modelo n-vectorial

En mecánica estadística , el modelo n -vectorial o modelo O( n ) es un sistema simple de espines interactuantes en una red cristalina . Fue desarrollado por H. Eugene Stanley como una generalización del modelo de Ising , el modelo XY y el modelo de Heisenberg . ^[1] En el modelo n -vectorial, los espines clásicos de longitud unitaria de n componentes se colocan en los vértices de una red de dimensión d . El hamiltoniano del modelo n -vectorial viene dado por: ${\displaystyle \mathbf {s} _{i}}$

${\displaystyle H=K{\sum }_{\langle i,j\rangle }\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}}$

donde la suma recorre todos los pares de espines vecinos y denota el producto interno euclidiano estándar. Los casos especiales del modelo n -vectorial son: ${\displaystyle \langle i,j\rangle }$ ${\displaystyle \cdot }$

${\displaystyle n=0}$:El paseo que evita el paso ^{[2] [3]}

${\displaystyle n=1}$:El modelo de Ising

${\displaystyle n=2}$:El modelo XY

${\displaystyle n=3}$:El modelo de Heisenberg

${\displaystyle n=4}$: Modelo de juguete para el sector de Higgs del Modelo Estándar

El formalismo matemático general utilizado para describir y resolver el modelo de n vectores y ciertas generalizaciones se desarrollan en el artículo sobre el modelo de Potts .

Reformulación como modelo de bucle

En una pequeña expansión de acoplamiento, el peso de una configuración puede reescribirse como

${\displaystyle e^{H}{\underset {K\to 0}{\sim }}\prod _{\langle i,j\rangle }\left(1+K\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\right)}$

Integrando sobre el vector se obtienen expresiones como ${\displaystyle \mathbf {s} _{i}}$

${\displaystyle \int d\mathbf {s} _{i}\ \prod _{j=1}^{4}\left(\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\right)=\left(\mathbf {s} _{1}\cdot \mathbf {s} _{2}\right)\left(\mathbf {s} _{3}\cdot \mathbf {s} _{4}\right)+\left(\mathbf {s} _{1}\cdot \mathbf {s} _{4}\right)\left(\mathbf {s} _{2}\cdot \mathbf {s} _{3}\right)+\left(\mathbf {s} _{1}\cdot \mathbf {s} _{3}\right)\left(\mathbf {s} _{2}\cdot \mathbf {s} _{4}\right)}$

que se interpreta como una suma sobre las 3 posibles formas de conectar los vértices por pares utilizando 2 líneas que pasan por el vértice . Al integrar sobre todos los vectores, las líneas correspondientes se combinan en bucles cerrados y la función de partición se convierte en una suma sobre las configuraciones de bucle: ${\displaystyle 1,2,3,4}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle Z=\sum _{L\in {\mathcal {L}}}K^{E(L)}n^{|L|}}$

donde es el conjunto de configuraciones de bucles, con el número de bucles en la configuración y el número total de aristas de la red. ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle |L|}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle E(L)}$

En dos dimensiones, es común suponer que los bucles no se cruzan: ya sea eligiendo que la red sea trivalente, o considerando el modelo en una fase diluida donde los cruces son irrelevantes, o prohibiendo los cruces a mano. El modelo resultante de bucles que no se cruzan puede entonces estudiarse utilizando métodos algebraicos potentes, y su espectro se conoce exactamente. ^[4] Además, el modelo está estrechamente relacionado con el modelo de cúmulos aleatorios , que también puede formularse en términos de bucles que no se cruzan. Se sabe mucho menos en modelos en los que se permite que los bucles se crucen, y en dimensiones superiores a dos.

Límite continuo

El límite continuo puede entenderse como el modelo sigma . Esto se puede obtener fácilmente escribiendo el hamiltoniano en términos del producto

${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}(\mathbf {s} _{i}-\mathbf {s} _{j})\cdot (\mathbf {s} _{i}-\mathbf {s} _{j})=\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}-1}$

donde es el término de "magnetización en masa". Si se descarta este término como un factor constante general que se suma a la energía, el límite se obtiene definiendo la diferencia finita de Newton como ${\displaystyle \mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{i}=1}$

${\displaystyle \delta _{h}[\mathbf {s} ](i,j)={\frac {\mathbf {s} _{i}-\mathbf {s} _{j}}{h}}}$

en las posiciones reticulares vecinas Entonces en el límite , donde es el gradiente en la dirección. Por lo tanto, en el límite, ${\displaystyle i,j.}$ ${\displaystyle \delta _{h}[\mathbf {s} ]\to \nabla _{\mu }\mathbf {s} }$ ${\displaystyle h\to 0}$ ${\displaystyle \nabla _{\mu }}$ ${\displaystyle (i,j)\to \mu }$

${\displaystyle -\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\to {\tfrac {1}{2}}\nabla _{\mu }\mathbf {s} \cdot \nabla _{\mu }\mathbf {s} }$

que puede reconocerse como la energía cinética del campo en el modelo sigma . Todavía hay dos posibilidades para el espín : se toma de un conjunto discreto de espines (el modelo de Potts ) o se toma como un punto en la esfera ; es decir, es un vector de valor continuo de longitud unitaria. En el último caso, esto se conoce como el modelo sigma no lineal, ya que el grupo de rotación es un grupo de isometrías de y, obviamente, no es "plano", es decir , no es un campo lineal . ${\displaystyle \mathbf {s} }$ ${\displaystyle \mathbf {s} }$ ${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle \mathbf {s} }$ ${\displaystyle O(n)}$ ${\displaystyle O(n)}$ ${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle S^{n-1}}$

Referencias

1. Stanley, HE (1968). "Dependencia de las propiedades críticas sobre la dimensionalidad de los espines". Phys. Rev. Lett . 20 (12): 589–592. Código Bibliográfico :1968PhRvL..20..589S. doi :10.1103/PhysRevLett.20.589.
2. de Gennes, PG (1972). "Exponentes para el problema del volumen excluido derivados por el método de Wilson". Phys. Lett. A . 38 (5): 339–340. Bibcode :1972PhLA...38..339D. doi :10.1016/0375-9601(72)90149-1.
3. Gaspari, George; Rudnick, Joseph (1986). "Modelo n-vectorial en el límite n→0 y las estadísticas de sistemas poliméricos lineales: una teoría de Ginzburg–Landau". Phys. Rev. B . 33 (5): 3295–3305. Bibcode :1986PhRvB..33.3295G. doi :10.1103/PhysRevB.33.3295. PMID  9938709.
4. Jacobsen, Jesper Lykke; Ribault, Sylvain; Saleur, Hubert (3 de mayo de 2023). "Espacios de estados de los modelos $O(n)$ y Potts bidimensionales". SciPost Physics . 14 (5). arXiv : 2208.14298 . doi : 10.21468/scipostphys.14.5.092 . ISSN  2542-4653.