Monopulso de comparación de fases

El monopulso de comparación de fase es una técnica utilizada en aplicaciones de radiofrecuencia (RF), como radar y radiogoniometría, para estimar con precisión la dirección de llegada de una señal a partir de la diferencia de fase de la señal medida en dos (o más) antenas separadas ^[1]. o más típicamente desde centros de fase desplazados de una antena de conjunto. El monopulso de comparación de fases se diferencia del monopulso de comparación de amplitud en que el primero utiliza centros de fase desplazados con una dirección de apuntamiento del haz común, mientras que el segundo utiliza un centro de fase común y direcciones de apuntamiento del haz desplazado. ^[2]

En el monopulso de comparación de fases, normalmente una matriz se subdivide en submatrices y luego se forman un canal de "suma" y un canal de "diferencia" o "del". Para una matriz lineal, cada una de estas submatrices sería la mitad de los elementos, dividida por la mitad. Para una matriz plana, estas submatrices serían los cuatro cuadrantes de la matriz, cada uno con 1/4 de los elementos de la matriz. En una matriz lineal, la salida de cada submatriz se suma para formar el canal "suma" y las mismas salidas se restan para formar el canal "del". La relación monopulso se forma dividiendo la parte imaginaria del canal del por la parte real del canal suma. Esta relación proporciona una señal de error que indica con un alto grado de precisión el ángulo objetivo real en comparación con el centro del haz. Para una matriz plana, se forma un canal de suma como la suma de las salidas de los cuatro cuadrantes, pero se forman dos canales del, uno para la dimensión de elevación y otro para la dimensión de acimut ortogonal. Se forman dos relaciones de monopulso como en una matriz lineal, cada una de las cuales indica el ángulo de desviación en una dimensión desde el centro del haz. ^[3]

Existen algunos conceptos erróneos comunes sobre el monopulso de comparación de fases. En primer lugar, sólo se forma una viga. El procesamiento monopulso se realiza íntegramente con la señal recibida en el colector de matriz y la red de formación de haces. Hablando en términos de una sola dimensión para mayor claridad, como con una matriz lineal, la señal es recibida por la matriz y se suma en cada una de las dos submatrizes con centros de fase desplazados. El canal de suma se forma simplemente sumando estas dos salidas del subarreglo, y el resultado es exactamente el mismo que si todo el arreglo se sumara inicialmente en un solo paso. El canal del se forma simplemente restando estas mismas salidas del subarreglo. En segundo lugar, el monopulso de comparación de fases técnicamente no realiza una comparación de fases, sino que simplemente divide el canal del por el canal de suma para llegar a una relación en la que se codifica la información del ángulo. ^[4] La siguiente derivación matemática debería dejar claro por qué esto es así.

Matemáticas

Patrón de suma

Podemos definir el patrón de haz ( factor de matriz ) de una matriz lineal uniforme (ULA) con N elementos, como: ^[5]

${\displaystyle B_{\theta }\left(\theta \right)={\vec {w}}^{H}{\vec {v}}_{\theta }\left(\theta \right)=\sum _{n=0}^{N-1}w_{n}^{*}\left[{\vec {v}}_{\theta }\left(\theta \right)\right]_{n}=\sum _{n=0}^{N-1}w_{n}^{*}e^{j\left(n-{\frac {N-1}{2}}\right){\frac {2\pi }{\lambda }}dcos\theta }}$, donde es el vector múltiple de matriz y es un vector de pesos complejos que representan ajustes de amplitud y fase aplicados a cada elemento de antena. El vector múltiple, encapsula completamente todas las propiedades espaciales de la matriz. es la distancia entre los elementos del conjunto, y es el ángulo de llegada de una onda plana incidente, definido desde el extremo del fuego, es decir, es una señal procedente del costado del conjunto. ${\displaystyle {\vec {v}}_{\theta }}$ ${\displaystyle {\vec {w}}}$ ${\displaystyle {\vec {v}}_{\theta }}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta =90^{\circ }}$

Es común realizar una sustitución de variable al -espacio, donde , y por lo tanto tenemos: ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi ={\frac {2\pi }{\lambda }}dcos\theta }$

${\displaystyle B_{\psi }\left(\psi \right)=\sum _{n=0}^{N-1}w_{n}^{*}e^{j\left(n-{\frac {N-1}{2}}\right)\psi }}$

y podemos ver más fácilmente que es simplemente el cambio de fase entre elementos adyacentes. El término simplemente hace referencia a la fase absoluta del centro físico del conjunto. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\frac {N-1}{2}}}$

Observe que este resultado es el mismo si primero sumamos cada mitad de la matriz y luego sumamos esos resultados.

