Fórmula de masa semiempírica

Fórmula para aproximar la masa nuclear basándose en el recuento de nucleones

En física nuclear , la fórmula de masa semiempírica ( SEMF ) (a veces también llamada fórmula de Weizsäcker , fórmula de Bethe-Weizsäcker o fórmula de masa de Bethe-Weizsäcker para distinguirla del proceso de Bethe-Weizsäcker ) se utiliza para aproximar la masa de un núcleo atómico a partir de su número de protones y neutrones . Como sugiere el nombre, se basa en parte en teoría y en parte en mediciones empíricas . La fórmula representa el modelo de gota de líquido propuesto por George Gamow , ^[1] que puede dar cuenta de la mayoría de los términos de la fórmula y proporciona estimaciones aproximadas de los valores de los coeficientes. Fue formulado por primera vez en 1935 por el físico alemán Carl Friedrich von Weizsäcker , ^[2] y aunque se han realizado mejoras en los coeficientes a lo largo de los años, la estructura de la fórmula sigue siendo la misma en la actualidad.

La fórmula proporciona una buena aproximación para las masas atómicas y, por tanto, para otros efectos. Sin embargo, no logra explicar la existencia de líneas de mayor energía de enlace en ciertos números de protones y neutrones. Estos números, conocidos como números mágicos , son la base del modelo de capa nuclear .

El modelo de gota de líquido

Ilustración de los términos de la fórmula de masa semiempírica en el modelo de gota de líquido del núcleo atómico.

El modelo de gota de líquido fue propuesto por primera vez por George Gamow y desarrollado posteriormente por Niels Bohr y John Archibald Wheeler . Trata al núcleo como una gota de fluido incompresible de muy alta densidad, mantenida unida por la fuerza nuclear (un efecto residual de la fuerza fuerte ), existe una similitud con la estructura de una gota de líquido esférica. Si bien es un modelo tosco, el modelo de gota de líquido tiene en cuenta la forma esférica de la mayoría de los núcleos y hace una predicción aproximada de la energía de enlace.

La fórmula de masa correspondiente se define únicamente en términos del número de protones y neutrones que contiene. La fórmula original de Weizsäcker define cinco términos:

• Energía de volumen , cuando un conjunto de nucleones del mismo tamaño se empaqueta en el volumen más pequeño, cada nucleón interior tiene un cierto número de otros nucleones en contacto con él. Entonces, esta energía nuclear es proporcional al volumen.
• La energía superficial corrige la suposición anterior de que cada nucleón interactúa con el mismo número de otros nucleones. Este término es negativo y proporcional al área superficial y, por lo tanto, equivale aproximadamente a la tensión superficial del líquido .
• Energía de Coulomb , la energía potencial de cada par de protones. Como se trata de una fuerza repelente, la energía de unión se reduce.
• Energía de asimetría (también llamada energía de Pauli ), que da cuenta del principio de exclusión de Pauli . Un número desigual de neutrones y protones implica llenar niveles de energía más altos para un tipo de partícula, mientras que deja vacantes niveles de energía más bajos para el otro tipo.
• Energía de emparejamiento , que explica la tendencia a que se produzcan pares de protones y pares de neutrones . Un número par de partículas es más estable que un número impar debido al acoplamiento de espín .

La formula

La energía de enlace por nucleón (en MeV ) se muestra como una función del número de neutrones N y el número atómico Z dado por la fórmula de masa semiempírica. Se incluye una línea discontinua para mostrar los nucleidos que se han descubierto mediante experimentos.

La diferencia entre las energías predichas y las de energías de enlace conocidas, expresada en kiloelectronvoltios. Los fenómenos presentes pueden explicarse mediante términos más sutiles, pero la fórmula de masa no puede explicar la presencia de líneas, claramente identificables por picos agudos en los contornos.

