Modelo de difusión de graves

Modelo matemático de marketing

El modelo de Bass o modelo de difusión de Bass fue desarrollado por Frank Bass . Consiste en una ecuación diferencial simple que describe el proceso de adopción de nuevos productos en una población. El modelo presenta una lógica de cómo interactúan los adoptantes actuales y los adoptantes potenciales de un nuevo producto. La premisa básica del modelo es que los adoptantes pueden clasificarse como innovadores o imitadores, y la velocidad y el momento de la adopción dependen de su grado de innovación y del grado de imitación entre los adoptantes. El modelo de Bass se ha utilizado ampliamente en la previsión , especialmente en la previsión de ventas de nuevos productos y la previsión de tecnología . Matemáticamente, la difusión básica de Bass es una ecuación de Riccati con coeficientes constantes equivalentes al crecimiento logístico de Verhulst-Pearl .

En 1969, Frank Bass publicó su artículo sobre un nuevo modelo de crecimiento de productos para bienes de consumo duraderos . ^{[1] : 1833  [2]} Antes de esto, Everett Rogers publicó Difusión de innovaciones , un trabajo muy influyente que describía las diferentes etapas de la adopción de un producto. Bass aportó algunas ideas matemáticas al concepto. ^[3] Mientras que el modelo de Rogers describe las cuatro etapas del ciclo de vida del producto (Introducción, Crecimiento, Madurez, Declive), el modelo de Bass se centra en las dos primeras (Introducción y Crecimiento). Algunas de las extensiones del modelo de Bass presentan modelos matemáticos para las dos últimas (Madurez y Declive).

Formulación del modelo

${\displaystyle {\frac {f(t)}{1-F(t)}}=p+qF(t)}$ ^[2]

Dónde:

• ${\displaystyle \ F(t)}$es la fracción de base instalada
• ${\displaystyle \ f(t)}$es la tasa de cambio de la fracción de base instalada, es decir ${\displaystyle \ f(t)=F'(t)}$
• ${\displaystyle \ p}$es el coeficiente de innovación
• ${\displaystyle \ q}$es el coeficiente de imitación

Expresado como una ecuación diferencial ordinaria,

${\displaystyle {\frac {dF}{dt}}=p(1-F)+q(1-F)F=(1-F)(p+qF)=p-F(p-q)-qF^{2}.}$

Las ventas (o nuevos usuarios) en el momento son la tasa de cambio de la base instalada, es decir, multiplicada por el potencial de mercado final . Bajo la condición , tenemos que ${\displaystyle \ s(t)}$ ${\displaystyle \ t}$ ${\displaystyle \ f(t)}$ ${\displaystyle \ m}$ ${\displaystyle \ F(0)=0}$

${\displaystyle \ s(t)=mf(t)}$

${\displaystyle \ s(t)=m{\frac {(p+q)^{2}}{p}}{\frac {e^{-(p+q)t}}{(1+{\frac {q}{p}}e^{-(p+q)t})^{2}}}}$ ^[2]

Tenemos la descomposición donde es el número de innovadores en el tiempo , y es el número de imitadores en el tiempo . ${\displaystyle \ s(t)=s_{n}(t)+s_{i}(t)}$ ${\displaystyle \ s_{n}(t):=mp(1-F(t))}$ ${\displaystyle \ t}$ ${\displaystyle \ s_{i}(t):=mq(1-F(t))F(t)}$ ${\displaystyle \ t}$

La época de picos de ventas : ${\displaystyle \ t^{*}}$

${\displaystyle \ t^{*}={\frac {\ln q-\ln p}{p+q}}}$ ^[2]

Los tiempos de los puntos de inflexión en la curva de nuevos adoptantes : ${\displaystyle \ t^{**}}$

${\displaystyle \ t^{**}={\frac {\ln(q/p)-\ln(2\pm {\sqrt {3}}))}{p+q}}}$ ^[4]

o en otra forma (relacionada con picos de ventas):

${\displaystyle \ t^{**}=t^{*}\pm {\frac {\ln(2+{\sqrt {3}}))}{p+q}}}$ ^[4]