${\displaystyle B_{\psi }\left(\psi \right)=\sum _{n=0}^{{\frac {N}{2}}-1}w_{n}^{*}e^{j\left(n-{\frac {N-1}{2}}\right)\psi }+\sum _{n={\frac {N}{2}}}^{N-1}w_{n}^{*}e^{j\left(n-{\frac {N-1}{2}}\right)\psi }}$

El vector de peso es una combinación de un vector de dirección que dirige el haz en una dirección dirigida, utilizando ajustes de fase y una reducción de amplitud que a menudo se aplica para reducir los lóbulos laterales . Así, y ${\displaystyle \psi _{S}}$ ${\displaystyle \left[{\vec {w}}\right]_{n}=a_{n}e^{j\left(n-{\frac {N-1}{2}}\right)\psi _{S}}}$

${\displaystyle B_{\psi }\left(\psi _{\Delta }\right)=e^{j\left({\frac {N-1}{2}}\right)\psi _{\Delta }}\sum _{n=0}^{N-1}a_{n}e^{-jn\psi _{\Delta }}}$, dónde . ${\displaystyle \psi _{\Delta }=\psi _{S}-\psi }$

Ahora podemos ver claramente que el patrón del haz, en el espacio, es el equivalente espacial de la transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT) del vector de disminución de amplitud de la matriz multiplicado por un término de fase lineal. La ventaja del espacio es que la forma del haz es idéntica sin importar hacia dónde se dirija, y es sólo una función de la desviación de la fase objetivo deseada de la fase objetivo real. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$

Supongamos ahora una matriz normalizada y no ahusada con . Se puede demostrar fácilmente que el patrón de haz es la conocida función sinc (asinc): ${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{N}}}$

${\displaystyle B_{\psi }\left(\psi _{\Delta }\right)={\frac {1}{N}}{\frac {sin\left(N{\frac {\psi _{\Delta }}{2}}\right)}{sin{\frac {\psi _{\Delta }}{2}}}}}$

Este patrón también se conoce, para fines de monopulso, como patrón de "suma", ya que se obtuvo sumando todos los elementos. En el futuro, suprimiremos el subíndice y, en su lugar, lo usaremos solo con el entendimiento de que representa la desviación de la fase objetivo dirigida y la fase objetivo real. ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \psi }$

Patrón de diferencia

Desarrollemos ahora el patrón de "diferencia" o "del" monopulso dividiendo la matriz en dos mitades iguales llamadas subarreglos. Podríamos haber obtenido con la misma facilidad el patrón de suma determinando primero el patrón de cada subconjunto individualmente y sumando estos dos resultados. En la práctica monopulso, esto es lo que realmente se hace. Le queda al lector mostrar que es simétrico conjugado, por lo que puede reescribirse en términos de solo su primera mitad, usando una matriz de intercambio, que "invierte" este vector. ${\displaystyle {\vec {v}}_{\psi }\left(\psi \right)}$ ${\displaystyle {\vec {v}}_{\psi _{1}}\left(\psi \right)}$ ${\displaystyle {\textbf {J}}}$

${\displaystyle {\textbf {J}}={\begin{bmatrix}0&\cdots &0&1\\\vdots &\ddots &1&0\\0&\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}&\ddots &\vdots \\1&0&\cdots &0\end{bmatrix}}}$

Tenga en cuenta que . Suponiendo que N es par (podríamos desarrollar esto fácilmente usando un N impar), ^[6] ${\displaystyle {\textbf {J}}\cdot {\textbf {J}}={\textbf {I}}}$

