Modelo de Ramsey-Cass-Koopmans

Modelo económico neoclásico

El modelo de Ramsey-Cass-Koopmans , o modelo de crecimiento de Ramsey , es un modelo neoclásico de crecimiento económico basado principalmente en el trabajo de Frank P. Ramsey , ^[1] con importantes extensiones de David Cass y Tjalling Koopmans . ^{[2] [3]} El modelo de Ramsey-Cass-Koopmans difiere del modelo de Solow-Swan en que la elección de consumo está explícitamente microfundada en un momento determinado y, por lo tanto, endogeneiza la tasa de ahorro . Como resultado, a diferencia del modelo de Solow-Swan, la tasa de ahorro puede no ser constante a lo largo de la transición al estado estacionario de largo plazo . Otra implicación del modelo es que el resultado es óptimo de Pareto o eficiente de Pareto . ^{[nota 1]}

Originalmente, Ramsey planteó el modelo como el problema de un planificador social de maximizar los niveles de consumo a lo largo de generaciones sucesivas. ^[4] Sólo más tarde Cass y Koopmans adoptaron un modelo como descripción de una economía dinámica descentralizada con un agente representativo . El modelo de Ramsey-Cass-Koopmans apunta únicamente a explicar el crecimiento económico de largo plazo y no las fluctuaciones del ciclo económico, y no incluye ninguna fuente de perturbaciones como las imperfecciones del mercado, la heterogeneidad entre los hogares o los shocks exógenos . Por lo tanto, investigadores posteriores ampliaron el modelo, teniendo en cuenta shocks de compras gubernamentales, variaciones en el empleo y otras fuentes de perturbaciones, lo que se conoce como teoría del ciclo económico real .

Descripción matemática

Configuración del modelo

En la configuración habitual, el tiempo comienza continuamente, para simplificar, y continúa para siempre. Por supuesto, los únicos factores productivos son el capital y el trabajo , ambos deben ser no negativos. Se supone que la fuerza laboral, que constituye toda la población, crece a una tasa constante , es decir , lo que implica que con un nivel inicial de . Finalmente, denotamos producción agregada y consumo agregado. ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\dot {L}}={\tfrac {\mathrm {d} L}{\mathrm {d} t}}=nL}$ ${\displaystyle L=L_{0}e^{nt}}$ ${\displaystyle L_{0}>0}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C}$

Las variables que el modelo de Ramsey-Cass-Koopmans pretende en última instancia describir son el consumo per cápita (o más exactamente, por mano de obra ), así como la llamada intensidad de capital . Lo hace conectando primero la acumulación de capital , escrita en la notación de Newton , con el consumo , describiendo un equilibrio entre consumo e inversión. Más específicamente, dado que el stock de capital existente decae según la tasa de depreciación (que se supone constante), requiere inversión de la producción del período actual . De este modo, ${\displaystyle c={\frac {C}{L}}}$ ${\displaystyle k={\frac {K}{L}}}$ ${\displaystyle {\dot {K}}={\tfrac {\mathrm {d} K}{\mathrm {d} t}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle Y}$

$${\displaystyle {\dot {K}}=Y-\delta K-cL}$$

La relación entre los factores productivos y la producción agregada se describe mediante la función de producción agregada . Una elección común es la función de producción Cobb-Douglas , pero generalmente se permite cualquier función de producción que satisfaga las condiciones de Inada . Lo importante, sin embargo, es que se requiere que sea homogéneo de grado 1 , lo que económicamente implica rendimientos constantes a escala . Con este supuesto, podemos reexpresar la producción agregada en términos per cápita ${\displaystyle Y=F(K,L)}$ ${\displaystyle F(K,L)=AK^{1-\alpha }L^{\alpha }}$ ${\displaystyle F}$

$${\displaystyle F(K,L)=L\cdot F\left({\frac {K}{L}},1\right)=L\cdot f(k)}$$

${\displaystyle A=1,\alpha =0.5}$ ${\displaystyle f(k)=k^{0.5}}$

Para obtener la primera ecuación clave del modelo de Ramsey-Cass-Koopmans, la ecuación dinámica del stock de capital debe expresarse en términos per cápita . Observando la regla del cociente para , tenemos ${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\tfrac {K}{L}}\right)}$

${\displaystyle {\dot {k}}=f(k)-(n+\delta )k-c}$

una ecuación diferencial no lineal similar al modelo de Solow-Swan .

