Multiplicación escalar

En matemáticas , la multiplicación escalar es una de las operaciones básicas que definen un espacio vectorial en álgebra lineal ^[1]^[2]^[3] (o más generalmente, un módulo en álgebra abstracta ^[4]^[5] ). En contextos geométricos comunes, la multiplicación escalar de un vector euclidiano real por un número real positivo multiplica la magnitud del vector sin cambiar su dirección . La multiplicación escalar es la multiplicación de un vector por un escalar (donde el producto es un vector), y debe distinguirse del producto interno de dos vectores (donde el producto es un escalar).

Definición

En general, si K es un campo y V es un espacio vectorial sobre K , entonces la multiplicación escalar es una función de K × V a V . El resultado de aplicar esta función a k en K y v en V se denota k v .

Propiedades

La multiplicación escalar obedece las siguientes reglas (vector en negrita ) :

Aditividad en el escalar: ( c + d ) v = c v + d v ;
Aditividad en el vector: c ( v + w ) = c v + c w ;
Compatibilidad del producto de escalares con la multiplicación escalar: ( cd ) v = c ( d v );
Multiplicar por 1 no cambia un vector: 1 v = v ;
Multiplicando por 0 obtenemos el vector cero : 0 v = 0 ;
Multiplicando por −1 obtenemos el inverso aditivo : (−1) v = − v .

Aquí, + es la suma, ya sea en el campo o en el espacio vectorial, según corresponda; y 0 es la identidad aditiva en cualquiera de los dos. La yuxtaposición indica la multiplicación escalar o la operación de multiplicación en el campo.

Interpretación

El espacio de vectores puede considerarse un espacio de coordenadas donde los elementos están asociados a una lista de elementos de K . Las unidades del campo forman un grupo K ^× y la multiplicación escalar-vectorial es una acción de grupo sobre el espacio de coordenadas por K ^× . El cero del campo actúa sobre el espacio de coordenadas para colapsarlo al vector cero.

Cuando K es el cuerpo de los números reales, existe una interpretación geométrica de la multiplicación escalar: estira o contrae los vectores por un factor constante. Como resultado, produce un vector en la misma dirección o en la dirección opuesta del vector original, pero de una longitud diferente. ^[6]

Como caso especial, V puede tomarse como K mismo y la multiplicación escalar puede entonces tomarse como simplemente la multiplicación en el campo.

Cuando V es K ⁿ , la multiplicación escalar es equivalente a la multiplicación de cada componente por el escalar, y puede definirse como tal.

La misma idea se aplica si K es un anillo conmutativo y V es un módulo sobre K. K puede incluso ser un anillo conmutativo , pero entonces no hay inverso aditivo. Si K no es conmutativo , se pueden definir las operaciones distintas multiplicación escalar izquierda c v y multiplicación escalar derecha v c .

Multiplicación escalar de matrices

La multiplicación escalar izquierda de una matriz $A$ por un escalar $λ$ da otra matriz del mismo tamaño que $A$ . Se denota por $λ A$ , cuyas entradas de $λ A$ se definen por

(\lambda \mathbf {A} )_{ij}=\lambda \left(\mathbf {A} \right)_{ij}\,,

explícitamente:

\lambda \mathbf {A} =\lambda {\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1m}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nm}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\lambda A_{11}&\lambda A_{12}&\cdots &\lambda A_{1m}\\\lambda A_{21}&\lambda A_{22}&\cdots &\lambda A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\lambda A_{n1}&\lambda A_{n2}&\cdots &\lambda A_{nm}\\\end{pmatrix}}\,.

De manera similar, aunque no existe una definición ampliamente aceptada, la multiplicación escalar correcta de una matriz $A$ con un escalar $λ$ podría definirse como

(\mathbf {A} \lambda )_{ij}=\left(\mathbf {A} \right)_{ij}\lambda \,,

explícitamente:

\mathbf {A} \lambda ={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1m}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nm}\\\end{pmatrix}}\lambda ={\begin{pmatrix}A_{11}\lambda &A_{12}\lambda &\cdots &A_{1m}\lambda \\A_{21}\lambda &A_{22}\lambda &\cdots &A_{2m}\lambda \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}\lambda &A_{n2}\lambda &\cdots &A_{nm}\lambda \\\end{pmatrix}}\,.

Cuando las entradas de la matriz y los escalares pertenecen al mismo cuerpo conmutativo, por ejemplo, el cuerpo de los números reales o el cuerpo de los números complejos, estas dos multiplicaciones son iguales y pueden llamarse simplemente multiplicación escalar . Para matrices sobre un cuerpo más general que no sea conmutativo, pueden no ser iguales.

Para un escalar y una matriz reales:

\lambda = 2,\quad \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}

2\mathbf {A} =2{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\!\cdot \!a&2\!\cdot \!b\\2\!\cdot \!c&2\!\cdot \!d\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a\!\cdot \!2&b\!\cdot \!2\\c\!\cdot \!2&d\!\cdot \!2\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}2=\mathbf {A} 2.

Para escalares y matrices de cuaterniones:

\lambda = i,\quad \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}i&0\\0&j\\\end{pmatrix}}

i{\begin{pmatrix}i&0\\0&j\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i^{2}&0\\0&ij\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&k\\\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}-1&0\\0&-k\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i^{2}&0\\0&ji\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i&0\\0&j\\\end{pmatrix}}i\,,

donde $i, j, k$ son las unidades de cuaternión. La no conmutatividad de la multiplicación de cuaternión evita la transición de cambiar $ij = + k$ a $ji = - k$ .

Véase también

Referencias

^ Lay, David C. (2006). Álgebra lineal y sus aplicaciones (3.ª ed.). Addison–Wesley . ISBN 0-321-28713-4.
^ Strang, Gilbert (2006). Álgebra lineal y sus aplicaciones (4.ª ed.). Brooks Cole . ISBN 0-03-010567-6.
^ Axler, Sheldon (2002). Álgebra lineal bien hecha (2.ª ed.). Springer . ISBN 0-387-98258-2.
^ Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta (3.ª ed.). John Wiley & Sons . ISBN 0-471-43334-9.
^ Lang, Serge (2002). Álgebra . Textos de posgrado en matemáticas . Springer . ISBN. 0-387-95385-X.
^ Weisstein, Eric W. "Multiplicación escalar". mathworld.wolfram.com . Consultado el 6 de septiembre de 2020 .