Modelo Deal-Grove

Modelo matemático de oxidación de semiconductores.

El modelo Deal-Grove describe matemáticamente el crecimiento de una capa de óxido en la superficie de un material. En particular, se utiliza para predecir e interpretar la oxidación térmica del silicio en la fabricación de dispositivos semiconductores . El modelo fue publicado por primera vez en 1965 por Bruce Deal y Andrew Grove de Fairchild Semiconductor , ^[1] basándose en el trabajo de Mohamed M. Atalla sobre la pasivación de superficies de silicio mediante oxidación térmica en los Laboratorios Bell a finales de los años cincuenta. ^[2] Esto sirvió como un paso en el desarrollo de dispositivos CMOS y la fabricación de circuitos integrados .

Supuestos físicos

Los tres fenómenos de oxidación, tal como se describen en el texto del artículo.

El modelo supone que la reacción de oxidación ocurre en la interfaz entre la capa de óxido y el material del sustrato, en lugar de entre el óxido y el gas ambiental . ^[3] Así, considera tres fenómenos que sufre la especie oxidante, en este orden:

1. Se difunde desde la mayor parte del gas ambiental hacia la superficie.
2. Se difunde a través de la capa de óxido existente hasta la interfaz óxido-sustrato.
3. Reacciona con el sustrato.

El modelo supone que cada una de estas etapas avanza a un ritmo proporcional a la concentración del oxidante. En el primer paso, esto significa la ley de Henry ; en el segundo, la ley de difusión de Fick ; en el tercero, una reacción de primer orden con respecto al oxidante. También supone condiciones de estado estacionario , es decir, que no aparecen efectos transitorios.

Resultados

Dadas estas suposiciones, el flujo de oxidante a través de cada una de las tres fases se puede expresar en términos de concentraciones, propiedades del material y temperatura.

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{\text{gas}}&=h_{g}(C_{g}-C_{s})\\[8pt]J_{\text{oxide}}&=D_{\text{ox}}{\frac {C_{s}-C_{i}}{x}}\\[8pt]J_{\text{reacting}}&=k_{i}C_{i}\end{aligned}}}$

Al igualar los tres flujos entre sí, se pueden derivar las siguientes relaciones: ${\displaystyle J_{\text{gas}}=J_{\text{oxide}}=J_{\text{reacting}},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {C_{i}}{C_{g}}}&={\frac {1}{1+k_{i}/h_{g}+k_{i}x/D_{\text{ox}}}}\\[8pt]{\frac {C_{s}}{C_{g}}}&={\frac {1+k_{i}x/D_{\text{ox}}}{1+k_{i}/h_{g}+k_{i}x/D_{\text{ox}}}}\end{aligned}}}$

Suponiendo un crecimiento controlado por difusión, es decir, donde determina la tasa de crecimiento, y sustituyendo y en términos de las dos relaciones anteriores en la ecuación y respectivamente, se obtiene: ${\displaystyle J_{\text{oxide}}}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle C_{s}}$ ${\displaystyle C_{g}}$ ${\displaystyle J_{\text{oxide}}}$ ${\displaystyle J_{\text{reacting}}}$

${\displaystyle J_{\text{oxide}}=J_{\text{reacting}}={\frac {k_{i}C_{g}}{1+k_{i}/h_{g}+k_{i}x/D_{\text{ox}}}}}$

Si N es la concentración del oxidante dentro de una unidad de volumen del óxido, entonces la tasa de crecimiento del óxido se puede escribir en forma de ecuación diferencial. La solución a esta ecuación da el espesor del óxido en cualquier momento  t .

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {dx}{dt}}={\frac {J_{\text{oxide}}}{N}}={\frac {k_{i}C_{g}/N}{1+k_{i}/h_{g}+k_{i}x/D_{\text{ox}}}}\\[8pt]&x^{2}+Ax=Bt+{x_{i}}^{2}+Ax_{i}\\[8pt]&x^{2}+Ax=B(t+\tau )\end{aligned}}}$

donde las constantes y encapsulan las propiedades de la reacción y la capa de óxido respectivamente, y es la capa inicial de óxido que estaba presente en la superficie. Estas constantes vienen dadas como: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A=2D_{\text{ox}}\left({\frac {1}{k_{i}}}+{\frac {1}{h_{g}}}\right)\\[8pt]B={\frac {2D_{\text{ox}}C_{s}}{N}}\\[8pt]\tau ={\frac {x_{i}^{2}+Ax_{i}}{B}}\end{aligned}}}$

donde , siendo el parámetro de solubilidad del gas de la ley de Henry y es la presión parcial del gas en difusión. ${\displaystyle C_{s}=HP_{g}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle P_{g}}$

Resolver la ecuación cuadrática para x produce:

${\displaystyle x(t)={\frac {-A+{\sqrt {A^{2}+4(B)(t+\tau )}}}{2}}}$

Tomando los límites de tiempo corto y largo de la ecuación anterior se revelan dos modos principales de operación. El primer modo, donde el crecimiento es lineal, ocurre inicialmente cuando es pequeño. El segundo modo da un crecimiento cuadrático y ocurre cuando el óxido se espesa a medida que aumenta el tiempo de oxidación. ${\displaystyle t+\tau }$

${\displaystyle {\begin{aligned}t+\tau \ll {\frac {A^{2}}{4B}}\Rightarrow x(t)={\frac {B}{A}}(t+\tau )\\[8pt]t+\tau \gg {\frac {A^{2}}{4B}}\Rightarrow x(t)={\sqrt {B(t+\tau )}}\end{aligned}}}$