Maximizar el bienestar

Si ignoramos el problema de cómo se distribuye el consumo, entonces la tasa de utilidad es función del consumo agregado. Eso es, . Para evitar el problema del infinito, descontamos exponencialmente la utilidad futura a una tasa de descuento . Un subidón refleja una gran impaciencia . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U=U(C,t)}$ ${\displaystyle \rho \in (0,\infty )}$ ${\displaystyle \rho }$

El problema del planificador social es maximizar la función de bienestar social . ${\displaystyle U_{0}=\int _{0}^{\infty }e^{-\rho t}U(C,t)\,\mathrm {d} t}$

Supongamos que la economía está poblada por individuos inmortales idénticos con funciones de utilidad invariables (un agente representativo ), de modo que la utilidad total es: ${\displaystyle u(c)}$

$${\displaystyle U(C,t)=Lu(c)=L_{0}e^{nt}u(c)}$$

punto de felicidad^{[nota 2]}la utilidad marginal ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \lim _{c\to 0}u_{c}=\infty }$ ${\displaystyle u_{c}}$ ${\displaystyle {\tfrac {\partial u}{\partial c}}}$

Así tenemos el problema del planificador social:

${\displaystyle \max _{c}\int _{0}^{\infty }e^{-(\rho -n)t}u(c)\,\mathrm {d} t}$

${\displaystyle {\text{subject to}}\quad c=f(k)-(n+\delta )k-{\dot {k}}}$

donde se da un capital social inicial distinto de cero . ${\displaystyle k(0)=k_{0}>0}$

Para asegurarnos de que la integral esté bien definida, imponemos . ${\displaystyle \rho >n}$

Solución

La solución, que normalmente se encuentra utilizando una función hamiltoniana , ^{[nota 3] [nota 4]} es una ecuación diferencial que describe la evolución óptima del consumo,

${\displaystyle {\dot {c}}=\sigma (c)\left[f_{k}(k)-\delta -\rho \right]\cdot c}$

La regla Keynes-Ramsey . ^[5]

El término , donde es el producto marginal del capital , refleja el rendimiento marginal de la inversión neta , teniendo en cuenta la depreciación del capital y el descuento temporal. ${\displaystyle f_{k}(k)-\delta -\rho }$ ${\displaystyle f_{k}=\partial _{k}f}$

Aquí está la elasticidad de sustitución intertemporal , definida por ${\displaystyle \sigma (c)}$

$${\displaystyle \sigma (c)=-{\frac {u_{c}(c)}{c\cdot u_{cc}(c)}}=-{\frac {d\ln c}{d\ln(u'(c))}}}$$

aversión relativa al riesgocurvaturasuavizar el consumo

A menudo se supone que es estrictamente monótonamente creciente y cóncavo, por lo tanto . En particular, si la utilidad es logarítmica, entonces es constante: ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \sigma >0}$

$${\displaystyle u(c)=u_{0}\ln c\implies \sigma (c)=1}$$

$${\displaystyle \underbrace {{\frac {d}{dt}}\ln c} _{\text{consumption delay rate}}=\underbrace {\sigma (c)} _{{\text{EIS at current consumption level}}\quad }\underbrace {[f_{k}(k)-\delta -\rho ]} _{\text{marginal return on net investment}}}$$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\ln c}$

Análisis gráfico en espacio de fases.

Diagrama de fases del modelo de Ramsey, para el caso de , y . ${\displaystyle f(k)=k^{0.5}}$ ${\displaystyle n,\delta ,\rho ,\sigma =1,1,1.1,1}$

Gráfico del espacio de fases (o diagrama de fases) del modelo de Ramsey. La línea azul representa la trayectoria de ajuste dinámico (o silla) de la economía en la que se satisfacen todas las restricciones presentes en el modelo. Es un camino estable del sistema dinámico. Las líneas rojas representan caminos dinámicos que están excluidos por la condición de transversalidad.

