Modelo de votante

En la teoría matemática de la probabilidad , el modelo de votante es un sistema de partículas interactivas introducido por Richard A. Holley y Thomas M. Liggett en 1975. ^[1]

El modelo de votante coexiste en el gráfico con dos grupos.

Se puede imaginar que hay un "votante" en cada punto de un gráfico conectado, donde las conexiones indican que existe alguna forma de interacción entre un par de votantes (nodos). Las opiniones de cualquier votante sobre algún tema cambian en momentos aleatorios bajo la influencia de las opiniones de sus vecinos. La opinión de un votante en un momento dado puede tomar uno de dos valores, denominados 0 y 1. En momentos aleatorios, se selecciona un individuo al azar y la opinión de ese votante cambia de acuerdo con una regla estocástica. Específicamente, uno de los vecinos del elector elegido es elegido de acuerdo con un conjunto dado de probabilidades y la opinión de ese vecino se transfiere al elector elegido.

Una interpretación alternativa es en términos de conflicto espacial. Supongamos que dos naciones controlan las áreas (conjuntos de nodos) etiquetadas 0 o 1. Un cambio de 0 a 1 en una ubicación determinada indica una invasión de ese sitio por parte de la otra nación.

Tenga en cuenta que solo ocurre un giro cada vez. Los problemas relacionados con el modelo electoral a menudo se reformularán en términos del sistema dual ^{[ se necesita aclaración ]} de fusiones ^{[ se necesita aclaración ]} cadenas de Markov . Con frecuencia, estos problemas se reducirán a otros que involucran cadenas de Markov independientes.

Definición

Un modelo de votante es un proceso de Markov (tiempo continuo) con espacio de estados y función de tasas de transición , donde es una red entera d-dimensional, y se supone que •,• no es negativo, está uniformemente acotado y es continuo en función de en la topología del producto. en . Cada componente se llama configuración. Para dejar claro que representa el valor de un sitio x en configuración ; mientras que significa el valor de un sitio x en configuración en ese momento . ${\displaystyle \eta _{t}}$ ${\displaystyle S=\{0,1\}^{Z^{d}}}$ ${\displaystyle c(x,\eta )}$ ${\displaystyle Z^{d}}$ ${\displaystyle c(}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \eta \in S}$ ${\displaystyle \eta (x)}$ ${\displaystyle \eta (.)}$ ${\displaystyle \eta _{t}(x)}$ ${\displaystyle \eta (.)}$ ${\displaystyle t}$

La dinámica del proceso se especifica mediante la recopilación de tasas de transición . Para los modelos de votantes, la velocidad a la que se produce un cambio de 0 a 1 o viceversa viene dada por una función de sitio . Tiene las siguientes propiedades: ${\displaystyle \scriptstyle x}$ ${\displaystyle c(x,\eta )}$ ${\displaystyle x}$

1. ${\displaystyle c(x,\eta )=0}$por cada si o si ${\displaystyle x\in Z^{d}}$ ${\displaystyle \eta \equiv 0}$ ${\displaystyle \eta \equiv 1}$
2. ${\displaystyle c(x,\eta )=c(x,\zeta )}$por cada si por todos ${\displaystyle x\in Z^{d}}$ ${\displaystyle \eta (y)+\zeta (y)=1}$ ${\displaystyle y\in Z^{d}}$
3. ${\displaystyle c(x,\eta )\leq c(x,\zeta )}$si y ${\displaystyle \eta \leq \zeta }$ ${\displaystyle \eta (x)=\zeta (x)=0}$
4. ${\displaystyle c(x,\eta )}$es invariante bajo cambios en ${\displaystyle \scriptstyle Z^{d}}$

La propiedad (1) dice que y son puntos fijos para la evolución. (2) indica que la evolución no cambia al intercambiar los roles de 0 y 1. En la propiedad (3), significa e implica si e implica si . ${\displaystyle \eta \equiv 0}$ ${\displaystyle \eta \equiv 1}$ ${\displaystyle \eta \leq \zeta }$ ${\displaystyle \forall x,\eta (x)\leq \zeta (x)}$ ${\displaystyle \eta \leq \zeta }$ ${\displaystyle c(x,\eta )\leq c(x,\zeta )}$ ${\displaystyle \eta (x)=\zeta (x)=0}$ ${\displaystyle c(x,\eta )\geq c(x,\zeta )}$ ${\displaystyle \eta (x)=\zeta (x)=1}$

