Modelo Reed-Frost

Modelo de epidemia estocástica

El modelo Reed-Frost es un modelo matemático de epidemias propuesto en la década de 1920 por Lowell Reed y Wade Hampton Frost , de la Universidad Johns Hopkins . ^{[1] [2]} Aunque originalmente fue presentado en una charla de Frost en 1928 y utilizado en cursos en Hopkins durante dos décadas, la formulación matemática no se publicó hasta la década de 1950, cuando también se convirtió en un episodio de televisión. ^[3]

Historia

Durante la década de 1920, el matemático Lowell Reed y el médico Wade Hampton Frost desarrollaron un modelo de cadena binomial para la propagación de enfermedades, que utilizaron en sus clases de bioestadística y epidemiología en la Universidad Johns Hopkins. A pesar de no haber publicado sus resultados, varios otros académicos los han hecho en sus estudios. ^[4] No fue hasta 1950 que se publicó la formulación matemática y se convirtió en un programa de televisión titulado Epidemic theory: what is it? [ ^3]

En el programa, Lowell Reed, después de explicar la definición formal del modelo, demuestra su aplicación a través de la experimentación con canicas de diferentes colores. ^[3]

El modelo es una extensión del propuesto por HE Soper en 1929 para el sarampión. El modelo de Soper era determinista, en el que todos los miembros de la población eran igualmente susceptibles a la enfermedad y tenían la capacidad de transmitir la enfermedad. El modelo también se basa en la ley de acción de masas , de modo que una tasa de infección en un momento dado era proporcional al número de susceptibles e infecciosos en ese momento. Es eficaz para poblaciones moderadamente grandes, pero no tiene en cuenta las infecciones múltiples que entran en contacto con el mismo individuo. Por lo tanto, en poblaciones pequeñas, el modelo sobreestima en gran medida el número de susceptibles que se infectan. ^{[5] [2] [6]}

Reed y Frost modificaron el modelo de Soper para tener en cuenta el hecho de que sólo se produciría un caso nuevo si un individuo susceptible en particular incluye contacto con dos o más casos. ^[7] El modelo de Reed-Frost ha sido ampliamente utilizado y sirvió como base para el desarrollo de estudios de simulación de propagación de enfermedades más detallados. ^{[8] [9] [10]}

Descripción

Este es un ejemplo de un modelo “binomial en cadena”, un modelo simplificado e iterativo de cómo se comportará una epidemia a lo largo del tiempo.

El modelo Reed-Frost es uno de los modelos epidémicos estocásticos más simples. Fue formulado por Lowell Reed y Wade Frost en 1928 (en un trabajo inédito) y describe la evolución de una infección en generaciones. Cada individuo infectado en la generación t (t = 1,2,...) infecta independientemente a cada individuo susceptible en la población con cierta probabilidad p. Los individuos que son infectados por los individuos en la generación t constituyen entonces la generación t + 1 y los individuos en la generación t son eliminados del proceso epidémico. ^[11]

El modelo Reed-Frost se basa en los siguientes supuestos: ^[12]

1. La infección se transmite directamente de individuos infectados a otros mediante un determinado tipo de contacto (denominado "contacto adecuado") y de ninguna otra manera.
2. Cualquier individuo no inmune del grupo, después de tal contacto con un individuo infeccioso en un período determinado, desarrollará la infección y será infeccioso para los demás solo dentro del período de tiempo siguiente; en los períodos de tiempo posteriores, será total y permanentemente inmune.
3. Cada individuo tiene una probabilidad fija de entrar en contacto adecuado con cualquier otro individuo específico del grupo dentro de un intervalo de tiempo, y esta probabilidad es la misma para todos los miembros del grupo.
4. Los individuos están completamente segregados de los demás que están fuera del grupo. (Es una población cerrada).
5. Estas condiciones se mantienen constantes durante la epidemia.

Los siguientes parámetros se establecen inicialmente:

• Tamaño de la población
• Número de personas que ya son inmunes
• Número de casos (normalmente se establece en 1)
• Probabilidad de contacto adecuado

Con esta información, una fórmula sencilla permite calcular cuántos individuos se contagiarán y cuántos serán inmunes en el siguiente intervalo de tiempo. Esto se repite hasta que toda la población sea inmune o no queden individuos infectivos. El modelo puede entonces ejecutarse repetidamente, ajustando las condiciones iniciales , para ver cómo afectan estas a la progresión de la epidemia.