Las dos ecuaciones diferenciales acopladas para y forman el sistema dinámico de Ramsey-Cass-Koopmans . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {k}}=f(k)-(n+\delta )k-c\\{\dot {c}}=\sigma (c)\left[f_{k}(k)-\delta -\rho \right]\cdot c\end{cases}}}$

El estado estacionario del sistema se encuentra igualando e a cero. Hay tres soluciones: ${\displaystyle (k^{\ast },c^{\ast })}$ ${\displaystyle {\dot {k}}}$ ${\displaystyle {\dot {c}}}$

${\displaystyle f_{k}\left(k^{\ast }\right)=\delta +\rho \quad {\text{and}}\quad c^{\ast }=f\left(k^{\ast }\right)-(n+\delta )k^{\ast }}$

${\displaystyle (0,0)}$

${\displaystyle f(k^{*})=(n+\delta )k^{*}{\text{ with }}k^{*}>0,c^{*}=0}$

La primera es la única solución en el interior del cuadrante superior. Es un punto de silla (como se muestra a continuación). El segundo es un punto repelente. El tercero es un equilibrio estable degenerado.

De forma predeterminada, se refiere a la primera solución, aunque es importante realizar un seguimiento de las otras dos soluciones.

Cualquier trayectoria óptima debe seguir el sistema dinámico. Sin embargo, dado que la variable es una variable de control, para cada intensidad de capital , para encontrar su trayectoria óptima correspondiente, todavía necesitamos encontrar su tasa de consumo inicial . Resulta que la trayectoria óptima es la única que converge al punto de equilibrio interior. Cualquier otra trayectoria converge hacia el equilibrio de ahorro total con , o diverge hacia , lo que significa que la economía gasta todo su capital en un tiempo finito. Ambos logran una utilidad global menor que la trayectoria hacia el punto de equilibrio interior. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle c(0)}$ ${\displaystyle k^{*}>0,c^{*}=0}$ ${\displaystyle k\to 0,c\to \infty }$

Una afirmación cualitativa sobre la estabilidad de la solución requiere una linealización mediante un polinomio de Taylor de primer orden. ${\displaystyle (k^{\ast },c^{\ast })}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dot {k}}\\{\dot {c}}\end{bmatrix}}\approx \mathbf {J} (k^{\ast },c^{\ast }){\begin{bmatrix}(k-k^{\ast })\\(c-c^{\ast })\end{bmatrix}}}$

¿Dónde está la matriz jacobiana evaluada en estado estacionario, ^{[nota 5]} dada por ${\displaystyle \mathbf {J} (k^{\ast },c^{\ast })}$

${\displaystyle \mathbf {J} \left(k^{\ast },c^{\ast }\right)={\begin{bmatrix}\rho -n&-1\\{\frac {1}{\sigma }}f_{kk}(k)\cdot c^{\ast }&0\end{bmatrix}}}$

que tiene determinante desde , es positivo por supuesto y desde es cóncavo (condición de Inada). Dado que el determinante es igual al producto de los valores propios , los valores propios deben ser reales y de signo opuesto. ^[6] ${\displaystyle \left|\mathbf {J} \left(k^{\ast },c^{\ast }\right)\right|={\frac {1}{\sigma }}f_{kk}(k)\cdot c^{\ast }<0}$ ${\displaystyle c^{*}>0}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle f_{kk}<0}$ ${\displaystyle f}$

Por lo tanto, según el teorema de la variedad estable , el equilibrio es un punto de silla y existe un brazo estable único, o “camino de silla de montar”, que converge en el equilibrio, indicado por la curva azul en el diagrama de fases.

El sistema se denomina “ruta estable en silla de montar” ya que todas las trayectorias inestables quedan descartadas por la condición de “no esquema Ponzi ”: ^[7]

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }k\cdot e^{-\int _{0}^{t}\left(f_{k}-n-\delta \right)\mathrm {d} s}\geq 0}$

lo que implica que el valor presente del capital social no puede ser negativo. ^{[nota 6]}

Historia

Spear y Young reexaminan la historia del crecimiento óptimo durante las décadas de 1950 y 1960, ^[8] centrándose en parte en la veracidad del supuesto desarrollo simultáneo e independiente del "Crecimiento óptimo en un modelo agregado de acumulación de capital" de Cass (publicado en 1965 en Review of Economic Studies ), y "Sobre el concepto de crecimiento económico óptimo" de Tjalling Koopman (publicado en Study Week on the Econometric Approach to Development Planning, 1965, Roma: Academia Pontificia de Ciencias).