La masa de un núcleo atómico, para neutrones , protones y por tanto nucleones , está dada por ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle A=N+Z}$

${\displaystyle m=Zm_{\text{p}}+Nm_{\text{n}}-{\frac {E_{\text{B}}(N,Z)}{c^{2}}},}$

donde y son la masa en reposo de un protón y un neutrón respectivamente, y es la energía de enlace del núcleo. La fórmula de masa semiempírica establece que la energía de enlace es ^[3] ${\displaystyle m_{\text{p}}}$ ${\displaystyle m_{\text{n}}}$ ${\displaystyle E_{\text{B}}}$

${\displaystyle E_{\text{B}}=a_{\text{V}}A-a_{\text{S}}A^{2/3}-a_{\text{C}}{\frac {Z(Z-1)}{A^{1/3}}}-a_{\text{A}}{\frac {(N-Z)^{2}}{A}}+\delta (N,Z).}$

El término es cero o , dependiendo de la paridad de y , dónde para algún exponente . Tenga en cuenta que como , el numerador del término se puede reescribir como . ${\displaystyle \delta (N,Z)}$ ${\displaystyle \pm \delta _{0}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \delta _{0}={a_{\text{P}}}{A^{k_{\text{P}}}}}$ ${\displaystyle k_{\text{P}}}$ ${\displaystyle A=N+Z}$ ${\displaystyle a_{\text{A}}}$ ${\displaystyle (A-2Z)^{2}}$

Cada uno de los términos de esta fórmula tiene una base teórica. Los coeficientes , , , y se determinan empíricamente; Si bien pueden derivarse de experimentos, normalmente se derivan de un ajuste de mínimos cuadrados a datos contemporáneos. Si bien normalmente se expresa mediante sus cinco términos básicos, existen términos adicionales para explicar fenómenos adicionales. De manera similar a cómo cambiar el ajuste de un polinomio cambiará sus coeficientes, la interacción entre estos coeficientes a medida que se introducen nuevos fenómenos es compleja; algunos términos se influyen entre sí, mientras que el término es en gran medida independiente. ^[4] ${\displaystyle a_{\text{V}}}$ ${\displaystyle a_{\text{S}}}$ ${\displaystyle a_{\text{C}}}$ ${\displaystyle a_{\text{A}}}$ ${\displaystyle a_{\text{P}}}$ ${\displaystyle a_{\text{P}}}$

término de volumen

El término se conoce como término de volumen . El volumen del núcleo es proporcional a A , por lo que este término es proporcional al volumen, de ahí el nombre. ${\displaystyle a_{\text{V}}A}$

La base de este término es la fuerza nuclear fuerte . La fuerza fuerte afecta tanto a los protones como a los neutrones y, como era de esperar, este término es independiente de Z. Debido a que el número de pares que se pueden tomar de las partículas A es , se podría esperar un término proporcional a . Sin embargo, la fuerza fuerte tiene un alcance muy limitado y un nucleón determinado sólo puede interactuar fuertemente con sus vecinos más cercanos y con sus vecinos más cercanos. Por lo tanto, el número de pares de partículas que realmente interactúan es aproximadamente proporcional a A , lo que da forma al término de volumen. ${\displaystyle A(A-1)/2}$ ${\displaystyle A^{2}}$

El coeficiente es menor que la energía de enlace que poseen los nucleones con respecto a sus vecinos ( ), que es del orden de 40  MeV . Esto se debe a que cuanto mayor es el número de nucleones en el núcleo, mayor es su energía cinética, debido al principio de exclusión de Pauli . Si se trata el núcleo como una bola de nucleones de Fermi , con igual número de protones y neutrones, entonces la energía cinética total es , con la energía de Fermi , que se estima en 38  MeV . Por tanto, el valor esperado de en este modelo no está lejos del valor medido. ${\displaystyle a_{\text{V}}}$ ${\displaystyle E_{\text{b}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}A\varepsilon _{\text{F}}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{\text{F}}}$ ${\displaystyle a_{\text{V}}}$ ${\displaystyle E_{\text{b}}-{\tfrac {3}{5}}\varepsilon _{\text{F}}\sim 17~\mathrm {MeV} ,}$

término superficial

El término se conoce como término de superficie . Este término, también basado en la fuerza fuerte, es una corrección del término de volumen. ${\displaystyle a_{\text{S}}A^{2/3}}$

El término de volumen sugiere que cada nucleón interactúa con un número constante de nucleones, independiente de A. Si bien esto es casi cierto para los nucleones profundos dentro del núcleo, los nucleones en la superficie del núcleo tienen menos vecinos más cercanos, lo que justifica esta corrección. Esto también puede considerarse como un término de tensión superficial y, de hecho, un mecanismo similar crea tensión superficial en los líquidos.

