En geometría , se dice que una forma es anisoédrica si admite un mosaico , pero ningún mosaico de este tipo es isoédrico (transitivo de mosaico); es decir, en cualquier mosaico por esa forma hay dos mosaicos que no son equivalentes bajo ninguna simetría del mosaico. Un mosaico realizado por una baldosa anisoédrica se denomina mosaico anisoédrico . [1]
La primera parte del decimoctavo problema de Hilbert preguntaba si existe un poliedro anisoédrico en el espacio tridimensional euclidiano ; Grünbaum y Shephard sugieren [2] que Hilbert suponía que no existía tal mosaico en el avión. Reinhardt respondió al problema de Hilbert en 1928 encontrando ejemplos de tales poliedros y afirmó que pronto aparecería su prueba de que no existen tales mosaicos en el plano. [3] Sin embargo, Heesch dio un ejemplo de una losa anisoédrica en el plano en 1935. [4]
Reinhardt había considerado previamente la cuestión de los polígonos convexos anisoédricos , mostrando que no había hexágonos convexos anisoédricos pero siendo incapaz de demostrar que no existían pentágonos convexos , mientras encontraba los cinco tipos de pentágonos convexos que enlosaban el plano isoédricamente. [2] Kershner dio tres tipos de pentágono convexo anisoédrico en 1968; uno de estos mosaicos utiliza solo isometrías directas sin reflejos ni reflejos de deslizamiento, respondiendo así a una pregunta de Heesch. [5]
El problema del mosaico anisoédrico se ha generalizado diciendo que el número isoédrico de un mosaico es el número más bajo de órbitas (clases de equivalencia) de mosaicos en cualquier mosaico de ese mosaico bajo la acción del grupo de simetría de ese mosaico, y que un mosaico con El número isoédrico k es k -anisédrico. Berglund preguntó si existen k - mosaicos anisoédricos para todo k , dando ejemplos para k ≤ 4 (se conocían previamente ejemplos de mosaicos 2 anisoédricos y 3 anisoédricos, mientras que el mosaico 4 anisoédrico dado fue el primer mosaico publicado). [6] Goodman-Strauss consideró esto en el contexto de preguntas generales sobre cuán complejo puede ser el comportamiento de una ficha o conjunto de fichas determinado, y señaló un ejemplo de 10 anisoédricos de Myers. [7] Grünbaum y Shephard ya habían planteado anteriormente una ligera variación sobre la misma cuestión. [8]
Socolar demostró en 2007 que se pueden lograr números isoédricos arbitrariamente altos en dos dimensiones si la loseta está desconectada o tiene bordes coloreados con restricciones sobre qué colores pueden ser adyacentes, y en tres dimensiones con una loseta conectada sin colores, señalando que en dos dimensiones para una loseta conectada sin colores, el número isoédrico más alto conocido es 10. [9]
Joseph Myers ha producido una colección de mosaicos con números isoédricos altos, particularmente un polihexágono con el número isoédrico 10 (que ocurre en 20 órbitas bajo traslación) y otro con el número isoédrico 9 (que ocurre en 36 órbitas bajo traslación).