A lo largo de sus vidas, ni Cass ni Koopmans sugirieron jamás que los resultados que caracterizaban el crecimiento óptimo en el modelo de crecimiento de un solo sector y en tiempo continuo fueran otra cosa que "simultáneos e independientes". El hecho de que la cuestión de la prioridad alguna vez se convirtiera en un punto de discusión se debió únicamente al hecho de que en la versión publicada del trabajo de Koopmans citó el capítulo de la tesis de Cass que más tarde se convirtió en el artículo de RES . En su artículo, Koopmans afirma en una nota a pie de página que Cass obtuvo de forma independiente condiciones similares a las que Koopmans encuentra, y que Cass también considera el caso límite en el que la tasa de descuento llega a cero en su artículo. Por su parte, Cass señala que "después de completar la versión original de este artículo, nos llamó la atención un análisis muy similar realizado por Koopmans. Nos basamos en sus resultados para discutir el caso límite, donde la tasa de descuento social efectiva llega a cero". . En la entrevista que Cass dio a Macroeconomic Dynamics , le da crédito a Koopmans por haberle señalado el trabajo anterior de Frank Ramsey, afirmando que le avergonzaba no haberlo conocido, pero no dice nada para disipar la afirmación básica de que su trabajo y el de Koopmans estaban en hecho independiente.

Spear y Young cuestionan esta historia, basándose en una versión del documento de trabajo de Koopmans que anteriormente se había pasado por alto, ^[9] que fue la base de la presentación de Koopmans, frecuentemente citada, en una conferencia celebrada por la Academia Pontificia de Ciencias en octubre de 1963. ^{[10 ]} En este documento de debate de Cowles, hay un error. Koopmans afirma en su resultado principal que las ecuaciones de Euler son necesarias y suficientes para caracterizar las trayectorias óptimas en el modelo porque cualquier solución a las ecuaciones de Euler que no converja al estado estacionario óptimo alcanzaría un límite de consumo cero o de capital cero en tiempo finito. Este error aparentemente fue presentado en la conferencia del Vaticano, aunque en el momento en que Koopmans lo presentó, ningún participante comentó sobre el problema. Esto se puede inferir porque la discusión después de cada presentación de un artículo en la conferencia del Vaticano se conserva palabra por palabra en el volumen de la conferencia.

En el volumen de discusión del Vaticano posterior a la presentación de un artículo de Edmond Malinvaud , la cuestión surge debido a la inclusión explícita de Malinvaud de la llamada "condición de transversalidad" (que Malinvaud llama Condición I) en su artículo. Al final de la presentación, Koopmans pregunta a Malinvaud si no es cierto que la Condición I simplemente garantiza que las soluciones de las ecuaciones de Euler que no convergen al estado estacionario óptimo alcanzan una frontera en un tiempo finito. Malinvaud responde que este no es el caso y sugiere que Koopmans mire el ejemplo con funciones de utilidad logarítmicas y funciones de producción Cobb-Douglas.

En este punto, Koopmans obviamente reconoce que tiene un problema, pero, basándose en un apéndice confuso de una versión posterior del documento elaborado después de la conferencia del Vaticano, parece incapaz de decidir cómo abordar la cuestión planteada por la Condición I de Malinvaud.

De la entrevista de Dinámica Macroeconómica con Cass, queda claro que Koopmans se reunió con el asesor de tesis de Cass, Hirofumi Uzawa , en las reuniones de invierno de la Sociedad Econométrica en enero de 1964, donde Uzawa le informó que su alumno [Cass] ya había resuelto este problema. . Uzawa debe haberle proporcionado a Koopmans la copia del capítulo de tesis de Cass, que aparentemente envió junto con el Informe Técnico del IMSSS que Koopmans citó en la versión publicada de su artículo. La palabra "disfraz" es apropiada aquí, porque el número TR que figura en la cita de Koopmans habría situado la fecha de publicación del informe a principios de la década de 1950, lo que claramente no era así.

En la versión publicada del artículo de Koopmans, impone una nueva Condición Alfa además de las ecuaciones de Euler, afirmando que las únicas trayectorias admisibles entre las que satisfacen las ecuaciones de Euler es la que converge al equilibrio óptimo en estado estacionario del modelo. Este resultado se deriva en el artículo de Cass a través de la imposición de una condición de transversalidad que Cass dedujo de secciones relevantes de un libro de Lev Pontryagin . ^[11] Spear y Young conjeturan que Koopmans tomó esta ruta porque no quería que pareciera que estaba "tomando prestada" la tecnología de transversalidad de Malinvaud o Cass.