Si el volumen del núcleo es proporcional a A , entonces el radio debe ser proporcional a y el área de superficie a . Esto explica por qué el término de superficie es proporcional a . También se puede deducir que debería tener un orden de magnitud similar a . ${\displaystyle A^{1/3}}$ ${\displaystyle A^{2/3}}$ ${\displaystyle A^{2/3}}$ ${\displaystyle a_{\text{S}}}$ ${\displaystyle a_{\text{V}}}$

término de culombio

El término o se conoce como término de Coulomb o electrostático . ${\displaystyle a_{\text{C}}{\frac {Z(Z-1)}{A^{1/3}}}}$ ${\displaystyle a_{\text{C}}{\frac {Z^{2}}{A^{1/3}}}}$

La base de este término es la repulsión electrostática entre protones. En una aproximación muy aproximada, el núcleo puede considerarse una esfera de densidad de carga uniforme . Se puede demostrar que la energía potencial de tal distribución de carga es

${\displaystyle E={\frac {3}{5}}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q^{2}}{R}},}$

donde Q es la carga total y R es el radio de la esfera. El valor de se puede calcular aproximadamente usando esta ecuación para calcular la energía potencial, usando un radio nuclear empírico de y Q = Ze . Sin embargo, debido a que la repulsión electrostática sólo existirá para más de un protón, se convierte en : ${\displaystyle a_{\text{C}}}$ ${\displaystyle R\approx r_{0}A^{\frac {1}{3}}}$ ${\displaystyle Z^{2}}$ ${\displaystyle Z(Z-1)}$

${\displaystyle E={\frac {3}{5}}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q^{2}}{R}}={\frac {3}{5}}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {(Ze)^{2}}{r_{0}A^{1/3}}}={\frac {3e^{2}Z^{2}}{20\pi \varepsilon _{0}r_{0}A^{1/3}}}\approx {\frac {3e^{2}Z(Z-1)}{20\pi \varepsilon _{0}r_{0}A^{1/3}}}=a_{\text{C}}{\frac {Z(Z-1)}{A^{1/3}}},}$

donde ahora la constante electrostática de Coulomb es ${\displaystyle a_{\text{C}}}$

${\displaystyle a_{\text{C}}={\frac {3e^{2}}{20\pi \varepsilon _{0}r_{0}}}.}$

Usando la constante de estructura fina , podemos reescribir el valor de como ${\displaystyle a_{\text{C}}}$

${\displaystyle a_{\text{C}}={\frac {3}{5}}{\frac {\hbar c\alpha }{r_{0}}}={\frac {3}{5}}{\frac {R_{\text{P}}}{r_{0}}}\alpha m_{\text{p}}c^{2},}$

donde es la constante de estructura fina y es el radio de un núcleo , dando aproximadamente 1,25  femtómetros . es la longitud de onda de Compton reducida por protones y es la masa del protón. Esto da un valor teórico aproximado de 0,691  MeV , no muy lejos del valor medido. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle r_{0}A^{1/3}}$ ${\displaystyle r_{0}}$ ${\displaystyle R_{\text{P}}}$ ${\displaystyle m_{\text{p}}}$ ${\displaystyle a_{\text{C}}}$

Término de asimetría

Ilustración de la base del término asimétrico

El término se conoce como término de asimetría (o término de Pauli ). ${\displaystyle a_{\text{A}}{\frac {(N-Z)^{2}}{A}}}$

La justificación teórica de este término es más compleja. El principio de exclusión de Pauli establece que dos fermiones idénticos no pueden ocupar exactamente el mismo estado cuántico en un átomo. En un nivel de energía dado, sólo hay un número finito de estados cuánticos disponibles para las partículas. Lo que esto significa en el núcleo es que a medida que se "agregan" más partículas, estas partículas deben ocupar niveles de energía más altos, aumentando la energía total del núcleo (y disminuyendo la energía de enlace). Tenga en cuenta que este efecto no se basa en ninguna de las fuerzas fundamentales ( gravitacional , electromagnética, etc.), sólo en el principio de exclusión de Pauli.