La probabilidad de un contacto adecuado corresponde aproximadamente a R ₀ , el número básico de reproducción : en una población grande, cuando el número inicial de infectados es pequeño, se espera que un individuo infectado cause nuevos casos. ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{0}=\ln(1/(1-p))}$

Matemáticas

Sea la cantidad de casos de infección en el momento . Supongamos que todos los casos se recuperan o se eliminan en exactamente un paso de tiempo. Sea la cantidad de individuos susceptibles en el momento . Sea una variable aleatoria de Bernoulli que retorna con probabilidad y con probabilidad . Haciendo uso de la convención de multiplicación de variables aleatorias, podemos escribir el modelo de Reed-Frost como ${\displaystyle I_{t}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle S_{t}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(x)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1-x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{t+1}&=\sum _{k=0}^{S_{t}}{\mathcal {B}}(1-(1-p)^{I_{t}}),\\S_{t+1}&=S_{t}-I_{t+1}\end{aligned}}}$

con el número inicial de individuos susceptibles e infectados indicado. Aquí, se muestra la probabilidad de que una persona entre en contacto con otra persona en un intervalo de tiempo y que ese contacto resulte en la transmisión de la enfermedad. ${\displaystyle (S_{0},I_{0})}$ ${\displaystyle p}$

El límite determinista es (se encuentra reemplazando las variables aleatorias con sus expectativas),

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{t+1}&=S_{t}\,(1-(1-p)^{I_{t}}),\\S_{t+1}&=S_{t}\,(1-p)^{I_{t}}\end{aligned}}}$

Véase también

• Teoría de Kermack-McKendrick
• Modelado matemático de enfermedades infecciosas

Referencias

1. Schwabe CW, Riemann HP, Franti CE. (1977). Epidemiología en la práctica veterinaria . Lea y Febiger. págs. 258–260
2. Abbey, H. (1952). "Un examen de la teoría de Reed-Frost sobre las epidemias". Biología humana . 24 (3): 201–233. ISSN  0018-7143. PMID  12990130.
3. Reed, Lowell (1951) Epidemic Theory: What Is It? (Programa de televisión) Youtube, consultado el 21 de marzo de 2021. Johns Hopkins Science Review, Baltimore, MD
4. Jacquez, John A. (1987). "Una nota sobre los modelos binomiales en cadena de propagación de epidemias: ¿Qué hay de malo en la formulación de Reed-Frost?". Mathematical Biosciences . 87 : 73–82. doi :10.1016/0025-5564(87)90034-4. hdl : 2027.42/26512 . ISSN  0025-5564 – vía Elsevier Science Publishing Co.
5. Picard, Philippe; Lefevre, Claude (1990). "Un análisis unificado de la distribución final del tamaño y la gravedad en los procesos epidémicos colectivos de heladas de juncos". Avances en probabilidad aplicada . 22 (2). Applied Probability Trust: 269–294. ISSN  0001-8678. JSTOR  1427536 . Consultado el 9 de agosto de 2024 .
6. Soper, HE (1929). "La interpretación de la periodicidad en la prevalencia de enfermedades". Revista de la Royal Statistical Society . 92 (1): 34–73. doi :10.2307/2341437. ISSN  0952-8385. JSTOR  2341437.
7. Dietz, Klaus (3 de mayo de 2009). "Epidemias: el ajuste de los primeros modelos dinámicos a los datos". Journal of Contemporary Mathematical Analysis . 44 (2): 97. doi : 10.3103/S1068362309020034 . ISSN  1934-9416. S2CID  162120980.
8. "Lowell Reed | Facultad de Salud Pública Bloomberg de la Universidad Johns Hopkins". publichealth.jhu.edu . Consultado el 29 de octubre de 2021 .
9. Engelmann, Lukas (30 de agosto de 2021). "Una caja, un comedero y canicas: cómo la teoría de la epidemia Reed-Frost dio forma al razonamiento epidemiológico en el siglo XX". Historia y filosofía de las ciencias de la vida . 43 (3): 105. doi :10.1007/s40656-021-00445-z. ISSN  1742-6316. PMC 8404547 . PMID  34462807. 
10. Picard, Philippe; Lefevre, Claude (1990). "Un análisis unificado de la distribución final del tamaño y la gravedad en procesos epidémicos colectivos de heladas de juncos". Avances en probabilidad aplicada . 22 (2): 269–294. doi :10.2307/1427536. ISSN  0001-8678. JSTOR  1427536.
11. Deijfen, Maria (2011). "Epidemias y vacunación en gráficos ponderados". Ciencias biológicas matemáticas . 232 (1): 57–65. arXiv : 1101.4154 . doi :10.1016/j.mbs.2011.04.003. PMID  21536052. S2CID  1744357.
12. "Modelo de epidemia de Reed-Frost". Centro de Supercomputación de Ohio. 29 de mayo de 2012.