Modelos financieros con distribuciones de cola larga y agrupamiento de volatilidad

Se han introducido modelos financieros con distribuciones de cola larga y agrupamiento de volatilidad para superar los problemas con el realismo de los modelos financieros clásicos. Estos modelos clásicos de series temporales financieras normalmente suponen homocedasticidad y normalidad y, como tales, no pueden explicar fenómenos estilizados como la asimetría , las colas pesadas y el agrupamiento de volatilidad de los rendimientos empíricos de los activos en finanzas. En 1963, Benoit Mandelbrot utilizó por primera vez la distribución estable (o -estable) ${\displaystyle \alpha }$ para modelar las distribuciones empíricas que tienen la propiedad de asimetría y cola pesada. Dado que las distribuciones -estables tienen momentos -ésimos infinitos para todos , se han propuesto los procesos estables templados para superar esta limitación de la distribución estable. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p>\alpha }$

Por otra parte, se han desarrollado modelos GARCH para explicar la agrupación de la volatilidad . En el modelo GARCH, se supone que las distribuciones de innovación (o residuos) son una distribución normal estándar, a pesar de que este supuesto suele rechazarse empíricamente. Por esta razón, se han desarrollado modelos GARCH con distribución de innovación no normal.

Se han desarrollado y aplicado muchos modelos financieros con distribuciones estables y templadas junto con agrupamientos de volatilidad a la gestión de riesgos, la fijación de precios de opciones y la selección de carteras.

Distribuciones infinitamente divisibles

Una variable aleatoria se llama infinitamente divisible si, para cada , existen variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle n=1,2,\dots }$

${\displaystyle Y_{n,1},Y_{n,2},\dots ,Y_{n,n}\,}$

de tal manera que

${\displaystyle Y{\stackrel {\mathrm {d} }{=}}\sum _{k=1}^{n}Y_{n,k},\,}$

donde denota igualdad en la distribución. ${\displaystyle {\stackrel {\mathrm {d} }{=}}}$

Una medida de Borel se denomina medida de Lévy si y ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \nu ({0})=0}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }(1\wedge |x^{2}|)\,\nu (dx)<\infty .}$

Si es infinitamente divisible, entonces la función característica está dada por ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \phi _{Y}(u)=E[e^{iuY}]}$

${\displaystyle \phi _{Y}(u)=\exp \left(i\gamma u-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}u^{2}+\int _{-\infty }^{\infty }(e^{iux}-1-iux1_{|x|\leq 1})\,\nu (dx)\right),\sigma \geq 0,~~\gamma \in \mathbb {R} }$

donde , y es una medida de Lévy. Aquí el triple se llama triplete de Lévy de . Este triplete es único. Por el contrario, para cualquier elección que satisfaga las condiciones anteriores, existe una variable aleatoria infinitamente divisible cuya función característica se da como . ${\displaystyle \sigma \geq 0}$ ${\displaystyle \gamma \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle (\sigma ^{2},\nu ,\gamma )}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (\sigma ^{2},\nu ,\gamma )}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \phi _{Y}}$

alfa-Distribuciones estables

Se dice que una variable aleatoria de valor real tiene una distribución -estable si para cualquier , hay un número positivo y un número real tales que ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle C_{n}}$ ${\displaystyle D_{n}}$

${\displaystyle X_{1}+\cdots +X_{n}{\stackrel {\mathrm {d} }{=}}C_{n}X+D_{n},\,}$

donde son independientes y tienen la misma distribución que la de . Todas las variables aleatorias estables son infinitamente divisibles. Se sabe que para algunos . Una variable aleatoria estable con índice se denomina variable aleatoria -estable . ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C_{n}=n^{1/\alpha }}$ ${\displaystyle 0<\alpha \leq 2}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$

Sea una variable aleatoria estable. Entonces la función característica de está dada por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \phi _{X}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \phi _{X}(u)={\begin{cases}\exp \left(i\mu u-\sigma ^{\alpha }|u|^{\alpha }\left(1-i\beta \operatorname {sgn} (u)\tan \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right)\right)\right)&{\text{if }}\alpha \in (0,1)\cup (1,2)\\\exp \left(i\mu u-\sigma |u|\left(1+i\beta \operatorname {sgn} (u)\left({\frac {2}{\pi }}\right)\ln(|u|)\right)\right)&{\text{if }}\alpha =1\\\exp \left(i\mu u-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}u^{2}\right)&{\text{if }}\alpha =2\end{cases}}}$

para algunos , y . ${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \sigma >0}$ ${\displaystyle \beta \in [-1,1]}$