Agrupación y coexistencia

El interés es el comportamiento limitante de los modelos. Dado que las tasas de cambio de un sitio dependen de sus vecinos, es obvio que cuando todos los sitios toman el mismo valor, todo el sistema deja de cambiar para siempre. Por lo tanto, un modelo de votante tiene dos distribuciones estacionarias extremas triviales, las masas puntuales y en o respectivamente, que representan el consenso. La principal cuestión a discutir es si existen o no otras que representarían entonces la coexistencia de diferentes opiniones en equilibrio. Se dice que la coexistencia ocurre si hay una distribución estacionaria que se concentra en configuraciones con infinitos ceros y unos. Por otro lado, si para todas y cada una de las configuraciones iniciales, entonces ${\displaystyle \scriptstyle \delta _{0}}$ ${\displaystyle \scriptstyle \delta _{1}}$ ${\displaystyle \scriptstyle \eta \equiv 0}$ ${\displaystyle \scriptstyle \eta \equiv 1}$ ${\displaystyle \scriptstyle x,y\in Z^{d}}$

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }P[\eta _{t}(x)\neq \eta _{t}(y)]=0}$

Se dice que se produce agrupamiento .

Es importante distinguir el clustering con el concepto de cluster . Los clústeres se definen como los componentes conectados de o . ${\displaystyle \scriptstyle \{x:\eta (x)=0\}}$ ${\displaystyle \scriptstyle \{x:\eta (x)=1\}}$

El modelo de votante lineal

Descripcion del modelo

Esta sección estará dedicada a uno de los modelos básicos de votantes, el Modelo de Votante Lineal.

Si •,• son las probabilidades de transición para un paseo aleatorio irreducible sobre , entonces: ${\displaystyle \scriptstyle p(}$ ${\displaystyle \scriptstyle )}$ ${\displaystyle \scriptstyle Z^{d}}$

${\displaystyle p(x,y)\geq 0\quad {\text{and}}\sum _{y}p(x,y)=1}$

Luego, en el modelo de votante lineal, las tasas de transición son funciones lineales de : ${\displaystyle \scriptstyle \eta }$

${\displaystyle c(x,\eta )=\left\{{\begin{array}{l}\sum _{y}p(x,y)\eta (y)\quad {\text{for all}}\quad \eta (x)=0\\\sum _{y}p(x,y)(1-\eta (y))\quad {\text{for all}}\quad \eta (x)=1\\\end{array}}\right.}$

O si indica que se produce un cambio en , entonces las tasas de transición son simplemente: ${\displaystyle \scriptstyle \eta _{x}}$ ${\displaystyle \scriptstyle x}$

${\displaystyle \eta \rightarrow \eta _{x}\quad {\text{at rate}}\sum _{y:\eta (y)\neq \eta (x)}p(x,y).}$

Un proceso de fusión de paseos aleatorios se define de la siguiente manera. Aquí se denota el conjunto de sitios ocupados por estos paseos aleatorios en el momento . Para definir , considere varios paseos aleatorios (en tiempo continuo) con tiempos de retención unitarios exponenciales y probabilidades de transición •,• , y considérelos independientes hasta que dos de ellos se encuentren. En ese momento, las dos que se encuentran se fusionan en una partícula, que continúa moviéndose como un paseo aleatorio con probabilidades de transición •,• . ${\displaystyle \scriptstyle A_{t}\subset Z^{d}}$ ${\displaystyle \scriptstyle A_{t}}$ ${\displaystyle \scriptstyle t}$ ${\displaystyle \scriptstyle A_{t}}$ ${\displaystyle \scriptstyle Z^{d}}$ ${\displaystyle \scriptstyle p(}$ ${\displaystyle \scriptstyle )}$ ${\displaystyle \scriptstyle p(}$ ${\displaystyle \scriptstyle )}$

El concepto de Dualidad es fundamental para analizar el comportamiento de los modelos de electores. Los modelos de votantes lineales satisfacen una forma de dualidad muy útil, conocida como dualidad coalescente , que es:

${\displaystyle P^{\eta }(\eta _{t}\equiv 1\quad {\text{on }}A)=P^{A}(\eta (A_{t})\equiv 1),}$

donde es la configuración inicial de y es el estado inicial de los paseos aleatorios coalescentes . ${\displaystyle \scriptstyle \eta \in \{0,1\}^{Z^{d}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle \eta _{t}}$ ${\displaystyle \scriptstyle A=\{x\in Z^{d},\eta (x)=1\}\subset Z^{d}}$ ${\displaystyle \scriptstyle A_{t}}$

Comportamientos limitantes de los modelos de votantes lineales

Sean las probabilidades de transición para un paseo aleatorio irreducible sobre y , entonces la relación de dualidad para tales modelos de votantes lineales dice que ${\displaystyle \scriptstyle p(x,y)}$ ${\displaystyle \scriptstyle Z^{d}}$ ${\displaystyle \scriptstyle p(x,y)=p(0,x-y)}$ ${\displaystyle \scriptstyle \forall \eta \in S=\{0,1\}^{Z^{d}}}$

${\displaystyle P^{\eta }[\eta _{t}(x)\neq \eta _{t}(y)]=P[\eta (X_{t})\neq \eta (Y_{t})]}$

donde y son (tiempo continuo) paseos aleatorios con , y es la posición que toma el paseo aleatorio en el tiempo . y forma paseos aleatorios coalescentes descritos al final de la sección 2.1 . es un paseo aleatorio simetrizado. Si es recurrente y , eventualmente acertará con probabilidad 1 y, por lo tanto, ${\displaystyle \scriptstyle X_{t}}$ ${\displaystyle \scriptstyle Y_{t}}$ ${\displaystyle \scriptstyle Z^{d}}$ ${\displaystyle \scriptstyle X_{0}=x}$ ${\displaystyle \scriptstyle Y_{0}=y}$ ${\displaystyle \scriptstyle \eta (X_{t})}$ ${\displaystyle \scriptstyle t}$ ${\displaystyle \scriptstyle X_{t}}$ ${\displaystyle \scriptstyle Y_{t}}$ ${\displaystyle \scriptstyle X(t)-Y(t)}$ ${\displaystyle \scriptstyle X(t)-Y(t)}$ ${\displaystyle \scriptstyle d\leq 2}$ ${\displaystyle \scriptstyle X_{t}}$ ${\displaystyle \scriptstyle Y_{t}}$

${\displaystyle P^{\eta }[\eta _{t}(x)\neq \eta _{t}(y)]=P[\eta (X_{t})\neq \eta (Y_{t})]\leq P[X_{t}\neq Y_{t}]\rightarrow 0\quad {\text{as}}\quad t\to 0}$

Por lo tanto, el proceso se agrupa.

En cambio, cuando , el sistema coexiste. Esto se debe a que para , es transitorio, por lo que existe una probabilidad positiva de que los paseos aleatorios nunca lleguen y, por lo tanto, para ${\displaystyle d\geq 3}$ ${\displaystyle \scriptstyle d\geq 3}$ ${\displaystyle \scriptstyle X(t)-Y(t)}$ ${\displaystyle \scriptstyle x\neq y}$

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }P[\eta _{t}(x)\neq \eta _{t}(y)]=C\lim _{t\rightarrow \infty }P[X_{t}\neq Y_{t}]>0}$

para alguna constante correspondiente a la distribución inicial. ${\displaystyle C}$

Si es un paseo aleatorio simetrizado, entonces existen los siguientes teoremas: ${\displaystyle \scriptstyle {\tilde {X}}(t)=X(t)-Y(t)}$

Teorema 2.1

El modelo de votante lineal se agrupa si es recurrente y coexiste si es transitorio. En particular, ${\displaystyle \scriptstyle \eta _{t}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\tilde {X}}_{t}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\tilde {X}}_{t}}$

1. el proceso se agrupa si y , o si y ; ${\displaystyle \scriptstyle d=1}$ ${\displaystyle \scriptstyle \sum _{x}|x|p(0,x)\leq \infty }$ ${\displaystyle \scriptstyle d=2}$ ${\displaystyle \scriptstyle \sum _{x}|x|^{2}p(0,x)\leq \infty }$
2. el proceso coexiste si . ${\displaystyle \scriptstyle d\geq 3}$

Observaciones : Para contrastar esto con el comportamiento de los modelos de votantes de umbral que se discutirán en la siguiente sección, tenga en cuenta que el hecho de que el modelo de votantes lineal se agrupe o coexista depende casi exclusivamente de la dimensión del conjunto de sitios, más que del tamaño del rango de interacción.