Los tiempos de pico y de puntos de inflexión deben ser positivos. Cuando es negativo, las ventas no tienen pico (y disminuyen desde la introducción). Hay casos (dependiendo de los valores de y ) en los que la curva de nuevos adoptantes (que comienza en 0) tiene solo uno o cero puntos de inflexión. ${\displaystyle \ t^{*}}$ ${\displaystyle \ p}$ ${\displaystyle \ q}$

Explicación

El coeficiente se denomina coeficiente de innovación, de influencia externa o de efecto publicitario. El coeficiente se denomina coeficiente de imitación, de influencia interna o de efecto boca a boca. ${\displaystyle \ p}$ ${\displaystyle \ q}$

Valores típicos de y cuando el tiempo se mide en años: ^[5] ${\displaystyle \ p}$ ${\displaystyle \ q}$ ${\displaystyle \ t}$

• Se ha encontrado que el valor promedio es 0,03, con un rango típico entre 0,01 y 0,03. ${\displaystyle \ p}$
• Se ha encontrado que el valor medio es 0,38, con un rango típico entre 0,3 y 0,5. ${\displaystyle \ q}$

Derivación

El modelo de difusión de Bass se deriva asumiendo que la tasa de riesgo para la adopción de un producto o servicio puede definirse como: donde es la función de densidad de probabilidad y es la función de supervivencia , siendo la función de distribución acumulativa . A partir de estas definiciones básicas en el análisis de supervivencia , sabemos que: Por lo tanto, la ecuación diferencial para la función de supervivencia es equivalente a: La integración y reordenamiento de términos nos da que: Para cualquier función de supervivencia, debemos tener que y esto implica que . Con esta condición, la función de supervivencia es: Finalmente, utilizando el hecho de que , encontramos que el modelo de difusión de Bass para la adopción de productos es: ${\displaystyle \lambda (t)}$ $${\displaystyle \lambda (t)={f(t) \over {S(t)}}=p+q[1-S(t)]}$$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle S(t)=1-F(t)}$ ${\displaystyle F(t)}$ $${\displaystyle f(t)=-{dS \over {dt}}\implies \lambda (t)=-{1 \over {S}}{dS \over {dt}}}$$ $${\displaystyle {dS \over {S[p+q(1-S)]}}=-dt}$$ $${\displaystyle {S \over {p+q(1-S)}}=Ae^{-(p+q)t}}$$ ${\displaystyle S(0)=1}$ ${\displaystyle A=p^{-1}}$ $${\displaystyle S(t)={e^{-(p+q)t}+{q \over {p}}e^{-(p+q)t} \over {1+{q \over {p}}e^{-(p+q)t}}}}$$ ${\displaystyle F(t)=1-S(t)}$ $${\displaystyle F(t)={1-e^{-(p+q)t} \over {1+{q \over {p}}e^{-(p+q)t}}}}$$

Extensiones del modelo

Modelo de bajo generalizado (con precios)

Bass descubrió que su modelo se ajustaba a los datos de casi todas las introducciones de productos, a pesar de una amplia gama de variables de decisión gerencial, por ejemplo, precios y publicidad. Esto significa que las variables de decisión pueden cambiar la curva de Bass con el tiempo, pero que la forma de la curva siempre es similar.

Aunque se han propuesto muchas extensiones del modelo, sólo una de ellas se reduce al modelo de Bass en circunstancias ordinarias. ^[6]

Este modelo fue desarrollado en 1994 por Frank Bass, Trichy Krishnan y Dipak Jain:

${\displaystyle {\frac {f(t)}{1-F(t)}}=(p+{q}F(t))x(t)}$

donde es una función del cambio porcentual en el precio y otras variables ${\displaystyle \ x(t)}$

A diferencia del modelo de Bass, que tiene una solución analítica pero también se puede resolver numéricamente, los modelos de Bass generalizados normalmente no tienen soluciones analíticas y se deben resolver numéricamente. Orbach (2016) ^[7] señala que los valores de p,q no son perfectamente idénticos para las formas de tiempo continuo y tiempo discreto. Para los casos comunes (donde p está dentro del rango de 0,01-0,03 y q dentro del rango de 0,2-0,4) los pronósticos de tiempo discreto y tiempo continuo son muy cercanos. Para otros valores de p,q los pronósticos pueden diferir significativamente.  

