Concepto en física
Modelo clásico utilizado para derivar las ecuaciones de un modelo de amortiguador de resorte de masa. El modelo masa-resorte-amortiguador consta de nodos de masa discretos distribuidos por todo un objeto e interconectados a través de una red de resortes y amortiguadores . Este modelo es muy adecuado para modelar objetos con propiedades materiales complejas como la no linealidad y la viscoelasticidad . Se pueden utilizar paquetes como MATLAB para ejecutar simulaciones de dichos modelos. [1] Además de la simulación de ingeniería, estos sistemas tienen aplicaciones en gráficos por computadora y animación por computadora . [2]
Derivación (masa única) La derivación de las ecuaciones de movimiento para este modelo generalmente se realiza sumando las fuerzas sobre la masa (incluidas las fuerzas externas aplicadas ): F externo ) {\displaystyle F_{\text{externo}})}
Σ F = − k X − C X ˙ + F externo = metro X ¨ {\displaystyle \Sigma F=-kx-c{\dot {x}}+F_{\text{externo}}=m{\ddot {x}}} Reordenando esta ecuación, podemos derivar la forma estándar:
X ¨ + 2 ζ ω norte X ˙ + ω norte 2 X = tu {\displaystyle {\ddot {x}}+2\zeta \omega _ {n}{\dot {x}}+\omega _ {n}^{2}x=u} ω norte = k metro ; ζ = C 2 metro ω norte ; tu = F externo metro {\displaystyle \omega _{n}={\sqrt {\frac {k}{m}}};\quad \zeta ={\frac {c}{2m\omega _{n}}};\quad u ={\frac {F_{\text{externo}}}{m}}} ω norte {\displaystyle \omega _ {n}} frecuencia natural no amortiguada y es la relación de amortiguamiento . La ecuación homogénea para el sistema de resorte de masa es: ζ {\displaystyle \zeta}
X ¨ + 2 ζ ω norte X ˙ + ω norte 2 X = 0 {\displaystyle {\ddot {x}}+2\zeta \omega _ {n}{\dot {x}}+\omega _ {n}^{2}x=0} Esto tiene la solución:
X = A mi − ω norte t ( ζ + ζ 2 − 1 ) + B mi − ω norte t ( ζ − ζ 2 − 1 ) {\displaystyle x=Ae^{-\omega _ {n}t\left(\zeta +{\sqrt {\zeta ^{2}-1}}\right)}+Be^{-\omega _ {n }t\left(\zeta -{\sqrt {\zeta ^{2}-1}}\right)}} Si entonces es negativo, significa que la raíz cuadrada será negativa y por tanto la solución tendrá una componente oscilatoria. ζ < 1 {\displaystyle \zeta <1} ζ 2 − 1 {\displaystyle \zeta^{2}-1}
Ver también Referencias ^ "Resolución de sistemas de amortiguadores de resorte masivo en MATLAB" (PDF) . ^ "Simulación rápida de sistemas de masa-resorte" (PDF) .