Teorema 2.2 Supongamos que cualquier traducción es una medida de probabilidad espacialmente ergódica e invariante en el espacio de estados , entonces ${\displaystyle \scriptstyle \mu }$ ${\displaystyle \scriptstyle S=\{0,1\}^{Z^{d}}}$

1. Si es recurrente, entonces ; ${\displaystyle \scriptstyle {\tilde {X}}_{t}}$ ${\displaystyle \scriptstyle \mu S(t)\Rightarrow \rho \delta _{1}+(1-\rho )\delta _{0}\quad {\text{as}}\quad t\to \infty }$
2. Si es transitorio, entonces . ${\displaystyle \scriptstyle {\tilde {X}}_{t}}$ ${\displaystyle \scriptstyle \mu S(t)\Rightarrow \mu _{\rho }}$

¿Dónde está la distribución de ? significa convergencia débil, es una medida invariante extrema no trivial y . ${\displaystyle \scriptstyle \mu S(t)}$ ${\displaystyle \scriptstyle \eta _{t}}$ ${\displaystyle \scriptstyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \scriptstyle \mu _{\rho }}$ ${\displaystyle \scriptstyle \rho =\mu (\{\eta :\eta (x)=1\})}$

Un modelo de votante lineal especial

Uno de los casos especiales interesantes del modelo de votante lineal, conocido como modelo de votante lineal básico , es el del espacio de estados : ${\displaystyle \scriptstyle \{0,1\}^{Z^{d}}}$

${\displaystyle p(x,y)={\begin{cases}1/2d&{\text{if }}|x-y|=1{\text{ and }}\eta (x)\neq \eta (y)\\[8pt]0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

De modo que

${\displaystyle \eta _{t}(x)\to 1-\eta _{t}(x)\quad {\text{at rate}}\quad (2d)^{-1}|\{y:|y-x|=1,\eta _{t}(y)\neq \eta _{t}(x)\}|}$

En este caso, el proceso se agrupa si , mientras que coexiste si . Esta dicotomía está estrechamente relacionada con el hecho de que el paseo aleatorio simple es recurrente si y transitorio si . ${\displaystyle \scriptstyle d\leq 2}$ ${\displaystyle \scriptstyle d\geq 3}$ ${\displaystyle \scriptstyle Z^{d}}$ ${\displaystyle \scriptstyle d\leq 2}$ ${\displaystyle \scriptstyle d\geq 3}$

Clústeres en una dimensión d = 1

Para el caso especial con y para cada uno . Según el teorema 2.2 , en este caso se produce agrupamiento. El objetivo de esta sección es dar una descripción más precisa de esta agrupación. ${\displaystyle \scriptstyle d=1}$ ${\displaystyle \scriptstyle S=Z^{1}}$ ${\displaystyle \scriptstyle p(x,x+1)=p(x,x-1)={\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle x}$ ${\displaystyle \scriptstyle \mu S(t)\Rightarrow \rho \delta _{1}+(1-\rho )\delta _{0}}$

Como se mencionó anteriormente, los grupos de an se definen como los componentes conectados de o . El tamaño medio del grupo se define como: ${\displaystyle \scriptstyle \eta }$ ${\displaystyle \scriptstyle \{x:\eta (x)=0\}}$ ${\displaystyle \scriptstyle \{x:\eta (x)=1\}}$ ${\displaystyle \scriptstyle \eta }$

${\displaystyle C(\eta )=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {2n}{{\text{number of clusters in}}[-n,n]}}}$

siempre que exista el límite.