Las cantidades B y B / A a menudo se denominan constantes de velocidad de reacción cuadrática y lineal . Dependen exponencialmente de la temperatura, así:

${\displaystyle B=B_{0}e^{-E_{A}/kT};\quad B/A=(B/A)_{0}e^{-E_{A}/kT}}$

donde es la energía de activación y es la constante de Boltzmann en eV. difiere de una ecuación a otra. La siguiente tabla enumera los valores de los cuatro parámetros del silicio monocristalino en condiciones típicas utilizadas en la industria (bajo dopaje , presión atmosférica ). La constante de velocidad lineal depende de la orientación del cristal (generalmente indicada por los índices de Miller del plano del cristal que mira hacia la superficie). La tabla proporciona valores para y silicio. ${\displaystyle E_{A}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle E_{A}}$ ${\textstyle \langle 100\rangle }$ ${\textstyle \langle 111\rangle }$

Validez para el silicio

El modelo Deal-Grove funciona muy bien para silicio monocristalino en la mayoría de las condiciones. Sin embargo, los datos experimentales muestran que los óxidos muy finos (menos de unos 25 nanómetros) crecen mucho más rápidamente de lo que predice el modelo. En las nanoestructuras de silicio (p. ej., nanocables de silicio ), este rápido crecimiento generalmente va seguido de una disminución de la cinética de oxidación en un proceso conocido como oxidación autolimitada, lo que requiere una modificación del modelo de Deal-Grove. ^[3] ${\displaystyle O_{2}}$

Si el óxido que crece en un paso de oxidación particular excede con creces los 25 nm, un simple ajuste explica la tasa de crecimiento aberrante. El modelo produce resultados precisos para óxidos gruesos si, en lugar de asumir un espesor inicial cero (o cualquier espesor inicial inferior a 25 nm), asumimos que existen 25 nm de óxido antes de que comience la oxidación. Sin embargo, para óxidos cercanos o más delgados que este umbral, se deben utilizar modelos más sofisticados.

En la década de 1980, se hizo evidente que era necesaria una actualización del modelo de Deal-Grove para modelar los óxidos finos antes mencionados (casos autolimitados). Uno de esos enfoques que modela con mayor precisión los óxidos finos es el modelo Massoud de 1985 [2]. El modelo de Massoud es analítico y se basa en mecanismos de oxidación paralelos. Cambia los parámetros del modelo Deal-Grove para modelar mejor el crecimiento inicial del óxido con la adición de términos de mejora de la tasa.

El modelo de Deal-Grove también falla en el caso del silicio policristalino ("polisilicio"). En primer lugar, la orientación aleatoria de los granos de cristal dificulta la elección de un valor para la constante de velocidad lineal. En segundo lugar, las moléculas oxidantes se difunden rápidamente a lo largo de los límites de los granos, de modo que el polisilicio se oxida más rápidamente que el silicio monocristalino. ^{[ cita necesaria ]}

Los átomos dopantes tensan la red de silicio y facilitan que los átomos de silicio se unan con el oxígeno entrante. Este efecto puede pasarse por alto en muchos casos, pero el silicio fuertemente dopado se oxida mucho más rápido. La presión del gas ambiental también afecta la tasa de oxidación. ^{[ cita necesaria ]}

Referencias

1. Oferta, SER; AS Grove (diciembre de 1965). "Relación General para la Oxidación Térmica del Silicio". Revista de Física Aplicada . 36 (12): 3770–3778. Código bibliográfico : 1965JAP....36.3770D. doi :10.1063/1.1713945.
2. Yablonovitch, E. (20 de octubre de 1989). "La química de la electrónica de estado sólido" (PDF) . Ciencia . 246 (4928): 347–351. Código Bib :1989Sci...246..347Y. doi : 10.1126/ciencia.246.4928.347. ISSN  0036-8075. PMID  17747917. S2CID  17572922. A partir de mediados de la década de 1950, Atalla et al. Comenzó a trabajar en la oxidación térmica del Si. La receta de oxidación fue perfeccionada gradualmente por Deal, Grove y muchos otros.
3. Liu, M.; Peng, J.; et al. (2016). "Modelado bidimensional de la oxidación autolimitante en nanocables de silicio y tungsteno". Cartas de Mecánica Teórica y Aplicada . 6 (5): 195-199. arXiv : 1911.08908 . doi : 10.1016/j.taml.2016.08.002 .

Bibliografía

• Massoud, HZ; JD Plummer (1985). "Oxidación térmica de silicio en oxígeno seco: determinación precisa de las constantes de velocidad cinética". Revista de la Sociedad Electroquímica . 132 (11): 2693–2700. doi :10.1149/1.2113649.
• Jaeger, Richard C. (2002). "Oxidación térmica del silicio". Introducción a la fabricación microelectrónica (2ª ed.). Río Upper Saddle: Prentice Hall. ISBN 0-201-44494-1.
• Trato, SER; AS Grove (diciembre de 1965). "Relación General para la Oxidación Térmica del Silicio". Revista de Física Aplicada . 36 (12): 3770–3778. Código bibliográfico : 1965JAP....36.3770D. doi :10.1063/1.1713945.

enlaces externos

• Calculadora en línea que incluye efectos de presión, dopaje y óxido fino