${\displaystyle {\vec {v}}_{\psi }\left(\psi \right)={\begin{bmatrix}{\vec {v}}_{\psi _{1}}\left(\psi \right)\\\cdots \\{\textbf {J}}{\vec {v}}_{\psi _{1}}^{*}\left(\psi \right)\end{bmatrix}}}$

Si asumimos que la matriz de pesos también es simétrica conjugada (una buena suposición), entonces

${\displaystyle {\vec {w}}={\begin{bmatrix}{\vec {w}}_{1}\\\cdots \\{\textbf {J}}{\vec {w}}_{1}^{*}\end{bmatrix}}}$

y el patrón de haz de suma se puede reescribir como: ^[7]

${\displaystyle B_{\psi }\left(\psi \right)=\Sigma _{\psi }\left(\psi \right)={\vec {w}}^{H}{\vec {v}}_{\psi }\left(\psi \right)={\begin{bmatrix}{\vec {w}}_{1}^{H}&\vdots &{\vec {w}}_{1}^{T}{\textbf {J}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\vec {v}}_{\psi _{1}}\left(\psi \right)\\\cdots \\{\textbf {J}}{\vec {v}}_{\psi _{1}}^{*}\left(\psi \right)\end{bmatrix}}={\vec {w}}_{1}^{H}{\vec {v}}_{\psi _{1}}\left(\psi \right)+{\vec {w}}_{1}^{T}{\vec {v}}_{\psi _{1}}^{*}\left(\psi \right)=2Re\left[{\vec {w}}_{1}^{H}{\vec {v}}_{\psi _{1}}\left(\psi \right)\right]}$

El patrón de diferencia o "del" se puede inferir fácilmente del patrón de suma simplemente invirtiendo el signo de los pesos de la segunda mitad de la matriz:

${\displaystyle \Delta _{\psi }\left(\psi \right)={\begin{bmatrix}{\vec {w}}_{1}^{H}&\vdots &-{\vec {w}}_{1}^{T}{\textbf {J}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\vec {v}}_{\psi _{1}}\left(\psi \right)\\\cdots \\{\textbf {J}}{\vec {v}}_{\psi _{1}}^{*}\left(\psi \right)\end{bmatrix}}={\vec {w}}_{1}^{H}{\vec {v}}_{\psi _{1}}\left(\psi \right)-{\vec {w}}_{1}^{T}{\vec {v}}_{\psi _{1}}^{*}\left(\psi \right)=2Im\left[{\vec {w}}_{1}^{H}{\vec {v}}_{\psi _{1}}\left(\psi \right)\right]}$

Suponiendo nuevamente que , se puede demostrar que el patrón del se reduce a: ${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{N}}}$

${\displaystyle \Delta _{\psi }\left(\psi \right)={\frac {2}{N}}Im\left[\sum _{n=0}^{{\frac {N}{2}}-1}e^{-j\left(n-{\frac {N-1}{2}}\right)\psi }\right]={\frac {2}{N}}{\frac {sin^{2}\left(N{\frac {\psi }{4}}\right)}{sin{\frac {\psi }{2}}}}}$

Patrones de suma y diferencia (del) de monopulso

Relación monopulso

La relación monopulso se forma como:

${\displaystyle {\frac {\Delta _{\psi }}{\Sigma _{\psi }}}={\frac {{\frac {2}{N}}{\frac {sin^{2}\left(N{\frac {\psi }{4}}\right)}{sin{\frac {\psi }{2}}}}}{{\frac {1}{N}}{\frac {sin\left(N{\frac {\psi }{2}}\right)}{sin{\frac {\psi }{2}}}}}}={\frac {2sin^{2}\left(N{\frac {\psi }{4}}\right)}{sin\left(N{\frac {\psi }{2}}\right)}}={\frac {1-cos\left(N{\frac {\psi }{2}}\right)}{sin\left(N{\frac {\psi }{2}}\right)}}=tan\left(N{\frac {\psi }{4}}\right)}$

Se puede ver que, dentro del ancho del haz de 3 dB del sistema, la relación de monopulso es casi lineal. De hecho, para muchos sistemas una aproximación lineal es suficiente. También se puede observar que la relación monopulso es continua dentro del ancho del haz nulo a nulo, pero tiene asíntotas que ocurren en los nulos del haz. Por lo tanto, la relación de monopulso sólo es precisa para medir el ángulo de desviación de un objetivo dentro del lóbulo principal del sistema. Sin embargo, los objetivos detectados al margen de un sistema, si no se mitigan, producirán resultados erróneos de todos modos.