Proposición 2.3

Supongamos que el modelo de votante tiene distribución inicial y es una medida de probabilidad invariante de traducción, entonces ${\displaystyle \scriptstyle \mu }$ ${\displaystyle \scriptstyle \mu }$

${\displaystyle P\left(C(\eta )={\frac {1}{P[\eta _{t}(0)\neq \eta _{t}(1)]}}\right)=1.}$

tiempo de ocupación

Defina las funcionales de tiempo de ocupación del modelo lineal básico de votantes como:

${\displaystyle T_{t}^{x}=\int _{0}^{t}\eta _{s}^{\rho }(x)\mathrm {d} s.}$

Teorema 2.4

Supongamos que para todo el sitio x y el tiempo t, entonces como , casi con seguridad si ${\displaystyle \scriptstyle P(\eta _{t}(x)=1)=\rho }$ ${\displaystyle \scriptstyle t\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle \scriptstyle T_{t}^{x}/t\rightarrow \rho }$ ${\displaystyle \scriptstyle d\geq 2}$

prueba

Por la desigualdad de Chebyshev y el lema de Borel-Cantelli , existe la siguiente ecuación:

${\displaystyle P\left({\frac {\rho }{r}}\leq \lim \inf _{t\rightarrow \infty }{\frac {T_{t}}{t}}\leq \lim \sup _{t\rightarrow \infty }{\frac {T_{t}}{t}}\leq \rho r\right)=1;\quad \forall r>1}$

El teorema se sigue al dejar . ${\displaystyle \scriptstyle r\searrow 1}$

El modelo de votante umbral

Descripcion del modelo

Esta sección se concentra en un tipo de modelo de votante no lineal, conocido como modelo de votante de umbral . Para definirlo, sea una vecindad de que se obtiene al intersecar con cualquier conjunto compacto, convexo y simétrico en ; en otras palabras, se supone que es un conjunto finito, simétrico respecto de todas las reflexiones e irreducible (es decir, el grupo que genera es ). Siempre se puede suponer que contiene todos los vectores unitarios . Para un número entero positivo , el modelo de votante de umbral con vecindad y umbral es el que tiene función de tasa: ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle 0\in Z^{d}}$ ${\displaystyle \scriptstyle Z^{d}}$ ${\displaystyle \scriptstyle R^{d}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle Z^{d}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle (1,0,0,\dots ,0),\dots ,(0,\dots ,0,1)}$ ${\displaystyle \scriptstyle T}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle T}$

${\displaystyle c(x,\eta )=\left\{{\begin{array}{l}1\quad {\text{if}}\quad |\{y\in x+{\mathcal {N}}:\eta (y)\neq \eta (x)\}|\geq T\\0\quad {\text{otherwise}}\\\end{array}}\right.}$

En pocas palabras, la tasa de transición del sitio es 1 si la cantidad de sitios que no toman el mismo valor es mayor o igual al umbral T. De lo contrario, el sitio permanece en el estado actual y no cambiará. ${\displaystyle \scriptstyle x}$ ${\displaystyle \scriptstyle x}$

Por ejemplo, si y , entonces la configuración es un estado absorbente o una trampa para el proceso. ${\displaystyle \scriptstyle d=1}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}=\{-1,0,1\}}$ ${\displaystyle \scriptstyle T=2}$ ${\displaystyle \scriptstyle \dots 1\quad 1\quad 0\quad 0\quad 1\quad 1\quad 0\quad 0\dots }$

Comportamientos limitantes del modelo de votante umbral

Si un modelo de umbral de votantes no fija, se debe esperar que el proceso coexista para umbrales pequeños y conglomerados para umbrales grandes, donde lo grande y lo pequeño se interpretan como relativos al tamaño del vecindario . La intuición es que tener un umbral pequeño facilita que se produzcan cambios, por lo que es probable que haya muchos 0 y 1 en todo momento. Los siguientes son tres resultados principales: ${\displaystyle \scriptstyle |{\mathcal {N}}|}$

1. Si , entonces el proceso se fija en el sentido de que cada sitio cambia sólo con una frecuencia finita. ${\displaystyle \scriptstyle T>{\frac {|{\mathcal {N}}|-1}{2}}}$
2. Si y , entonces el proceso se agrupa. ${\displaystyle \scriptstyle d=1}$ ${\displaystyle \scriptstyle T={\frac {|{\mathcal {N}}|-1}{2}}}$
3. Si es suficientemente pequeño ( ) y suficientemente grande, entonces el proceso coexiste. ${\displaystyle \scriptstyle T=\theta |{\mathcal {N}}|}$ ${\displaystyle \scriptstyle \theta }$ ${\displaystyle \scriptstyle \theta <{\frac {1}{4}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle |{\mathcal {N}}|}$

Aquí hay dos teoremas correspondientes a las propiedades (1) y (2).

