Utilidad multi-atributo

En la teoría de la decisión , se utiliza una función de utilidad de múltiples atributos para representar las preferencias de un agente sobre conjuntos de bienes, ya sea en condiciones de certeza acerca de los resultados de cualquier elección potencial o en condiciones de incertidumbre.

Preliminares

Una persona debe decidir entre dos o más opciones. La decisión se basa en los atributos de las opciones.

El caso más sencillo es cuando sólo hay un atributo, por ejemplo: dinero. Se suele suponer que todas las personas prefieren más dinero a menos dinero; por tanto, el problema en este caso es trivial: seleccionar la opción que te dé más dinero.

En realidad, existen dos o más atributos. Por ejemplo, una persona tiene que elegir entre dos opciones de empleo: la opción A le da $12K por mes y 20 días de vacaciones, mientras que la opción B le da $15K por mes y solo 10 días de vacaciones. La persona tiene que decidir entre (12K,20) y (15K,10). Diferentes personas pueden tener diferentes preferencias. Bajo ciertas condiciones, las preferencias de una persona pueden representarse mediante una función numérica. El artículo utilidad ordinal describe algunas propiedades de tales funciones y algunas formas de calcularlas.

Otra consideración que podría complicar el problema de la decisión es la incertidumbre . Aunque hay al menos cuatro fuentes de incertidumbre (los resultados de los atributos y la falta de claridad del decisor sobre a) las formas específicas de las funciones de utilidad de los atributos individuales, b) los valores de las constantes de agregación y c) si las funciones de utilidad de los atributos son aditivas, términos que se abordan en la actualidad), la incertidumbre de ahora en adelante significa solo aleatoriedad en los niveles de los atributos. Esta complicación de la incertidumbre existe incluso cuando hay un solo atributo, por ejemplo: dinero. Por ejemplo, la opción A podría ser una lotería con un 50% de posibilidades de ganar $2, mientras que la opción B es ganar $1 con seguridad. La persona tiene que decidir entre la lotería <2:0.5> y la lotería <1:1>. Nuevamente, diferentes personas pueden tener diferentes preferencias. Nuevamente, bajo ciertas condiciones, las preferencias pueden representarse mediante una función numérica. Tales funciones se denominan funciones de utilidad cardinal . El artículo Teorema de utilidad de von Neumann-Morgenstern describe algunas formas en las que pueden calcularse.

La situación más general es que existen múltiples atributos e incertidumbre. Por ejemplo, la opción A puede ser una lotería con un 50% de posibilidades de ganar dos manzanas y dos plátanos, mientras que la opción B es ganar dos plátanos con seguridad. La decisión está entre <(2,2):(0,5,0,5)> y <(2,0):(1,0)>. Las preferencias aquí pueden representarse mediante funciones de utilidad cardinales que toman varias variables (los atributos). ^{[1] : 26–27} Estas funciones son el foco del presente artículo.

El objetivo es calcular una función de utilidad que represente las preferencias de la persona en loterías de paquetes. Es decir, se prefiere la lotería A a la lotería B si y solo si la expectativa de la función es mayor en A que en B: ${\displaystyle u(x_{1},...,x_{n})}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle E_{A}[u(x_{1},...,x_{n})]>E_{B}[u(x_{1},...,x_{n})]}$

Evaluación de una función de utilidad cardinal de múltiples atributos

Si el número de paquetes posibles es finito, u se puede construir directamente como lo explicaron von Neumann y Morgenstern (VNM): ordenar los paquetes desde el menos preferido al más preferido, asignar utilidad 0 al primero y utilidad 1 al último, y asignar a cada paquete intermedio una utilidad igual a la probabilidad de una lotería equivalente. ^{[1] : 222–223}

Si el número de paquetes es infinito, una opción es comenzar ignorando la aleatoriedad y evaluar una función de utilidad ordinal que represente la utilidad de la persona en determinados paquetes. Es decir, se prefiere un paquete x a un paquete y si y solo si la función es mayor para x que para y: ${\displaystyle v(x_{1},...,x_{n})}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle v(x_{1},...,x_{n})>v(y_{1},...,y_{n})}$

Esta función, en efecto, convierte el problema de múltiples atributos en un problema de un solo atributo: el atributo es . Luego, VNM puede usarse para construir la función . ^{[1] : 219–220} ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u}$

