muestreo superior

Método de remuestreo de señal digital.

En el procesamiento de señales digitales , el muestreo ascendente , la expansión y la interpolación son términos asociados con el proceso de remuestreo en un sistema de procesamiento de señales digitales de múltiples velocidades . El muestreo ascendente puede ser sinónimo de expansión o puede describir un proceso completo de expansión y filtrado ( interpolación ). ^{[1] [2] [3]} Cuando se realiza un muestreo ascendente en una secuencia de muestras de una señal u otra función continua, se produce una aproximación de la secuencia que se habría obtenido muestreando la señal a una velocidad (o densidad ) mayor . como en el caso de una fotografía). Por ejemplo, si el audio de un disco compacto a 44.100 muestras/segundo se sobremuestrea en un factor de 5/4, la frecuencia de muestreo resultante es 55.125.

Fig 1: Representación de un producto escalar, que da como resultado una muestra de salida (en verde), para el caso L=4, n=9, j=3. Se representan tres "ceros insertados" conceptuales entre cada par de muestras de entrada. Omitirlos del cálculo es lo que distingue un filtro multitasa de un filtro monotasa.

Sobremuestreo por un factor entero

El aumento de la tasa en un factor entero se puede explicar como un proceso de 2 pasos, con una implementación equivalente que es más eficiente : ^[4] ${\displaystyle L}$

1. Expansión : crea una secuencia que comprende las muestras originales, separadas por ceros. Una notación para esta operación es : ${\displaystyle x_{L}[n],}$ ${\displaystyle x[n],}$ ${\displaystyle L-1}$  ${\displaystyle x_{L}[n]=x[n]_{\uparrow L}.}$
2. Interpolación : Suaviza las discontinuidades utilizando un filtro de paso bajo , que reemplaza los ceros.

En esta aplicación, el filtro se denomina filtro de interpolación y su diseño se analiza a continuación. Cuando el filtro de interpolación es del tipo FIR , su eficiencia se puede mejorar, porque los ceros no contribuyen en nada a los cálculos del producto escalar . Es fácil omitirlos tanto del flujo de datos como de los cálculos. El cálculo realizado por un filtro FIR de interpolación de velocidad múltiple para cada muestra de salida es un producto escalar : ^[a]

donde la secuencia es la respuesta al impulso del filtro de interpolación y es el valor mayor de para el cual no es cero. ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle h[j+kL]}$

En este caso,   la función se puede diseñar como un filtro de media banda , donde casi la mitad de los coeficientes son cero y no es necesario incluirlos en los productos escalares. Los coeficientes de respuesta al impulso tomados a intervalos forman una subsecuencia, y existen tales subsecuencias (llamadas fases ) multiplexadas entre sí. Cada una de las fases de la respuesta al impulso filtra los mismos valores secuenciales del flujo de datos y produce uno de los valores de salida secuenciales. En algunas arquitecturas multiprocesador, estos productos escalares se realizan simultáneamente, en cuyo caso se denomina filtro polifásico . ${\displaystyle L=2,}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle L}$

Para completar, ahora mencionamos que una implementación posible, pero poco probable, de cada fase es reemplazar los coeficientes de las otras fases con ceros en una copia de la matriz y procesar la   secuencia muchas veces más rápido que la velocidad de entrada original. Entonces de cada salidas son cero. La secuencia deseada es la suma de las fases, donde los términos de cada suma son idénticamente cero. Calcular ceros entre las salidas útiles de una fase y sumarlos a una suma es efectivamente diezmar. Es el mismo resultado que no calcularlos en absoluto. Esa equivalencia se conoce como la segunda identidad Noble . ^[5] A veces se utiliza en derivaciones del método polifásico. ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle x_{L}[n]}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L-1}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle L-1}$ ${\displaystyle L-1}$

Diseño de filtro de interpolación

Fig 2: El primer triángulo del primer gráfico representa la transformada de Fourier X ( f ) de una función continua x(t) . La totalidad del primer gráfico representa la transformada de Fourier en tiempo discreto de una secuencia x[n] formada al muestrear la función continua x(t) a una tasa baja de 1/T . El segundo gráfico muestra la aplicación de un filtro de paso bajo a una velocidad de datos más alta, implementado insertando muestras con valor cero entre las originales. Y el tercer gráfico es el DTFT de la salida del filtro. La tabla inferior expresa el ancho de banda máximo del filtro en varias unidades de frecuencia utilizadas por las herramientas de diseño de filtros.

Sea la transformada de Fourier de cualquier función, cuyas muestras en algún intervalo sean iguales a la secuencia. Entonces la transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT) de la secuencia es la representación en serie de Fourier de una suma periódica de ^[b] ${\displaystyle X(f)}$ ${\displaystyle x(t),}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle X(f):}$

Cuando tiene unidades de segundos, tiene unidades de hercios (Hz) . Los tiempos de muestreo más rápidos (en el intervalo ) aumentan la periodicidad en un factor de ^[c] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle T/L}$ ${\displaystyle L:}$

que también es el resultado deseado de la interpolación. Un ejemplo de ambas distribuciones se muestra en los gráficos primero y tercero de la figura 2. ^[d]

Cuando a las muestras adicionales se les insertan ceros, disminuyen el intervalo muestral a. Omitiendo los términos con valor cero de la serie de Fourier, se puede escribir como: ${\displaystyle T/L.}$