Teorema 3.1

Si , entonces el proceso se fija. ${\displaystyle \scriptstyle T>{\frac {|{\mathcal {N}}|-1}{2}}}$

Teorema 3.2

El modelo de umbral de votantes en una dimensión ( ) con , grupos. ${\displaystyle \scriptstyle d=1}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}=\{-T,\dots ,T\},T\geq 1}$

prueba

La idea de la prueba es construir dos secuencias de tiempos aleatorios , con las siguientes propiedades: ${\displaystyle \scriptstyle U_{n}}$ ${\displaystyle \scriptstyle V_{n}}$ ${\displaystyle \scriptstyle n\geq 1}$

1. ${\displaystyle \scriptstyle 0=V_{0}<U_{1}<V_{1}<U_{2}<V_{2}<\dots }$,
2. ${\displaystyle \scriptstyle \{U_{k+1}-V_{k},k\geq 0\}}$son iidwith , ${\displaystyle \scriptstyle \mathrm {E} (U_{k+1}-V_{k})<\infty }$
3. ${\displaystyle \scriptstyle \{V_{k}-U_{k},k\geq 1\}}$son iidwith , ${\displaystyle \scriptstyle \mathrm {E} (V_{k}-U_{k})=\infty }$
4. las variables aleatorias en (b) y (c) son independientes entre sí,
5. El evento A= es constante en y el evento A se cumple para todos . ${\displaystyle \scriptstyle \{\eta _{t}(.)}$ ${\displaystyle \scriptstyle \{-T,\dots ,T\}\}}$ ${\displaystyle \scriptstyle t\in \cup _{k=1}^{\infty }[U_{k},V_{k}]}$

Una vez realizada esta construcción, de la teoría de la renovación se desprenderá que

${\displaystyle P(A)\geq P(t\in \cup _{k=1}^{\infty }[U_{k},V_{k}])\to 1\quad {\text{as}}\quad t\to \infty }$

Por lo tanto, , para que el proceso se agrupe. ${\displaystyle \scriptstyle \lim _{t\rightarrow \infty }P(\eta _{t}(1)\neq \eta _{t}(0))=0}$

Observaciones: (a) Los modelos de umbral en dimensiones superiores no necesariamente se agrupan si . Por ejemplo, tome y . Si es constante en franjas verticales infinitas alternas, eso es para todos : ${\displaystyle \scriptstyle T={\frac {|{\mathcal {N}}|-1}{2}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle d=2,T=2}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}=\{(0,0),(0,1),(1,0),(0,-1),(-1,0)\}}$ ${\displaystyle \scriptstyle \eta }$ ${\displaystyle \scriptstyle i,j}$

${\displaystyle \eta (4i,j)=\eta (4i+1,j)=1,\quad \eta (4i+2,j)=\eta (4i+3,j)=0}$

entonces nunca ocurre ninguna transición y el proceso se fija.

(b) Bajo el supuesto del Teorema 3.2 , el proceso no fija. Para ver esto, considere la configuración inicial , en la que a infinitos ceros les siguen infinitos unos. Entonces sólo el cero y el uno en el límite pueden invertirse, de modo que la configuración siempre tendrá el mismo aspecto excepto que el límite se moverá como un simple paseo aleatorio simétrico. El hecho de que este paseo aleatorio sea recurrente implica que cada sitio cambia con una frecuencia infinita. ${\displaystyle \scriptstyle \dots 000111\dots }$

La propiedad 3 indica que el modelo de votante umbral es bastante diferente del modelo de votante lineal, en que la coexistencia ocurre incluso en una dimensión, siempre que la vecindad no sea demasiado pequeña. El modelo de umbral tiene una tendencia hacia la "minoría local", que no está presente en el caso lineal.