Distribuciones estables templadas

Una distribución infinitamente divisible se denomina distribución estable templada clásica (CTS) con parámetro , si su triplete de Lévy está dado por , y ${\displaystyle (C_{1},C_{2},\lambda _{+},\lambda _{-},\alpha )}$ ${\displaystyle (\sigma ^{2},\nu ,\gamma )}$ ${\displaystyle \sigma =0}$ ${\displaystyle \gamma \in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \nu (dx)=\left({\frac {C_{1}e^{-\lambda _{+}x}}{x^{1+\alpha }}}1_{x>0}+{\frac {C_{2}e^{-\lambda _{-}|x|}}{|x|^{1+\alpha }}}1_{x<0}\right)\,dx,}$

donde y . ${\displaystyle C_{1},C_{2},\lambda _{+},\lambda _{-}>0}$ ${\displaystyle \alpha <2}$

Esta distribución fue introducida por primera vez con el nombre de Truncated Lévy Flights ^[1] y 'distribución estable exponencialmente truncada' ^[2] . Posteriormente se la denominó distribución estable templada o distribución KoBoL . ^[3] En particular, si , entonces esta distribución se denomina distribución CGMY. ^[4] ${\displaystyle C_{1}=C_{2}=C>0}$

La función característica para una distribución estable templada está dada por ${\displaystyle \phi _{CTS}}$

${\displaystyle \phi _{CTS}(u)=\exp \left(iu\mu +C_{1}\Gamma (-\alpha )((\lambda _{+}-iu)^{\alpha }-\lambda _{+}^{\alpha })+C_{2}\Gamma (-\alpha )((\lambda _{-}+iu)^{\alpha }-\lambda _{-}^{\alpha })\right),}$

Para algunos . Además, puede extenderse a la región . ${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \phi _{CTS}}$ ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} :\operatorname {Im} (z)\in (-\lambda _{-},\lambda _{+})\}}$

Rosiński generalizó la distribución CTS bajo el nombre de distribución estable templada . La distribución KR, que es una subclase de las distribuciones estables templadas generalizadas de Rosiński, se utiliza en finanzas. ^[5]

Una distribución infinitamente divisible se denomina distribución estable templada modificada (MTS) con parámetro , si su triplete de Lévy está dado por , y ${\displaystyle (C,\lambda _{+},\lambda _{-},\alpha )}$ ${\displaystyle (\sigma ^{2},\nu ,\gamma )}$ ${\displaystyle \sigma =0}$ ${\displaystyle \gamma \in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \nu (dx)=C\left({\frac {q_{\alpha }(\lambda _{+}|x|)}{x^{\alpha +1}}}1_{x>0}+{\frac {q_{\alpha }(\lambda _{-}|x|)}{|x|^{\alpha +1}}}1_{x<0}\right)\,dx,}$

donde y ${\displaystyle C,\lambda _{+},\lambda _{-}>0,\alpha <2}$

${\displaystyle q_{\alpha }(x)=x^{\frac {\alpha +1}{2}}K_{\frac {\alpha +1}{2}}(x).}$

Aquí se presenta la función de Bessel modificada de segundo tipo. La distribución MTS no está incluida en la clase de distribuciones estables templadas generalizadas de Rosiński. ^[6] ${\displaystyle K_{p}(x)}$

Agrupamiento de volatilidad con innovación estable y moderadamente estable

Para describir el efecto de agrupamiento de la volatilidad del proceso de retorno de un activo, se puede utilizar el modelo GARCH . En el modelo GARCH, se supone que la innovación ( ) , donde y donde las series están modeladas por ${\displaystyle ~\epsilon _{t}~}$ ${\displaystyle ~\epsilon _{t}=\sigma _{t}z_{t}~}$ ${\displaystyle z_{t}\sim iid~N(0,1)}$ ${\displaystyle \sigma _{t}^{2}}$

${\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\epsilon _{t-1}^{2}+\cdots +\alpha _{q}\epsilon _{t-q}^{2}=\alpha _{0}+\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}\epsilon _{t-i}^{2}}$

y donde y . ${\displaystyle ~\alpha _{0}>0~}$ ${\displaystyle \alpha _{i}\geq 0,~i>0}$