Generaciones sucesivas

Un ejemplo de un pronóstico con 8 generaciones

Los productos tecnológicos se suceden unos a otros a lo largo de generaciones. Norton y Bass ampliaron el modelo en 1987 para las ventas de productos con compras repetidas continuas. La formulación para tres generaciones es la siguiente: ^[8]

${\displaystyle \ S_{1,t}=F(t_{1})m_{1}(1-F(t_{2}))}$

${\displaystyle \ S_{2,t}=F(t_{2})(m_{2}+F(t_{1})m_{1})(1-F(t_{3}))}$

${\displaystyle \ S_{3,t}=F(t_{3})(m_{3}+F(t_{2})(m_{2}+F(t_{1})m_{1}))}$

dónde

• ${\displaystyle \ m_{i}=a_{i}M_{i}}$
• ${\displaystyle \ M_{i}}$es el número incremental de adoptantes finales del producto de la i -ésima generación
• ${\displaystyle \ a_{i}}$es la tasa de repetición de compra promedio (continua) entre los adoptantes del producto de la i -ésima generación
• ${\displaystyle \ t_{i}}$es el tiempo transcurrido desde la introducción del producto de i -ésima generación
• ${\displaystyle \ F(t_{i})={\frac {1-e^{-(p+q)t_{i}}}{1+{\frac {q}{p}}e^{-(p+q)t_{i}}}}}$

Se ha descubierto que los términos p y q son generalmente los mismos entre generaciones sucesivas.

Relación con otras curvas en forma de S

Hay dos casos especiales del modelo de difusión de Bass.

• El primer caso especial ocurre cuando q=0, cuando el modelo se reduce a la distribución exponencial .
• El segundo caso especial se reduce a la distribución logística , cuando p = 0.

El modelo de Bass es un caso especial de la distribución Gamma/Gompertz desplazada (G/SG): Bemmaor ^[9] (1994)

Uso en redes sociales en línea

El rápido crecimiento reciente (a principios de 2007) de las redes sociales en línea (y otras comunidades virtuales ) ha llevado a un mayor uso del modelo de difusión de Bass. El modelo de difusión de Bass se utiliza para estimar el tamaño y la tasa de crecimiento de estas redes sociales. El trabajo de Christian Bauckhage y coautores ^[10] muestra que el modelo de Bass proporciona una imagen más pesimista del futuro que otros modelos alternativos, como la distribución de Weibull y la distribución de Gompertz desplazada.

Los rangos de los parámetros p, q

Bass (1969) ^[2] distinguió entre un caso de p < q en el que las ventas periódicas crecen y luego disminuyen (un producto exitoso tiene un pico de ventas periódico); y un caso de p>q en el que las ventas periódicas disminuyen desde el lanzamiento (sin pico).

Jain et al. (1995) ^[11] exploraron el impacto de la siembra. Cuando se utiliza la siembra, la difusión puede comenzar cuando p + qF(0) > 0 incluso si el valor de p es negativo, pero un comercializador utiliza la estrategia de siembra con un tamaño de semilla de F(0) > -p/q. La interpretación de un valor p negativo no significa necesariamente que el producto sea inútil: puede haber casos en los que existan barreras de precio o esfuerzo para la adopción cuando muy pocos otros ya lo hayan adoptado. Cuando otros adoptan, los beneficios del producto aumentan, debido a externalidades o reducción de la incertidumbre, y el producto se vuelve cada vez más plausible para muchos clientes potenciales.