Nótese que u debe ser una transformación monótona positiva de v . Esto significa que existe una función monótonamente creciente , tal que: ${\displaystyle r:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle u(x_{1},...,x_{n})=r(v(x_{1},...,x_{n}))}$

El problema con este enfoque es que no es fácil evaluar la función r . Al evaluar una función de utilidad cardinal de un solo atributo utilizando VNM, hacemos preguntas como: "¿Qué probabilidad de ganar $2 es equivalente a $1?". Entonces, para evaluar la función r , tenemos que hacer una pregunta como: "¿Qué probabilidad de ganar 2 unidades de valor es equivalente a 1 valor?". La última pregunta es mucho más difícil de responder que la primera, ya que involucra "valor", que es una cantidad abstracta.

Una posible solución es calcular n funciones de utilidad cardinales unidimensionales, una para cada atributo. Por ejemplo, supongamos que hay dos atributos: manzanas ( ) y plátanos ( ), ambos con valores comprendidos entre 0 y 99. Utilizando VNM, podemos calcular las siguientes funciones de utilidad unidimensionales: ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$

• ${\displaystyle u(x_{1},0)}$- una utilidad cardinal sobre las manzanas cuando no hay plátanos (el límite sur del dominio);
• ${\displaystyle u(99,x_{2})}$- una utilidad cardinal en los plátanos cuando las manzanas están en su máximo (el límite oriental del dominio).

Utilizando transformaciones lineales, escale las funciones para que tengan el mismo valor en (99,0).

Luego, para cada paquete , encuentre un paquete equivalente (un paquete con el mismo v ) que sea de la forma o de la forma , y establezca su utilidad en el mismo número. ^{[1] : 221–222} ${\displaystyle (x_{1}',x_{2}')}$ ${\displaystyle (x_{1},0)}$ ${\displaystyle (99,x_{2})}$

A menudo, se pueden utilizar ciertas propiedades de independencia entre atributos para facilitar la construcción de una función de utilidad. A continuación se describen algunas de estas propiedades de independencia.

Independencia aditiva

La propiedad de independencia más fuerte se denomina independencia aditiva . Dos atributos, 1 y 2, se denominan independientes aditivos si la preferencia entre dos loterías (definidas como distribuciones de probabilidad conjuntas sobre los dos atributos) depende únicamente de sus distribuciones de probabilidad marginal (la PD marginal sobre el atributo 1 y la PD marginal sobre el atributo 2).

Esto significa, por ejemplo, que las dos loterías siguientes son equivalentes:

• ${\displaystyle L}$:Una lotería de igualdad de oportunidades entre y ; ${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$ ${\displaystyle (y_{1},y_{2})}$
• ${\displaystyle M}$:Una lotería de igualdad de oportunidades entre y . ${\displaystyle (x_{1},y_{2})}$ ${\displaystyle (y_{1},x_{2})}$

En ambas loterías, la PD marginal del atributo 1 es del 50 % para y del 50 % para . De manera similar, la PD marginal del atributo 2 es del 50 % para y del 50 % para . Por lo tanto, si un agente tiene utilidades independientes de la aditiva, debe ser indiferente entre estas dos loterías. ^{[1] : 229–232} ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle y_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle y_{2}}$

Un resultado fundamental en la teoría de la utilidad es que dos atributos son aditivo-independientes si y sólo si su función de utilidad de dos atributos es aditiva y tiene la forma:

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=u_{1}(x_{1})+u_{2}(x_{2})}$

PRUEBA:

${\displaystyle \longrightarrow }$

Si los atributos son independientes de la suma, entonces las loterías y , definidas anteriormente, son equivalentes. Esto significa que su utilidad esperada es la misma, es decir: . Al multiplicar por 2 se obtiene: ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E_{L}[u]=E_{M}[u]}$

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})+u(y_{1},y_{2})=u(x_{1},y_{2})+u(y_{1},x_{2})}$

Esto es cierto para cualquier selección de y . Supongamos ahora que y son fijos. Fijemos arbitrariamente . Escriba: y . La ecuación anterior se convierte en: ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle y_{1}}$ ${\displaystyle y_{2}}$ ${\displaystyle u(y_{1},y_{2})=0}$ ${\displaystyle u_{1}(x_{1})=u(x_{1},y_{2})}$ ${\displaystyle u_{2}(x_{2})=u(y_{1},x_{2})}$