Sin embargo, la suposición de que a menudo se rechaza empíricamente. Por esa razón, se han desarrollado nuevos modelos GARCH con innovación distribuida estable o estable moderada. Se han introducido modelos GARCH con innovaciones estables. ^{[7] [8] [9]} Posteriormente, se han desarrollado modelos GARCH con innovaciones estables moderadas. ^{[6] [10]} ${\displaystyle z_{t}\sim iid~N(0,1)}$ ${\displaystyle \alpha }$

Las objeciones contra el uso de distribuciones estables en modelos financieros se dan en ^{[11] [12].}

Notas

1. Koponen, I. (1995) "Enfoque analítico del problema de convergencia de vuelos de Lévy truncados hacia el proceso estocástico gaussiano", Physical Review E , 52, 1197–1199.
2. Cont, R., Potters, M., y Bouchaud, JP (1997) "Escalamiento en datos del mercado de valores: leyes estables y más allá", en: B. Dubrulle, F. Graner, D. Sornette (eds.): Scale Invariance and Beyond, 75-85, Springer.
3. SI Boyarchenko, SZ Levendorskiǐ (2000) "Fijación de precios de opciones para procesos Lévy truncados", Revista internacional de finanzas teóricas y aplicadas , 3 (3), 549–552
4. P. Carr, H. Geman, D. Madan, M. Yor (2002) "La estructura fina de los retornos de los activos: una investigación empírica", Journal of Business , 75 (2), 305–332.
5. Kim, YS; Rachev, Svetlozar T.; Bianchi, ML; Fabozzi, FJ (2007) "Una nueva distribución estable templada y su aplicación a las finanzas". En: Georg Bol, Svetlozar T. Rachev y Reinold Wuerth (Eds.), Evaluación de riesgos: decisiones en banca y finanzas , Physika Verlag, Springer
6. Kim, YS, Chung, DM, Rachev, Svetlozar T.; ML Bianchi, La distribución estable templada modificada, modelos GARCH y fijación de precios de opciones, Probabilidad y estadística matemática , por aparecer
7. C. Menn, Svetlozar T. Rachev (2005) "Un modelo de fijación de precios de opciones GARCH con innovaciones estables", European Journal of Operational Research , 163, 201–209 ${\displaystyle \alpha }$
8. C. Menn, Svetlozar T. Rachev (2005) "Distribuciones estables truncadas suavemente, modelos GARCH y fijación de precios de opciones", Informe técnico. Facultad de Estadística y Finanzas Matemáticas de Economía e Ingeniería Empresarial, Universidad de Karlsruh
9. Svetlozar T. Rachev, C. Menn, Frank J. Fabozzi (2005) Distribuciones de rendimiento de activos asimétricas y de cola gruesa: implicaciones para la gestión de riesgos, la selección de carteras y la fijación de precios de opciones , Wiley
10. Kim, YS; Rachev, Svetlozar T.; Michele L. Bianchi, Fabozzi, FJ (2008) "Modelos de mercado financiero con procesos de Lévy y volatilidad variable en el tiempo", Journal of Banking & Finance , 32 (7), 1363–1378 doi :10.1016/j.jbankfin.2007.11.004
11. Lev B. Klebanov, Irina Volchenkova (2015) "Distribuciones de cola pesada en finanzas: ¿realidad o mito? El punto de vista de los aficionados", arXiv:1507.07735v1, 1-17.
12. Lev B Klebanov (2016) "¡No a las distribuciones estables en finanzas, por favor!", arXiv:1601.00566v2, 1-9.

Referencias

• BB Mandelbrot (1963) "Nuevos métodos en economía estadística", Journal of Political Economy , 71, 421-440
• Svetlozar T. Rachev, Stefan Mittnik (2000) Modelos paretianos estables en finanzas , Wiley
• G. Samorodnitsky y MS Taqqu, Procesos aleatorios no gaussianos estables , Chapman & Hall/CRC.
• SI Boyarchenko, SZ Levendorskiǐ (2000) "Precios de opciones para procesos de Lévy truncados", Revista Internacional de Finanzas Teóricas y Aplicadas , 3 (3), 549–552.
• J. Rosiński (2007) "Temple de procesos estables", Procesos estocásticos y sus aplicaciones , 117 (6), 677–707.