Moldovan y Goldenberg (2004) ^[12] incorporaron el efecto de boca en boca (WOM) negativo en la difusión, lo que implica la posibilidad de un q negativo. Un q negativo no significa necesariamente que los adoptantes estén decepcionados e insatisfechos con su compra. Puede encajar en un caso en el que el beneficio de un producto disminuye a medida que más personas lo adoptan. Por ejemplo, para un cierto nivel de demanda de viajes en tren, se pueden vender billetes reservados a quienes quieran garantizar un asiento. Aquellos que no reserven asientos pueden tener que viajar de pie. A medida que se venden más asientos reservados, se reduce la aglomeración en el vagón de tren no reservado y aumenta la probabilidad de encontrar un asiento en el vagón no reservado, lo que reduce el incentivo para comprar asientos reservados. Si bien la curva de ventas no acumulativa con q negativo es similar a aquellas con q = 0, la curva de ventas acumulativa presenta una situación más interesante: cuando p > -q, el mercado alcanzará el 100% de su potencial, eventualmente, como para un valor positivo regular de q . Sin embargo, si p < -q, a largo plazo el mercado se saturará en un nivel de equilibrio –p/q de su potencial.

Orbach (2022) ^[13] resumió el comportamiento de la difusión en cada porción del espacio p,q y mapea las regiones extendidas ( p , q ) más allá del cuadrante derecho positivo (donde la difusión es espontánea) a otras regiones donde la difusión enfrenta barreras ( p negativo), donde la difusión requiere “estímulos” para comenzar, o resistencia de los adoptantes a nuevos miembros ( q negativo ), lo que podría estabilizar el mercado por debajo de la adopción total.

Un mapa del espacio p - q de Bass extendido ^[13]

Adopción de este modelo

El modelo es una de las generalizaciones empíricas más citadas en marketing; en agosto de 2023, el artículo "A New Product Growth for Model Consumer Durables" publicado en Management Science tenía (aproximadamente) 11352 citas en Google Scholar. ^[14]

Este modelo ha tenido una gran influencia en la ciencia del marketing y la gestión. En 2004 fue seleccionado como uno de los diez artículos más citados en los 50 años de historia de la ciencia de la gestión . ^[3] Ocupó el puesto número cinco y fue el único artículo de marketing de la lista. Posteriormente se reimprimió en la edición de diciembre de 2004 de Management Science . ^[3]

El modelo de Bass fue desarrollado para bienes de consumo duraderos. Sin embargo, también se ha utilizado para pronosticar la aceptación en el mercado de numerosos productos y servicios de consumo e industriales, incluidos productos tangibles, intangibles, médicos ^{[15] [16]} y financieros ^[17] . Sultan ^[18] et al. (1990) aplicaron el modelo de Bass a 213 categorías de productos, principalmente bienes de consumo duraderos (en una amplia gama de precios), pero también a servicios como moteles y productos industriales/agrícolas como semillas de maíz híbrido.

Véase también

• Difusión de la innovación
• Pronóstico
• Modelo de usuario perezoso
• Distribución de Gompertz desplazada

