En lógica matemática , un modelo de aritmética no estándar es un modelo de aritmética de Peano de primer orden que contiene números no estándar. El término modelo estándar de aritmética se refiere a los números naturales estándar 0, 1, 2,…. Los elementos de cualquier modelo de aritmética de Peano están ordenados linealmente y poseen un segmento inicial isomorfo a los números naturales estándar. Un modelo no estándar es aquel que cuenta con elementos adicionales fuera de este segmento inicial. La construcción de este tipo de modelos se debe a Thoralf Skolem (1934).
Los modelos de aritmética no estándar existen sólo para la formulación de primer orden de los axiomas de Peano ; para la formulación original de segundo orden, hasta el isomorfismo, sólo existe un modelo: los números naturales mismos. [1]
Existen varios métodos que se pueden utilizar para demostrar la existencia de modelos aritméticos no estándar.
La existencia de modelos aritméticos no estándar se puede demostrar mediante una aplicación del teorema de compacidad . Para ello, se define un conjunto de axiomas P* en un lenguaje que incluye el lenguaje aritmético de Peano junto con un nuevo símbolo constante x . Los axiomas constan de los axiomas de la aritmética de Peano P junto con otro conjunto infinito de axiomas: para cada numeral n , se incluye el axioma x > n . Cualquier subconjunto finito de estos axiomas se satisface mediante un modelo que es el modelo estándar de aritmética más la constante x interpretada como algún número mayor que cualquier numeral mencionado en el subconjunto finito de P*. Así, según el teorema de la compacidad, existe un modelo que satisface todos los axiomas P*. Dado que cualquier modelo de P* es un modelo de P (dado que un modelo de un conjunto de axiomas obviamente también es un modelo de cualquier subconjunto de ese conjunto de axiomas), tenemos que nuestro modelo extendido también es un modelo de los axiomas de Peano. El elemento de este modelo correspondiente a x no puede ser un número estándar, porque como se indicó es mayor que cualquier número estándar.
Utilizando métodos más complejos, es posible construir modelos no estándar que posean propiedades más complicadas. Por ejemplo, existen modelos de aritmética de Peano en los que falla el teorema de Goodstein . En la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel se puede demostrar que el teorema de Goodstein se cumple en el modelo estándar, por lo que un modelo en el que falla el teorema de Goodstein debe ser no estándar.
Los teoremas de incompletitud de Gödel también implican la existencia de modelos aritméticos no estándar. Los teoremas de incompletitud muestran que una oración particular G , la oración de Gödel de la aritmética de Peano, no es demostrable ni refutable en la aritmética de Peano. Según el teorema de completitud , esto significa que G es falso en algún modelo de aritmética de Peano. Sin embargo, G es verdadero en el modelo estándar de aritmética y, por tanto, cualquier modelo en el que G sea falso debe ser un modelo no estándar. Por lo tanto, satisfacer ~ G es una condición suficiente para que un modelo no sea estándar. Sin embargo, no es una condición necesaria; para cualquier oración de Gödel G y cualquier cardinalidad infinita hay un modelo de aritmética con G verdadero y de esa cardinalidad.
Suponiendo que la aritmética es consistente, la aritmética con ~ G también lo es. Sin embargo, dado que ~ G establece que la aritmética es inconsistente, el resultado no será ω-consistente (porque ~ G es falso y esto viola la ω-consistencia).
Otro método para construir un modelo aritmético no estándar es mediante un ultraproducto . Una construcción típica utiliza el conjunto de todas las secuencias de números naturales . Elija un ultrafiltro en , luego identifique dos secuencias siempre que tengan valores iguales en las posiciones que forman un miembro del ultrafiltro (esto requiere que coincidan en una cantidad infinita de términos, pero la condición es más fuerte que esto ya que los ultrafiltros se parecen al axioma de elección). como extensiones máximas del filtro Fréchet). El semiring resultante es un modelo aritmético no estándar. Se puede identificar con los números hipernaturales . [2]
Los modelos de ultraproductos son innumerables. Una forma de ver esto es construir una inyección del producto infinito de N en el ultraproducto. Sin embargo, según el teorema de Löwenheim-Skolem, deben existir modelos de aritmética no estándar contables. Una forma de definir dicho modelo es utilizar la semántica de Henkin .
Cualquier modelo contable de aritmética no estándar tiene un tipo de orden ω + (ω* + ω) ⋅ η , donde ω es el tipo de orden de los números naturales estándar, ω* es el orden dual (una secuencia infinita decreciente) y η es el tipo de orden de los números racionales . En otras palabras, un modelo contable no estándar comienza con una secuencia creciente infinita (los elementos estándar del modelo). A esto le sigue una colección de "bloques", cada uno de tipo de orden ω* + ω , el tipo de orden de los números enteros. Estos bloques, a su vez, están densamente ordenados con el tipo de orden de los racionales. El resultado se sigue con bastante facilidad porque es fácil ver que los bloques de números no estándar tienen que ser densos y ordenados linealmente sin puntos finales, y el tipo de orden de los racionales es el único orden lineal denso contable sin puntos finales . [3] [4] [5]
Por tanto, se conoce el tipo de pedido de los modelos contables no estándar. Sin embargo, las operaciones aritméticas son mucho más complicadas.
Es fácil ver que la estructura aritmética difiere de ω + (ω* + ω) ⋅ η . Por ejemplo, si un elemento no estándar (no finito) u está en el modelo, entonces también lo estará m ⋅ u para cualquier m en el segmento inicial N , pero u 2 es mayor que m ⋅ u para cualquier m finito estándar .
También se pueden definir "raíces cuadradas" como la mínima v tal que v 2 > 2 ⋅ u . Estos no pueden estar dentro de un número finito estándar de ningún múltiplo racional de u . Mediante métodos análogos al análisis no estándar, también se pueden usar PA para definir aproximaciones cercanas a múltiplos irracionales de un número no estándar u, como el mínimo v con v > π ⋅ u (estos se pueden definir en PA usando números finitos no estándar aproximaciones racionales de π aunque π en sí no pueda serlo). Una vez más, v − ( m / n ) ⋅ ( u / n ) tiene que ser mayor que cualquier número finito estándar para cualquier m , n finito estándar . [ cita necesaria ]
Esto muestra que la estructura aritmética de un modelo contable no estándar es más compleja que la estructura de los racionales. Sin embargo, hay más que eso: el teorema de Tennenbaum muestra que para cualquier modelo contable no estándar de aritmética de Peano no hay manera de codificar los elementos del modelo como números naturales (estándar) de modo que la operación de suma o multiplicación del El modelo es computable en los códigos. Este resultado fue obtenido por primera vez por Stanley Tennenbaum en 1959.