Relación de monopulso dentro de 1 ancho de haz del eje de respuesta principal

Concepto de operaciones

Antes de realizar el procesamiento monopulso, un sistema primero debe detectar un objetivo, lo que hace normalmente utilizando el canal de suma. Todas las mediciones típicas que realiza un sistema sin monopulso se realizan utilizando el canal de suma, por ejemplo, rango, Doppler y ángulo. Sin embargo, la medición del ángulo está limitada porque el objetivo podría estar en cualquier lugar dentro del ancho del haz de suma y, por lo tanto, el sistema sólo puede asumir que la dirección de orientación del haz es la misma que el ángulo objetivo real. En realidad, por supuesto, el ángulo objetivo real y el ángulo de dirección del haz serán diferentes.

Por lo tanto, un procesador monopulso funciona detectando y midiendo primero la señal objetivo en el canal de suma. Luego, sólo según sea necesario para los objetivos detectados, mide la misma señal en el canal "del", dividiendo la parte imaginaria de este resultado por la parte real del canal "suma", y luego convierte esta relación en un ángulo de desviación usando las relaciones :

${\displaystyle \psi _{\Delta }=\psi _{S}-\psi ={\frac {4}{N}}arctan\left({\frac {\Delta _{\psi }}{\Sigma _{\psi }}}\right)}$

y

${\displaystyle \theta =arccos\left({\frac {\left(\psi _{S}-\psi _{\Delta }\right)\lambda }{2\pi d}}\right)=arccos\left({\frac {\lambda }{2\pi d}}\left({\frac {2\pi }{\lambda }}dcos\theta _{S}-{\frac {4}{N}}arctan\left({\frac {\Delta _{\psi }}{\Sigma _{\psi }}}\right)\right)\right)=arccos\left(cos\theta _{S}-{\frac {2\lambda }{N\pi d}}arctan\left({\frac {\Delta _{\psi }}{\Sigma _{\psi }}}\right)\right)}$

Este ángulo de desviación, que puede ser positivo o negativo, se suma al ángulo de orientación del haz para llegar a una estimación más precisa del ángulo de orientación real del objetivo. Por supuesto, si el conjunto es bidimensional, como un conjunto plano, hay dos canales del, uno para elevación y otro para acimut y, por lo tanto, se forman dos relaciones de monopulso.

Ver también

• Interferometría de línea de base muy larga
• Monopulso de comparación de amplitud
• radar monopulso

Referencias

1. Mahafza, Bassem R. (1998). Introducción al análisis de radares; Procesamiento de señales de radar en ingeniería eléctrica. Prensa CRC . pag. 251.ISBN​ 0-8493-1879-3.
2. Sherman, Samuel M. Principios y técnicas de monopulso, segunda edición . Casa Artech. pag. 72.
3. Sherman, Samuel M. Principios y técnicas de monopulso, segunda edición . Casa Artech.
4. Sherman, Samuel M. Principios y técnicas de monopulso, segunda edición . Casa Artech. págs. 70–74.
5. Van Trees, HL (2002). Procesamiento óptimo de matrices, parte IV de la teoría de detección, estimación y modulación . John Wiley & Sons, Inc. pág. 39.
6. Van Trees, HL (2002). Procesamiento óptimo de matrices, parte IV de la teoría de detección, estimación y modulación . John Wiley & Sons, Inc. pág. 40.
7. Van Trees, HL (2002). Procesamiento óptimo de matrices, parte IV de la teoría de detección, estimación y modulación . John Wiley & Sons, Inc. pág. 40.