Los protones y neutrones, al ser tipos distintos de partículas, ocupan diferentes estados cuánticos. Se pueden pensar en dos "grupos" diferentes de estados: uno para protones y otro para neutrones. Ahora, por ejemplo, si hay significativamente más neutrones que protones en un núcleo, algunos de los neutrones tendrán mayor energía que los estados disponibles en el conjunto de protones. Si pudiéramos mover algunas partículas del grupo de neutrones al grupo de protones, en otras palabras, convertir algunos neutrones en protones, disminuiríamos significativamente la energía. El desequilibrio entre el número de protones y neutrones hace que la energía sea mayor de la necesaria, para un número determinado de nucleones . Ésta es la base del término de asimetría.

La forma real del término de asimetría puede derivarse nuevamente modelando el núcleo como una bola de Fermi de protones y neutrones. Su energía cinética total es

${\displaystyle E_{\text{k}}={\frac {3}{5}}(Z\varepsilon _{\text{F,p}}+N\varepsilon _{\text{F,n}}),}$

donde y son las energías de Fermi de los protones y neutrones. Dado que estos son proporcionales a y respectivamente, se obtiene ${\displaystyle \varepsilon _{\text{F,p}}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{\text{F,n}}}$ ${\displaystyle Z^{2/3}}$ ${\displaystyle N^{2/3}}$

${\displaystyle E_{\text{k}}=C(Z^{5/3}+N^{5/3})}$para alguna constante C .

Los términos principales en la expansión de la diferencia son entonces ${\displaystyle N-Z}$

${\displaystyle E_{\text{k}}={\frac {C}{2^{2/3}}}\left(A^{5/3}+{\frac {5}{9}}{\frac {(N-Z)^{2}}{A^{1/3}}}\right)+O{\big (}(N-Z)^{4}{\big )}.}$

En el orden cero de la expansión, la energía cinética es simplemente la energía total de Fermi multiplicada por . Así obtenemos ${\displaystyle \varepsilon _{\text{F}}\equiv \varepsilon _{\text{F,p}}=\varepsilon _{\text{F,n}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}A}$

${\displaystyle E_{\text{k}}={\frac {3}{5}}\varepsilon _{\text{F}}A+{\frac {1}{3}}\varepsilon _{\text{F}}{\frac {(N-Z)^{2}}{A}}+O{\big (}(N-Z)^{4}{\big )}.}$

El primer término contribuye al término de volumen en la fórmula de masa semiempírica, y el segundo término es menos el término de asimetría (recuerde, la energía cinética contribuye a la energía de enlace total con un signo negativo ).

${\displaystyle \varepsilon _{\text{F}}}$es 38 MeV , por lo que al calcular a partir de la ecuación anterior, obtenemos solo la mitad del valor medido. La discrepancia se explica porque nuestro modelo no es exacto: de hecho, los nucleones interactúan entre sí y no están distribuidos uniformemente por el núcleo. Por ejemplo, en el modelo de capa , un protón y un neutrón con funciones de onda superpuestas tendrán una interacción más fuerte entre ellos y una energía de enlace más fuerte. Esto hace que sea energéticamente favorable (es decir, que tenga menor energía) que los protones y los neutrones tengan los mismos números cuánticos (distintos del isospin ) y, por lo tanto, aumentan el costo energético de la asimetría entre ellos. ${\displaystyle a_{\text{A}}}$

También se puede entender intuitivamente el término asimetría de la siguiente manera. Debe depender de la diferencia absoluta y la forma es simple y diferenciable , lo cual es importante para ciertas aplicaciones de la fórmula. Además, pequeñas diferencias entre Z y N no tienen un coste energético elevado. La A en el denominador refleja el hecho de que una diferencia dada es menos significativa para valores mayores de A. ${\displaystyle |N-Z|}$ ${\displaystyle (N-Z)^{2}}$ ${\displaystyle |N-Z|}$

Término de emparejamiento

Magnitud del término de emparejamiento en la energía de enlace total para núcleos pares e impares, en función del número de masa. Se muestran dos ajustes (línea azul y roja). El término de emparejamiento (positivo para núcleos pares-pares y negativo para núcleos impares-impares) se derivó de los datos de energía de enlace en: G. Audi et al., "The AME2012 atomic mass evaluation", en Chinese Physics C, 36 (2012/ 12) págs. 1287-1602.