Basándose en este y otros exámenes de las contribuciones de Malinvaud en la década de 1950 (específicamente su intuición de la importancia de la condición de transversalidad), Spear y Young sugieren que el modelo de crecimiento neoclásico podría llamarse mejor modelo de Ramsey-Malinvaud-Cass que el modelo establecido de Ramsey. Honorífico de Cass-Koopmans.

Notas

1. Este resultado se debe no sólo a la endogeneidad de la tasa de ahorro sino también a la naturaleza infinita del horizonte de planificación de los agentes del modelo; no se cumple en otros modelos con tasas de ahorro endógenas pero con dinámicas intergeneracionales más complejas, por ejemplo, en los modelos de generaciones superpuestas de Samuelson o Diamond .
2. El supuesto que, de hecho, es crucial para el análisis. Si , entonces para valores bajos el valor óptimo de es 0 y, por lo tanto, si es suficientemente bajo, existe un intervalo de tiempo inicial en el que incluso si , consulte Nævdal, E. (2019). "Nuevos conocimientos del modelo de crecimiento canónico Ramsey-Cass-Koopmans". Dinámica Macroeconómica . 25 (6): 1569-1577. doi :10.1017/S1365100519000786. S2CID  214268940. ${\displaystyle \lim _{c\to 0}u_{c}=\infty }$ ${\displaystyle u_{c}(0)<\infty }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle k(0)}$ ${\displaystyle {\dot {c}}=0}$ ${\displaystyle f_{k}-\delta -\rho >0}$
3. El hamiltoniano para el problema de Ramsey-Cass-Koopmans es

   ${\displaystyle H=e^{-\rho t}u(c)+\mu \left[f(k)-(n+\delta )k-c\right]}$

   ¿Dónde está la variable de costo que generalmente se interpreta económicamente como el precio sombra ? Debido a que el valor terminal de es libre pero puede no ser negativo, se requiere una condición de transversalidad similar a la condición de “holgura complementaria” de Karush-Kuhn-Tucker . A partir de las condiciones de primer orden para la maximización del hamiltoniano se puede derivar la ecuación de movimiento para el consumo, ver Ferguson, Brian S.; Lim, GC (1998). Introducción a los modelos económicos dinámicos. Prensa de la Universidad de Manchester. págs. 174-175. ISBN ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }\mu \cdot k=0}$ 978-0-7190-4997-2, o Gandolfo, Giancarlo (1996). Dinámica económica (3ª ed.). Berlín: Springer. págs. 381–384. ISBN 978-3-540-60988-9.
4. El problema también se puede resolver con métodos clásicos de cálculo de variaciones , ver Hadley, G.; Kemp, MC (1971). Métodos variacionales en economía. Nueva York: Elsevier. págs. 50–71. ISBN 978-0-444-10097-9.
5. La matriz jacobiana del sistema Ramsey-Cass-Koopmans es

   ${\displaystyle \mathbf {J} \left(k,c\right)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial {\dot {k}}}{\partial k}}&{\frac {\partial {\dot {k}}}{\partial c}}\\{\frac {\partial {\dot {c}}}{\partial k}}&{\frac {\partial {\dot {c}}}{\partial c}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}f_{k}(k)-(n+\delta )&-1\\{\frac {1}{\sigma }}f_{kk}(k)\cdot c&{\frac {1}{\sigma }}\left[f_{k}(k)-\delta -\rho \right]\end{bmatrix}}}$

   Véase Alfonso, Óscar; Vasconcelos, Paulo B. (2016). Economía computacional: una introducción concisa. Nueva York: Routledge. pag. 163.ISBN​ 978-1-138-85965-4.
6. Se puede demostrar que la condición de "no esquema Ponzi" se deriva de la condición de transversalidad del hamiltoniano, ver Barro, Robert J .; Sala-i-Martin, Xavier (2004). Crecimiento económico (Segunda ed.). Nueva York: McGraw-Hill. págs. 91–92. ISBN 978-0-262-02553-9.