Referencias

1. Bass, Frank M. (2004). "Comentarios sobre "Un nuevo crecimiento de producto para bienes de consumo duraderos modelo": el modelo de Bass". Management Science . 50 (12): 1833–1840. CiteSeerX  10.1.1.460.1976 . doi :10.1287/mnsc.1040.0300. Tal vez lo primero que se nota en el artículo que se ha dado en conocer como el "modelo de Bass" (Bass 1969) es el título. Contiene un error tipográfico. El artículo se publicó con el título: "Un nuevo crecimiento de producto para bienes de consumo duraderos modelo". El título correcto debería ser: "Un nuevo modelo de crecimiento de producto para bienes de consumo duraderos".
2. Bass, Frank (1969). "Un nuevo modelo de crecimiento de productos para bienes de consumo duraderos". Management Science . 15 (5): 215–227. doi :10.1287/mnsc.15.5.215.
3. Management Science 50 Número 12 Suplemento, diciembre de 2004 ISSN  0025-1909 p1833-1840
4. Mahajan, Vijay; Muller, Eitan; Srivastava, Rajendra K. (1990). "Determinación de categorías de adoptantes mediante el uso de modelos de difusión de la innovación". Revista de investigación de marketing . 27 (1): 37. doi :10.2307/3172549. ISSN  0022-2437. JSTOR  3172549.
5. Mahajan, Vijay; Eitan Muller ; Bass, Frank (1995). "Difusión de nuevos productos: generalizaciones empíricas y usos gerenciales". Marketing Science . 14 (3): G79–G88. doi :10.1287/mksc.14.3.G79.
6. Bass, Frank M.; Trichy V. Krishnan; Dipak C. Jain (1994). "Por qué el modelo de Bass se ajusta sin variables de decisión". Marketing Science . 13 (2): 203–223. doi :10.1287/mksc.13.3.203.
7. Orbach, Yair (27 de abril de 2016). "Análisis paramétrico del modelo de Bass". Marketing innovador . 12 (1): 29–40. doi : 10.21511/im.12(1).2016.03 . ISSN  1814-2427.
8. Norton, John A.; Frank M. Bass (1987). "Un modelo de teoría de difusión de adopción y sustitución para generaciones sucesivas de productos de alta tecnología". Management Science . 33 (9): 1069–1086. CiteSeerX 10.1.1.565.4068 . doi :10.1287/mnsc.33.9.1069. 
9. Bemmaor, Albert C. (1994). "Modelización de la difusión de nuevos bienes duraderos: efecto boca a boca frente a heterogeneidad del consumidor". En G. Laurent, GL Lilien y B. Pras (ed.). Tradiciones de investigación en marketing . Boston: Kluwer Academic Publishers. págs. 201–223. ISBN 978-0-7923-9388-7.
10. Bauckhage, Christian; Kersting, Kristian (2014). "Fuertes regularidades en el crecimiento y la disminución de la popularidad de los servicios de redes sociales". arXiv : 1406.6529 [cs.SI].
11. Jain, DC; Mahajan, V.; Muller, E. (1995). "Un enfoque para determinar el muestreo óptimo para la difusión de un nuevo producto". Journal of Product Innovation Management . 12 (2): 124–135. doi :10.1111/1540-5885.1220124.
12. Moldovan y Goldenberg (2004). "Modelado de autómatas celulares de la resistencia a las innovaciones: efectos y soluciones". Pronóstico tecnológico y cambio social . 71 (5): 425–442. doi :10.1016/S0040-1625(03)00026-X.
13. Orbach, Yair (2022). Pronóstico de la dinámica del mercado y la tecnología . Israel: Ariel University Press. págs. 153-155. ISBN 978-965-7632-40-6.
14. "Google Académico".
15. Kharrazi, Hadi; Gonzalez, Claudia P; Lowe, Kevin B; Huerta, Timothy R; Ford, Eric W (7 de agosto de 2018). "Pronóstico de la maduración de las funciones de registros médicos electrónicos en hospitales de EE. UU.: análisis retrospectivo y modelo predictivo". Revista de investigación médica en Internet . 20 (8): e10458. doi : 10.2196/10458 . ISSN  1438-8871. PMC 6104443 . PMID  30087090. 
16. Dunn, Adam G; Braithwaite, Jeffrey; Gallego, Blanca; Day, Richard O; Runciman, William; Coiera, Enrico (10 de agosto de 2012). "Adopción a escala nacional de nuevos medicamentos por parte de los médicos: una aplicación del modelo de difusión de Bass". BMC Health Services Research . 12 (1): 248. doi : 10.1186/1472-6963-12-248 . ISSN  1472-6963. PMC 3441328 . PMID  22876867. 
17. "Pensiones voluntarias y ocupacionales", Panorama de las pensiones de la OCDE 2005 , Panorama de las pensiones de la OCDE, OCDE, págs. 191-192, 3 de mayo de 2006, doi :10.1787/pension_glance-2005-44-en, ISBN 978-92-64-01871-6, consultado el 4 de septiembre de 2023
18. Sultan, Fareena; Farley, John U.; Lehmann, Donald R. (febrero de 1990). "Un metaanálisis de las aplicaciones de los modelos de difusión". Revista de investigación de marketing . 27 (1): 70–77. doi :10.1177/002224379002700107. ISSN  0022-2437. S2CID  167853623.