La mayoría de las pruebas de coexistencia de los modelos de umbral de votantes se basan en comparaciones con el modelo híbrido conocido como proceso de contacto de umbral con parámetro . Este es el proceso con las tasas de cambio: ${\displaystyle \scriptstyle \lambda >0}$ ${\displaystyle \scriptstyle [0,1]^{Z^{d}}}$

${\displaystyle c(x,\eta )=\left\{{\begin{array}{l}\lambda \quad {\text{if}}\quad \eta (x)=0\quad {\text{and}}|\{y\in x+{\mathcal {N}}:\eta (y)=1\}|\geq T;\\1\quad {\text{if}}\quad \eta (x)=1;\\0\quad {\text{otherwise}}\end{array}}\right.}$

Proposición 3.3

Para cualquiera y , si el proceso de contacto de umbral tiene una medida invariante no trivial, entonces el modelo de votante de umbral coexiste. ${\displaystyle \scriptstyle d,{\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle T}$ ${\displaystyle \scriptstyle \lambda =1}$

Modelo con umbral T = 1

El caso que es de particular interés porque es el único caso en el que se sabe exactamente qué modelos coexisten y qué modelos se agrupan. ${\displaystyle \scriptstyle T=1}$

En particular, existe interés en un tipo de modelo de Umbral T=1 que esté dado por: ${\displaystyle \scriptstyle c(x,\eta )}$

${\displaystyle c(x,\eta )=\left\{{\begin{array}{l}1\quad {\text{if exists one}}\quad y\quad {\text{with}}\quad |x-y|\leq N\quad {\text{and}}\quad \eta (x)\neq \eta (y)\\0\quad {\text{otherwise}}\\\end{array}}\right.}$

${\displaystyle \scriptstyle N}$puede interpretarse como el radio de la vecindad ; determina el tamaño de la vecindad (es decir, si , entonces ; mientras que para , el correspondiente ). ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle N}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}_{1}=\{-2,-1,0,1,2\}}$ ${\displaystyle \scriptstyle N_{1}=2}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}_{2}=\{(0,0),(0,1),(1,0),(0,-1),(-1,0)\}}$ ${\displaystyle \scriptstyle N_{2}=1}$

Según el teorema 3.2 , el modelo con y agrupa. El siguiente teorema indica que para todas las demás elecciones de y , el modelo coexiste. ${\displaystyle \scriptstyle d=1}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}=\{-1,0,1\}}$ ${\displaystyle \scriptstyle d}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}}$

Teorema 3.4

Supongamos que , pero . Entonces coexiste el modelo de umbral con el parámetro . ${\displaystyle \scriptstyle N\geq 1}$ ${\displaystyle \scriptstyle (N,d)\neq (1,1)}$ ${\displaystyle \scriptstyle Z^{d}}$ ${\displaystyle \scriptstyle N}$

La prueba de este teorema se da en un artículo titulado "Coexistencia en modelos de votantes de umbral" de Thomas M. Liggett.

Ver también

• Autómatas celulares probabilísticos
• sistema dinámico secuencial
• proceso de contacto

Notas

1. Holley, Richard A.; Liggett, Thomas M. (1975). "Teoremas ergódicos para sistemas infinitos que interactúan débilmente y el modelo de votante". Los anales de la probabilidad . 3 (4): 643–663. doi : 10.1214/aop/1176996306 . ISSN  0091-1798.

Referencias

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• Liggett, Thomas M. (1997). "Modelos estocásticos de sistemas que interactúan". Los anales de la probabilidad . 25 (1). Instituto de Estadística Matemática: 1–29. doi : 10.1214/aop/1024404276 . ISSN  0091-1798.
• Liggett, Thomas M. (1994). "Coexistencia en modelos de votantes umbral". Los anales de la probabilidad . 22 (2): 764–802. doi : 10.1214/aop/1176988729 .
• Cox, J. Theodore; David Griffeath (1983). "Teoremas del límite de tiempo de ocupación para el modelo de votante". Los anales de la probabilidad . 11 (4): 876–893. doi : 10.1214/aop/1176993438 .
• Durrett, Richard ; Kesten, Harry (1991). Paseos aleatorios, movimiento browniano y sistemas de partículas en interacción . Saltador. ISBN 0817635092.
• Liggett, Thomas M. (1985). Sistemas de partículas que interactúan . Nueva York: Springer Verlag. ISBN 0-387-96069-4.
• Thomas M. Liggett , "Sistemas de interacción estocástica: procesos de contacto, votantes y exclusión", Springer-Verlag, 1999.