Teoría de Kermack-McKendrick

Modelo matemático para describir el brote de una enfermedad infecciosa

La teoría de Kermack-McKendrick es una hipótesis que predice el número y la distribución de casos de una enfermedad infecciosa a medida que se transmite a través de una población a lo largo del tiempo. Basándose en la investigación de Ronald Ross e Hilda Hudson , AG McKendrick y WO Kermack publicaron su teoría en un conjunto de tres artículos de 1927, 1932 y 1933. Si bien la teoría de Kermack-McKendrick fue de hecho la fuente de los modelos SIR y sus parientes, Kermack y McKendrick estaban pensando en un problema más sutil y empíricamente útil que los simples modelos compartimentales analizados aquí. El texto es algo difícil de leer, en comparación con los artículos modernos, pero la característica importante es que era un modelo en el que la edad de la infección afectaba las tasas de transmisión y eliminación. ^{[ cita requerida ]}

Debido a su importancia fundamental para el campo de la epidemiología teórica, estos artículos se volvieron a publicar en el Boletín de Biología Matemática en 1991. ^{[1] [2] [3]}

Modelo de epidemia (1927)

En su forma inicial, la teoría de Kermack-McKendrick es un modelo de ecuación diferencial parcial que estructura la población infectada en términos de edad de infección, mientras que utiliza compartimentos simples para personas que son susceptibles (S), infectadas (I) y recuperadas/eliminadas (R). Las condiciones iniciales especificadas cambiarían con el tiempo según

${\displaystyle {\frac {dS}{dt}}=-\lambda S,}$

${\displaystyle {\frac {\partial i}{\partial t}}+{\frac {\partial i}{\partial a}}=\delta (a)\lambda S-\gamma (a)i,}$

${\displaystyle I(t)=\int _{0}^{\infty }i(a,t)\,da,}$

${\displaystyle {\frac {dR}{dt}}=\int _{0}^{\infty }\gamma (a)i(a,t)\,da,}$

¿Dónde está la función delta de Dirac y la presión de infección? ${\displaystyle \delta (a)}$

${\displaystyle \lambda =\int _{0}^{\infty }\beta (a)i(a,t)\,da.}$

Esta formulación es equivalente a definir la incidencia de la infección . Solo en el caso especial en que la tasa de eliminación y la tasa de transmisión son constantes para todas las edades, la dinámica epidémica se puede expresar en términos de prevalencia , lo que conduce al modelo SIR compartimental estándar . Este modelo solo tiene en cuenta los eventos de infección y eliminación, que son suficientes para describir una epidemia simple, incluida la condición de umbral necesaria para que comience una epidemia, pero no puede explicar la transmisión de enfermedades endémicas o epidemias recurrentes. ${\displaystyle i(t,0)=\lambda S}$ ${\displaystyle \gamma (a)}$ ${\displaystyle \beta (a)}$ ${\displaystyle I(t)}$

Enfermedad endémica (1932, 1933)

En sus artículos posteriores, Kermack y McKendrick ampliaron su teoría para incluir el nacimiento, la migración y la muerte, así como la inmunidad imperfecta. En notación moderna, su modelo puede representarse como

${\displaystyle {\frac {dS}{dt}}=b_{0}+b_{S}S+b_{I}I+b_{R}R-\lambda S-m_{S}S,}$

${\displaystyle {\frac {\partial i}{\partial t}}+{\frac {\partial i}{\partial a}}=\delta (a)\lambda (S+\sigma R)-\gamma (a)i-\mu (a)i-m_{i}(a)i,}$

${\displaystyle I(t)=\int _{0}^{\infty }i(a,t)\,da}$

${\displaystyle {\frac {dR}{dt}}=\int _{0}^{\infty }\gamma (a)i(a,t)\,da-\sigma \lambda R-m_{R}R,}$

donde es la tasa de inmigración de susceptibles, b _j es la tasa de natalidad per cápita para el estado j , m _j es la tasa de mortalidad per cápita de los individuos en el estado j , es el riesgo relativo de infección para los individuos recuperados que son parcialmente inmunes, y la presión de infección ${\displaystyle b_{0}}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \lambda =\int _{0}^{\infty }\beta (a)i(a,t)\,da.}$

Kermack y McKendrick demostraron que admite una solución estacionaria en la que la enfermedad es endémica, siempre que la oferta de individuos susceptibles sea suficientemente grande. Este modelo es difícil de analizar en su totalidad y quedan varias preguntas abiertas sobre su dinámica.

Véase también

• Modelos compartimentados en epidemiología
• Ecuación integro-diferencial

Referencias

1. Kermack, W; McKendrick, A (1991). "Contribuciones a la teoría matemática de las epidemias – I". Boletín de biología matemática . 53 (1–2): 33–55. doi :10.1007/BF02464423. PMID  2059741. S2CID  123923690.
2. Kermack, W; McKendrick, A (1991). "Contribuciones a la teoría matemática de las epidemias – II. El problema de la endemicidad". Boletín de biología matemática . 53 (1–2): 57–87. doi :10.1007/BF02464424. PMID  2059742.
3. Kermack, W; McKendrick, A (1991). "Contribuciones a la teoría matemática de las epidemias – III. Estudios adicionales sobre el problema de la endemicidad". Boletín de biología matemática . 53 (1–2): 89–118. doi :10.1007/BF02464425. PMID  2059743. S2CID  24709533.