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=u_{1}(x_{1})+u_{2}(x_{2})}$

${\displaystyle \longleftarrow }$

Si la función u es aditiva, entonces por las reglas de expectativa, para cada lotería : ${\displaystyle L}$

${\displaystyle E_{L}[u(x_{1},x_{2})]=E_{L}[u_{1}(x_{1})]+E_{L}[u_{2}(x_{2})]}$

Esta expresión depende únicamente de las distribuciones de probabilidad marginal de los dos atributos. ${\displaystyle L}$

Este resultado se generaliza a cualquier número de atributos: si las preferencias sobre loterías en los atributos 1,..., n dependen sólo de sus distribuciones de probabilidad marginal, entonces la función de utilidad de n atributos es aditiva: ^{[1] : 295}

${\displaystyle u(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}{k_{i}u_{i}(x_{i})}}$

donde y están normalizados al rango , y son constantes de normalización. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle k_{i}}$

Gran parte del trabajo sobre la teoría de la utilidad aditiva ha sido realizado por Peter C. Fishburn .

Independencia de la utilidad

Una propiedad de independencia ligeramente más débil es la independencia de la utilidad . El atributo 1 es independiente de la utilidad del atributo 2, si las preferencias condicionales sobre loterías en el atributo 1, dado un valor constante del atributo 2, no dependen de ese valor constante.

Esto significa, por ejemplo, que la preferencia entre una lotería y una lotería es la misma, independientemente del valor de . ${\displaystyle <(x_{1},x_{2}):(y_{1},x_{2})>}$ ${\displaystyle <(x'_{1},x_{2}):(y'_{1},x_{2})>}$ ${\displaystyle x_{2}}$

Nótese que la independencia de utilidad (a diferencia de la independencia aditiva) no es simétrica: es posible que el atributo 1 sea independiente de la utilidad del atributo 2 y no al revés. ^{[1] : 224–229}

Si el atributo 1 es independiente de la utilidad del atributo 2, entonces la función de utilidad para cada valor del atributo 2 es una transformación lineal de la función de utilidad para cada otro valor del atributo 2. Por lo tanto, puede escribirse como:

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=c_{1}(x_{2})+c_{2}(x_{2})\cdot u(x_{1},x_{2}^{0})}$

cuando es un valor constante para el atributo 2. De manera similar, si el atributo 2 es independiente de la utilidad del atributo 1: ${\displaystyle x_{2}^{0}}$

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=d_{1}(x_{1})+d_{2}(x_{1})\cdot u(x_{1}^{0},x_{2})}$

Si los atributos son mutuamente independientes de la utilidad , entonces la función de utilidad u tiene la siguiente forma multilineal : ^{[1] : 233–235}

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=u_{1}(x_{1})+u_{2}(x_{2})+k\cdot u_{1}(x_{1})\cdot u_{2}(x_{2})}$

Donde es una constante que puede ser positiva, negativa o 0. ${\displaystyle k}$

• Cuando , la función u es aditiva y los atributos son aditivos-independientes. ${\displaystyle k=0}$
• Cuando , la función de utilidad es multiplicativa, ya que puede escribirse como: ${\displaystyle k\neq 0}$

${\displaystyle [ku(x_{1},x_{2})+1]=[ku_{1}(x_{1})+1]\cdot [ku_{2}(x_{2})+1]}$

donde cada término es una transformación lineal de una función de utilidad. ${\displaystyle k\cdot +1}$

Estos resultados se pueden generalizar a cualquier número de atributos. Dados los atributos 1,..., n , si cualquier subconjunto de los atributos es independiente de la utilidad de su complemento, entonces la función de utilidad de n atributos es multilineal y tiene una de las siguientes formas:

• Aditivo, o -
• Multiplicativo : ^{[1] : 289–290}

${\displaystyle 1+ku(x_{1},\dots ,x_{n})=\prod _{i=1}^{n}{1+kk_{i}u_{i}(x_{i})}}$

dónde:

• El y el se normalizan al rango ; ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle [0,1]}$
• Las son constantes en ; ${\displaystyle k_{i}}$ ${\displaystyle [0,1]}$
• ${\displaystyle k}$es una constante que está en o en (tenga en cuenta que el límite cuando es la forma aditiva). ${\displaystyle (-1,0)}$ ${\displaystyle (0,\infty )}$ ${\displaystyle k\to 0}$

Comparación de conceptos de independencia

Es útil comparar tres conceptos diferentes relacionados con la independencia de atributos: independencia aditiva (AI), independencia de utilidad (UI) e independencia preferencial (PI). ^{[1] : 344}

Tanto la IA como la UI se refieren a las preferencias en loterías y se explican más arriba. La PI se refiere a las preferencias en determinados resultados y se explica en el artículo sobre utilidad ordinal .