El término se conoce como término de emparejamiento (posiblemente también conocido como interacción por pares). Este término captura el efecto del acoplamiento de espín . Está dado por ^[5] ${\displaystyle \delta (A,Z)}$

${\displaystyle \delta (A,Z)={\begin{cases}+\delta _{0}&{\text{for even }}Z,N~({\text{even }}A),\\0&{\text{for odd }}A,\\-\delta _{0}&{\text{for odd }}Z,N~({\text{even }}A),\end{cases}}}$

donde se encuentra empíricamente que tiene un valor de aproximadamente 1000 keV, que disminuye lentamente con el número de masa  A. La energía de enlace se puede aumentar convirtiendo uno de los protones o neutrones impares en un neutrón o protón, de modo que el nucleón impar pueda formar un par con su vecino impar formando [se necesita ^{aclaración ] e} incluso Z , N. El par tiene funciones de onda superpuestas y se encuentran muy juntos con un vínculo más fuerte que cualquier otra configuración. ^[5] Cuando el término de emparejamiento se sustituye en la ecuación de energía de enlace, para Z , N par , el término de emparejamiento agrega energía de enlace, y para Z , N impar, el término de emparejamiento elimina energía de enlace. ${\displaystyle \delta _{0}}$

La dependencia del número de masa se parametriza comúnmente como

${\displaystyle \delta _{0}=a_{\text{P}}A^{k_{\text{P}}}.}$

El valor del exponente k _P se determina a partir de datos experimentales de energía de enlace. En el pasado, a menudo se suponía que su valor era −3/4, pero los datos experimentales modernos indican que un valor de −1/2 está más cerca de la marca:

${\displaystyle \delta _{0}=a_{\text{P}}A^{-1/2}}$o ${\displaystyle \delta _{0}=a_{\text{P}}A^{-3/4}.}$

Debido al principio de exclusión de Pauli, el núcleo tendría una energía menor si el número de protones con espín ascendente fuera igual al número de protones con espín descendente. Esto también es válido para los neutrones. Sólo si tanto Z como N son pares, tanto los protones como los neutrones pueden tener el mismo número de partículas que giran hacia arriba y hacia abajo. Este es un efecto similar al término de asimetría.

El factor no se explica fácilmente desde el punto de vista teórico. El cálculo de Fermi-ball que hemos utilizado anteriormente, basado en el modelo de gota de líquido pero ignorando las interacciones, dará una dependencia, como en el término de asimetría. Esto significa que el efecto real para los núcleos grandes será mayor de lo esperado por ese modelo. Esto debería explicarse por las interacciones entre nucleones. Por ejemplo, en el modelo de capa , dos protones con los mismos números cuánticos (distintos del espín ) tendrán funciones de onda completamente superpuestas y, por lo tanto, tendrán una interacción más fuerte entre ellos y una energía de enlace más fuerte. Esto hace que sea energéticamente favorable (es decir, que tenga menor energía) que los protones formen pares de espín opuesto. Lo mismo ocurre con los neutrones. ${\displaystyle A^{k_{\text{P}}}}$ ${\displaystyle A^{-1}}$

Calculando los coeficientes

Los coeficientes se calculan ajustando masas de núcleos medidas experimentalmente. Sus valores pueden variar según cómo se ajusten a los datos y qué unidad se utilice para expresar la masa. A continuación se muestran varios ejemplos.

La fórmula no considera la estructura interna del núcleo.

Por lo tanto, la fórmula de masa semiempírica proporciona un buen ajuste para núcleos más pesados ​​y un mal ajuste para núcleos muy ligeros, especialmente 4 He . Para núcleos ligeros, suele ser mejor utilizar un modelo que tenga en cuenta esta estructura de capa.

Ejemplos de consecuencias de la fórmula.

