En álgebra abstracta , un semigrupo con tres elementos es un objeto que consta de tres elementos y una operación asociativa definida sobre ellos. El ejemplo básico serían los tres números enteros 0, 1 y −1, junto con la operación de multiplicación. La multiplicación de números enteros es asociativa y el producto de dos cualesquiera de estos tres números enteros es a su vez uno de estos tres números enteros.
Hay 18 formas no equivalentes de definir una operación asociativa sobre tres elementos: si bien hay, en total, 3 9 = 19683 operaciones binarias diferentes que se pueden definir, solo 113 de ellas son asociativas, y muchas de ellas son isomorfas o antiisomorfas, de modo que esencialmente solo hay 18 posibilidades. [1] [2]
Uno de ellos es C 3 , el grupo cíclico con tres elementos. Los demás tienen un semigrupo con dos elementos como subsemigrupos . En el ejemplo anterior, el conjunto {−1,0,1} bajo multiplicación contiene tanto {0,1} como {−1,1} como subsemigrupos (el último es un subgrupo , C 2 ) .
Seis de ellas son bandas , lo que significa que los tres elementos son idempotentes , de modo que el producto de cualquier elemento consigo mismo es él mismo a su vez. Dos de estas bandas son conmutativas , por lo tanto, semirretículos (uno de ellos es el conjunto totalmente ordenado de tres elementos, y el otro es un semirretículo de tres elementos que no es un retículo). Los otros cuatro vienen en pares antiisomorfos.
Una de estas bandas no conmutativas resulta de la unión de un elemento identidad a LO 2 , el semigrupo cero izquierdo con dos elementos (o, dualmente, a RO 2 , el semigrupo cero derecho ). A veces se le llama monoide flip-flop , en referencia a los circuitos flip-flop utilizados en electrónica: los tres elementos pueden describirse como "establecer", "reiniciar" y "no hacer nada". Este semigrupo aparece en la descomposición de Krohn-Rhodes de semigrupos finitos. [3] Los elementos irreducibles en esta descomposición son los grupos simples finitos más este semigrupo de tres elementos y sus subsemigrupos.
Existen dos semigrupos cíclicos , uno descrito por la ecuación x 4 = x 3 , que tiene como subsemigrupo a O 2 , el semigrupo nulo con dos elementos. El otro se describe por x 4 = x 2 y tiene como subgrupo a C 2 , el grupo con dos elementos. (La ecuación x 4 = x describe a C 3 , el grupo con tres elementos, ya mencionado.)
Existen otros siete semigrupos conmutativos no cíclicos y sin bandas, incluido el ejemplo inicial de {−1, 0, 1} y O 3 , el semigrupo nulo con tres elementos. También existen otros dos pares antiisomorfos de semigrupos no conmutativos y sin bandas.