${\displaystyle \sum _{n=0,\pm L,\pm 2L,...,\pm \infty }{}x(nT/L)\ e^{-i2\pi fnT/L}\quad {\stackrel {m\ \triangleq \ n/L}{\longrightarrow }}\sum _{m=0,\pm 1,\pm 2,...,\pm \infty }{}x(mT)\ e^{-i2\pi fmT},}$

que es equivalente a la Ec.2, independientemente del valor de Esa equivalencia se representa en el segundo gráfico de la Fig.2. La única diferencia es que el ancho de banda digital disponible se amplía a , lo que aumenta el número de imágenes espectrales periódicas dentro del nuevo ancho de banda. Algunos autores lo describen como nuevos componentes de frecuencia. ^[6]   El segundo gráfico también muestra un filtro de paso bajo y el resultado es la distribución espectral deseada (tercer gráfico). El ancho de banda del filtro es la frecuencia de Nyquist de la secuencia original . ^[A]   En unidades de Hz, ese valor es,   pero las aplicaciones de diseño de filtros generalmente requieren unidades normalizadas . (ver Fig. 2, tabla) ${\displaystyle L.}$ ${\displaystyle L/T}$ ${\displaystyle L=3,}$ ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle {\tfrac {0.5}{T}},}$

Sobremuestreo por un factor fraccionario

Sea L / M el factor de muestreo ascendente, donde L  >  M .

1. Ampliar la muestra por un factor de L
2. Reducir la resolución por un factor de M

El muestreo ascendente requiere un filtro de paso bajo después de aumentar la velocidad de datos, y el muestreo descendente requiere un filtro de paso bajo antes de la diezmación. Por lo tanto, ambas operaciones se pueden lograr con un solo filtro con la menor de las dos frecuencias de corte. Para el caso L  >  M , el corte del filtro de interpolación,   ciclos por muestra intermedia , es la frecuencia más baja. ${\displaystyle {\tfrac {0.5}{L}}}$

Ver también

• Reducción de resolución
• Procesamiento de señales digitales de múltiples velocidades
• Filtro de media banda
• Sobremuestreo
• Muestreo (teoría de la información)
• Señal (teoría de la información)
• Conversión de datos
• Interpolación
• Fórmula de suma de Poisson

Notas

1. Los filtros de paso bajo realizables tienen una banda de transición donde la respuesta disminuye desde casi la unidad hasta casi cero. Entonces, en la práctica, la frecuencia de corte se coloca lo suficientemente por debajo del corte teórico como para que la banda de transición del filtro esté contenida por debajo del corte teórico.

Citas de página

1. Crochiére y Rabiner "2.3". p 38. ecuación 2.80, donde     también requiere     y   ${\displaystyle m\triangleq j+nL,}$ ${\displaystyle n={\bigl \lfloor }{\tfrac {m}{L}}{\bigr \rfloor },}$ ${\displaystyle j=m-nL.}$
2. f.harris 2004. "2.2". pág 23. figura 2.12 (arriba).
3. f.harris 2004. "2.2". pág 23. figura 2.12 (abajo).
4. Li Tan 2008. "12.1.2". figura 12-5B.

Referencias

1. Oppenheim, Alan V .; Schafer, Ronald W.; Dólar, John R. (1999). "4.6.2" . Procesamiento de señales en tiempo discreto (2ª ed.). Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall. pag. 172.ISBN​ 0-13-754920-2.
2. Crochiére, RE; Rabiner, LR (1983). "2.3". Procesamiento de señales digitales multivelocidad. Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice-Hall. págs. 35-36. ISBN 0136051626.
3. Poularikas, Alexander D. (septiembre de 1998). Manual de fórmulas y tablas para el procesamiento de señales (1 ed.). Prensa CRC. págs. 42–48. ISBN 0849385792.
4. Harris, Frederic J. (24 de mayo de 2004). "2.2". Procesamiento de señales multivelocidad para sistemas de comunicación . Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall PTR. págs. 20-21. ISBN 0131465112. El proceso de muestreo ascendente se puede visualizar como una progresión de dos pasos. El proceso comienza aumentando la frecuencia de muestreo de una serie de entrada x(n) mediante el remuestreo [expansión]. La serie temporal empaquetada en cero se procesa mediante un filtro h(n). En realidad, los procesos de aumento de la frecuencia de muestreo y reducción del ancho de banda se fusionan en un solo proceso llamado filtro multivelocidad.
5. Strang, Gilbert; Nguyen, Truong (1 de octubre de 1996). Wavelets y bancos de filtros (2 ed.). Wellesley, MA: Wellesley-Cambridge Press. pag. 101.ISBN​ 0961408871. las Identidades Nobles se aplican a cada componente polifásico... no se aplican a todo el filtro.
6. Lyon, Rick (23 de marzo de 2015). "Por qué el relleno cero en el dominio del tiempo produce imágenes espectrales en el dominio de frecuencia múltiple". dsprelacionado.com . Archivado desde el original el 30 de septiembre de 2023 . Consultado el 31 de enero de 2024 .

7. Bronceado, Li (21 de abril de 2008). "Aumentar y reducir la resolución". eetimes.com . Tiempos EE.UU. Consultado el 22 de marzo de 2024 .

Otras lecturas

• "Página de inicio de remuestreo de audio digital".(discute una técnica para la interpolación de banda limitada)
• "Ejemplo de Matlab sobre el uso de filtros polifásicos para interpolación".