Modelo monodominio

El modelo monodominio es una reducción del modelo bidominio de la propagación eléctrica en el tejido miocárdico. La reducción se debe a que se supone que los dominios intra y extracelular tienen proporciones de anisotropía iguales. Aunque no es tan preciso fisiológicamente como el modelo bidominio , sigue siendo adecuado en algunos casos y tiene una complejidad reducida. ^[1]

Formulación

Siendo el dominio espacial y el tiempo final, el modelo monodominio se puede formular de la siguiente manera ^[2] ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle {\frac {\lambda }{1+\lambda }}\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v\right)=\chi \left(C_{m}{\frac {\partial v}{\partial t}}+I_{\text{ion}}\right)\quad \quad {\text{in }}\mathbb {T} \times (0,T),}$$

donde es el tensor de conductividad intracelular, es el potencial transmembrana, es la corriente iónica transmembrana por unidad de área, es la capacitancia de la membrana por unidad de área, es la relación de conductividad intra- a extracelular, y es el área de superficie de la membrana por unidad de volumen (de tejido). ^[1] ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{i}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle I_{\text{ion}}}$ ${\displaystyle C_{m}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \chi }$

Derivación

El modelo monodominio se puede derivar fácilmente del modelo bidominio . Este último se puede escribir como ^[1] $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v\right)+\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{e}\right)&=\chi \left(C_{m}{\frac {\partial v}{\partial t}}+I_{\text{ion}}\right)\\\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v\right)+\nabla \cdot \left(\left(\mathbf {\Sigma } _{i}+\mathbf {\Sigma } _{e}\right)\nabla v_{e}\right)&=0\end{aligned}}}$$

Suponiendo que las relaciones de anisotropía son iguales, es decir , la segunda ecuación se puede escribir como ^[1] ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{e}=\lambda \mathbf {\Sigma } _{i}}$ $${\displaystyle \nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{e}\right)=-{\frac {1}{1+\lambda }}\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v\right).}$$

Luego, al insertar esto en la primera ecuación de bidominio se obtiene la ecuación única del modelo de monodominio ^[1] $${\displaystyle {\frac {\lambda }{1+\lambda }}\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v\right)=\chi \left(C_{m}{\frac {\partial v}{\partial t}}+I_{\text{ion}}\right).}$$

Condiciones de contorno

A diferencia del modelo de bidominio, el modelo de monodominio suele estar equipado con una condición de contorno aislada, lo que significa que se supone que no hay corriente que pueda fluir desde o hacia el dominio (generalmente el corazón). ^{[3] [4]} Matemáticamente, esto se hace imponiendo un flujo de potencial transmembrana cero ( condición de contorno de Neumann homogénea ), es decir : ^[4]

${\displaystyle (\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v)\cdot \mathbf {n} =0\quad \quad {\text{on }}\partial \mathbb {T} \times (0,T)}$

donde es la normal exterior unitaria del dominio y es el límite del dominio. ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \partial \mathbb {T} }$

Véase también

• Modelo de Bidominio
• Problema de avance de la electrocardiología

Referencias

1. Pullan, Andrew J.; Buist, Martin L.; Cheng, Leo K. (2005). Modelado matemático de la actividad eléctrica del corazón: de la célula a la superficie corporal y viceversa . World Scientific. ISBN 978-9812563736.
2. Keener J, Sneyd J (2009). Fisiología matemática II: fisiología de sistemas (2.ª ed.). Springer. ISBN 978-0-387-79387-0.
3. Rossi, Simone; Griffith, Boyce E. (1 de septiembre de 2017). "Incorporación de inductancias en modelos a escala tisular de electrofisiología cardíaca". Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science . 27 (9): 093926. doi :10.1063/1.5000706. ISSN  1054-1500. PMC 5585078 . PMID  28964127. 
4. Boulakia, Muriel; Cazeau, Serge; Fernández, Miguel A.; Gerbeau, Jean-Frédéric; Zemzemi, Nejib (24 de diciembre de 2009). "Modelado matemático de electrocardiogramas: un estudio numérico" (PDF) . Anales de ingeniería biomédica . 38 (3): 1071–1097. doi :10.1007/s10439-009-9873-0. PMID  20033779. S2CID  10114284.