En matemáticas , y en particular en teoría de modelos , [1] un modelo primo es un modelo que es lo más simple posible. En concreto, un modelo es primo si admite una inserción elemental en cualquier modelo al que sea elementalmente equivalente (es decir, en cualquier modelo que satisfaga la misma teoría completa que ).
En contraste con la noción de modelo saturado , los modelos primos están restringidos a cardinalidades muy específicas por el teorema de Löwenheim-Skolem . Si es un lenguaje de primer orden con cardinalidad y es una teoría completa sobre entonces este teorema garantiza un modelo para de cardinalidad Por lo tanto, ningún modelo primo de puede tener una cardinalidad mayor ya que al menos debe estar elementalmente incrustado en tal modelo. Esto todavía deja mucha ambigüedad en la cardinalidad real. En el caso de los lenguajes contables, todos los modelos primos son como máximo contablemente infinitos.
Existe una dualidad entre las definiciones de modelos primos y saturados. La mitad de esta dualidad se analiza en el artículo sobre modelos saturados , mientras que la otra mitad es la siguiente. Mientras que un modelo saturado realiza tantos tipos como sea posible, un modelo primo realiza tan pocos como sea posible: es un modelo atómico , que realiza solo los tipos que no se pueden omitir y omite el resto. Esto puede interpretarse en el sentido de que un modelo primo no admite "adornos": cualquier característica de un modelo que sea opcional se ignora en él.
Por ejemplo, el modelo es un modelo primo de la teoría de los números naturales N con una operación sucesora S ; un modelo no primo podría significar que existe una copia de los números enteros completos que se encuentra disjunta de la copia original de los números naturales dentro de este modelo; en este añadido, la aritmética funciona como de costumbre. Estos modelos son elementalmente equivalentes; su teoría admite la siguiente axiomatización (verbalmente):
Estos son, de hecho, dos de los axiomas de Peano , mientras que el tercero se sigue del primero por inducción (otro de los axiomas de Peano). Cualquier modelo de esta teoría consiste en copias disjuntas de los números enteros completos además de los números naturales, ya que una vez que se genera un submodelo a partir de 0 todos los puntos restantes admiten tanto predecesores como sucesores indefinidamente. Este es el esquema de una prueba que es un modelo primo.