Su orden de implicación es el siguiente:

IA ⇒ UI ⇒ PI

La IA es una relación simétrica (si el atributo 1 es la IA del atributo 2, entonces el atributo 2 es la IA del atributo 1), mientras que la UI y la PI no lo son.

La IA implica una IU mutua. Lo contrario, en general, no es cierto; es cierto solo si en la fórmula multilineal para los atributos de la IU. Pero si, además de la IU mutua, existen para los cuales las dos loterías y , definidas anteriormente, son equivalentes, entonces debe ser 0, y esto significa que la relación de preferencia debe ser IA. ^{[1] : 238–239} ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle k}$

La IU implica PI. Lo contrario, en general, no es cierto. Pero si:

• Hay al menos 3 atributos esenciales y:
• todos los pares de atributos {1, i } son PI de su complemento, y:
• El atributo 1 es la interfaz de usuario de su complemento,

Entonces todos los atributos son mutuamente IU. Además, en ese caso existe una relación simple entre la función de utilidad cardinal que representa las preferencias por loterías y la función de utilidad ordinal que representa las preferencias por ciertos paquetes. La función debe tener una de las siguientes formas: ^{[1] : 330–332  [2]} ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u}$

• Aditivo: ${\displaystyle u(x_{1},...,x_{n})=v(x_{1},...,x_{n})}$
• Multiplicativo: ${\displaystyle u(x_{1},...,x_{n})=[exp(R\cdot v(x_{1},...,x_{n}))-1]/[exp(R)-1]}$

dónde . ${\displaystyle R\neq 0}$

PRUEBA: Es suficiente demostrar que u tiene aversión absoluta al riesgo constante con respecto al valor v .

• El supuesto de PI implica que la función de valor es aditiva, es decir: ${\displaystyle n\geq 3}$

${\displaystyle v(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}{\lambda _{i}v_{i}(x_{i})}}$

• Sean dos valores diferentes para el atributo 1. Sea el equivalente de certeza de la lotería . El supuesto de IU implica que, para cada combinación de valores de los otros atributos, se cumple la siguiente equivalencia: ${\displaystyle x_{1},z_{1}}$ ${\displaystyle y_{1}}$ ${\displaystyle <x_{1}:z_{1}>}$ ${\displaystyle (w_{2},\dots ,w_{n})}$

${\displaystyle (y_{1},w)\sim <(x_{1},w):(z_{1},w)>}$

• Las dos afirmaciones anteriores implican que para cada w , se cumple la siguiente equivalencia en el espacio de valores:

${\displaystyle \lambda _{1}v_{1}(y_{1})+\sum _{i=2}^{n}{\lambda _{i}v_{i}(w_{i})}\sim <\lambda _{1}v_{1}(x_{1})+\sum _{i=2}^{n}{\lambda _{i}v_{i}(w_{i})}:\lambda _{1}v_{1}(z_{1})+\sum _{i=2}^{n}{\lambda _{i}v_{i}(w_{i})}>}$

• Esto implica que, al agregar cualquier cantidad a ambos lados de una lotería (a través del término ), aumenta el equivalente de certeza de la lotería en la misma cantidad. ${\displaystyle \sum _{i=2}^{n}{\lambda _{i}v_{i}(w_{i})}}$
• Este último hecho implica una aversión constante al riesgo.

Véase también

• Subasta de múltiples atributos
• Optimización multiobjetivo
• Votación sobre múltiples cuestiones
• Software de toma de decisiones

Referencias

1. Keeney, Ralph L.; Raiffa, Howard (1993). Decisiones con objetivos múltiples . ISBN 0-521-44185-4.
2. Esta idea se atribuye a Richard F. Meyer y John W. Pratt .