Referencias

1. Ramsey, Frank P. (1928). "Una teoría matemática del ahorro". Revista Económica . 38 (152): 543–559. doi :10.2307/2224098. JSTOR  2224098.
2. Cass, David (1965). "Crecimiento óptimo en un modelo agregativo de acumulación de capital". Revista de Estudios Económicos . 32 (3): 233–240. doi :10.2307/2295827. JSTOR  2295827.
3. Koopmans, TC (1965). "Sobre el concepto de crecimiento económico óptimo". El enfoque económico de la planificación del desarrollo . Chicago: Rand McNally. págs. 225–287.
4. Collard, David A. (2011). "Ramsey, el ahorro y las generaciones". Generaciones de economistas . Londres: Routledge. págs. 256–273. ISBN 978-0-415-56541-7.
5. Blanchard, Olivier Jean; Fischer, Stanley (1989). Conferencias sobre macroeconomía. Cambridge: Prensa del MIT. págs. 41–43. ISBN 978-0-262-02283-5.
6. Beavis, Brian; Dobbs, Ian (1990). Teoría de la optimización y la estabilidad para el análisis económico. Nueva York: Cambridge University Press. pag. 157.ISBN​ 978-0-521-33605-5.
7. Huevas, Terry L.; Smith, Rodney BW; Saracoglu, D. Sirin (2009). Modelos de crecimiento multisectorial: teoría y aplicación. Nueva York: Springer. pag. 48.ISBN​ 978-0-387-77358-2.
8. Lanza, SE; Joven, W. (2014). "Ahorro óptimo y crecimiento óptimo: el nexo Cass-Malinvaud-Koopmans". Dinámica Macroeconómica . 18 (1): 215–243. doi :10.1017/S1365100513000291. S2CID  1340808.
9. Koopmans, Tjalling (diciembre de 1963). "Sobre el concepto de crecimiento económico óptimo" (PDF) . Documento de debate de la Fundación Cowles 163 .
10. McKenzie, Lionel (2002). "Algunas primeras conferencias sobre teoría del crecimiento". En Bitros, George; Katsoulacos, Yannis (eds.). Ensayos sobre teoría económica, crecimiento y mercados laborales . Cheltenham: Edward Elgar. págs. 3–18. ISBN 978-1-84064-739-6.
11. Pontryagin, Lev; Boltyansky, Vladimir; Gamkrelidze, Revaz; Mishchenko, Evgenii (1962). La teoría matemática de los procesos óptimos . Nueva York: John Wiley.

Otras lecturas

• Acemoglu, Daron (2009). "El modelo de crecimiento neoclásico". Introducción al crecimiento económico moderno . Princeton: Prensa de la Universidad de Princeton. págs. 287–326. ISBN 978-0-691-13292-1.
• Barro, Robert J .; Sala-i-Martin, Xavier (2004). "Modelos de crecimiento con optimización del consumidor". Crecimiento económico (Segunda ed.). Nueva York: McGraw-Hill. págs. 85-142. ISBN 978-0-262-02553-9.
• Bénassy, ​​Jean-Pascal (2011). "El modelo Ramsey". Teoría Macroeconómica . Nueva York: Oxford University Press. págs. 145-160. ISBN 978-0-19-538771-1.
• Blanchard, Olivier Jean ; Fischer, Stanley (1989). "Consumo e inversión: modelos básicos de horizonte infinito". Conferencias sobre Macroeconomía . Cambridge: Prensa del MIT. págs. 37–89. ISBN 978-0-262-02283-5.
• Miao, Jianjun (2014). "Modelos de crecimiento neoclásicos". Dinámica económica en tiempo discreto . Cambridge: Prensa del MIT. págs. 353–364. ISBN 978-0-262-02761-8.
• Novales, Alfonso; Fernández, Esther; Ruiz, Jesús (2009). "Crecimiento óptimo: análisis del tiempo continuo". Crecimiento económico: teoría y métodos de solución numérica . Berlín: Springer. págs. 101-154. ISBN 978-3-540-68665-1.
• Romer, David (2011). "Modelos de horizonte infinito y generaciones superpuestas". Macroeconomía avanzada (Cuarta ed.). Nueva York: McGraw-Hill. págs. 49–77. ISBN 978-0-07-351137-5.

enlaces externos

• Discusión del artículo original de Ramsey por Orazio Attanasio en YouTube