Maximizando E _b ( A , Z ) con respecto a Z , se encontraría la mejor relación neutrón-protón N / Z para un peso atómico dado A . ^[8] Obtenemos

${\displaystyle N/Z\approx 1+{\frac {a_{\text{C}}}{2a_{\text{A}}}}A^{2/3}.}$

Esto es aproximadamente 1 para los núcleos ligeros, pero para los núcleos pesados ​​la proporción crece en concordancia con el experimento .

Al sustituir el valor anterior de Z nuevamente en E _b , se obtiene la energía de enlace en función del peso atómico, E _b ( A ) . Maximizar E _b ( A )/ A con respecto a A da el núcleo que está más fuertemente unido, es decir, más estable. El valor que obtenemos es A = 63 ( cobre ), cercano a los valores medidos de A = 62 ( níquel ) y A = 58 ( hierro ).

El modelo de gota de líquido también permite calcular las barreras de fisión de los núcleos, que determinan la estabilidad de un núcleo frente a la fisión espontánea . Originalmente se especuló que los elementos más allá del número atómico 104 no podrían existir, ya que sufrirían fisión con vidas medias muy cortas, ^[10] aunque esta fórmula no consideraba los efectos estabilizadores de las capas nucleares cerradas . Una fórmula modificada que considera los efectos de las capas reproduce los datos conocidos y la isla de estabilidad prevista (en la que se espera que aumenten las barreras de fisión y las vidas medias, alcanzando un máximo en el cierre de las capas), aunque también sugiere un posible límite a la existencia de núcleos superpesados ​​más allá. Z  =  120 y N  = 184. ^[10]

Referencias

1. Gamow, George (1930). "Curva de defectos de masa y constitución nuclear". Actas de la Royal Society A. 126 (803): 632–644. Código Bib : 1930RSPSA.126..632G. doi : 10.1098/rspa.1930.0032 . JSTOR  95297.
2. von Weizsäcker, CF (1935). "Zur Theorie der Kernmassen". Zeitschrift für Physik (en alemán). 96 (7–8): 431–458. Código bibliográfico : 1935ZPhy...96..431W. doi :10.1007/BF01337700. S2CID  118231854.
3. Universidad Estatal de Oregón. "Masas nucleares y energía de enlace Lección 3" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 30 de septiembre de 2015 . Consultado el 30 de septiembre de 2015 .
4. Kirson, Michael W. (1 de enero de 2008). "Influencia mutua de términos en una fórmula de masas semiempírica". Física Nuclear A. 798 (1): 29–60. Código Bib : 2008NuPhA.798...29K. doi :10.1016/j.nuclphysa.2007.10.011. ISSN  0375-9474.
5. Martín, BR; G. Shaw (2019). Física nuclear y de partículas: una introducción (Tercera ed.). Hoboken, Nueva Jersey. pag. 62.ISBN _ 978-1-119-34462-9. OCLC  1078954632.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
6. Eisberg, Robert; Resnick, Robert (1985). Física cuántica de átomos, moléculas, sólidos, núcleos y partículas (Segunda ed.). John Wiley e hijos. pag. 528.ISBN _ 0-471-87373-X.
7. Alonso, Marcelo; Finn, Edward J. (1969). Física Universitaria Fundamental. vol. III. Física Cuántica y Estadística . Compañía editorial Addison-Wesley . pag. 297.
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Fuentes

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• Liverhant, SE (1960). Introducción elemental a la física de los reactores nucleares . John Wiley e hijos . págs. 58–62. LCCN  60011725.
• Choppin, G.; Liljenzin, J.-O.; Rydberg, J. (2002). "Masa nuclear y estabilidad" (PDF) . Radioquímica y Química Nuclear (3ª ed.). Butterworth-Heinemann . págs. 41–57. ISBN 978-0-7506-7463-8.

enlaces externos

• Modelo de gota de líquido nuclear en la referencia en línea de hiperfísica de la Universidad Estatal de Georgia .
• Modelo de gota de líquido con ajuste de parámetros de las primeras observaciones de estados excitados en los núcleos deficientes en neutrones ^160,161 W y ¹⁵⁹ Ta , Alex Keenan, tesis doctoral, Universidad de Liverpool , 1999 (versión HTML).