , y de las transiciones de fase en estos sistemas, por ejemplo, la fusión y el confinamiento de quarks . Son el origen de las estructuras de campo de calibración en muchas ramas de la física. ^{[ cita requerida ]}

Lectura adicional

• H. Kleinert , Campos multivalores en materia condensada, electrodinámica y gravitación , World Scientific (Singapur, 2008) (también disponible en línea)
• H. Kleinert , Gauge Fields in Condensed Matter , Vol. I: Superflow and Vortex Lines, 1–742, Vol. II: Stresses and Defects, 743–1456, World Scientific, Singapur, 1989 (también disponible en línea: Vol. I y Vol. II)

Referencias

1. "Función multivalor". Wolfram MathWorld . Consultado el 10 de febrero de 2024 .