Modelado de diodos

En electrónica , el modelado de diodos se refiere a los modelos matemáticos utilizados para aproximar el comportamiento real de diodos reales para permitir cálculos y análisis de circuitos. La curva I - V de un diodo no es lineal ^{[ se necesita desambiguación ]} .

Un modelo físico muy preciso, pero complicado, compone la curva IV a partir de tres exponenciales con una pendiente ligeramente diferente (es decir, factor de idealidad ), que corresponden a diferentes mecanismos de recombinación en el dispositivo; ^[1] con corrientes muy grandes y muy pequeñas, la curva puede continuar mediante segmentos lineales (es decir, comportamiento resistivo).

En una aproximación relativamente buena, un diodo se modela mediante la ley del diodo de Shockley exponencial único . Esta no linealidad todavía complica los cálculos en circuitos que involucran diodos, por lo que a menudo se utilizan modelos aún más simples.

Este artículo analiza el modelado de diodos de unión pn , pero las técnicas pueden generalizarse a otros diodos de estado sólido .

Modelado de señales grandes

Modelo de diodo Shockley

La ecuación del diodo de Shockley relaciona la corriente del diodo de un diodo de unión pn con el voltaje del diodo . Esta relación es la característica del diodo IV : ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle V_{D}}$

${\displaystyle I=I_{S}\left(e^{\frac {V_{D}}{nV_{\text{T}}}}-1\right)}$,

¿Dónde está la corriente de saturación o corriente de escala del diodo (la magnitud de la corriente que fluye negativamente en exceso de unos pocos , típicamente 10 ⁻¹² A)? La corriente de escala es proporcional al área de la sección transversal del diodo. Siguiendo con los símbolos: es el voltaje térmico ( , unos 26 mV a temperaturas normales), ${\displaystyle I_{S}}$ ${\displaystyle V_{D}}$ ${\displaystyle V_{\text{T}}}$  ${\displaystyle V_{\text{T}}}$ ${\displaystyle kT/q}$y se conoce como factor de idealidad del diodo (para diodos de silicio es aproximadamente 1 a 2). ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Cuando la fórmula se puede simplificar a: ${\displaystyle V_{D}\gg nV_{\text{T}}}$

${\displaystyle I\approx I_{S}\cdot e^{\frac {V_{D}}{nV_{\text{T}}}}}$.

Sin embargo, esta expresión es sólo una aproximación de una característica IV más compleja. Su aplicabilidad es particularmente limitada en el caso de uniones ultrapoco profundas, para las cuales existen mejores modelos analíticos. ^[2]

Ejemplo de circuito diodo-resistencia

Para ilustrar las complicaciones al usar esta ley, considere el problema de encontrar el voltaje a través del diodo en la Figura 1.

Figura 1: Circuito de diodo con carga resistiva.

Como la corriente que fluye a través del diodo es la misma que la corriente a lo largo de todo el circuito, podemos establecer otra ecuación. Según las leyes de Kirchhoff , la corriente que fluye en el circuito es

${\displaystyle I={\frac {V_{S}-V_{D}}{R}}}$.

Estas dos ecuaciones determinan la corriente del diodo y el voltaje del diodo. Para resolver estas dos ecuaciones, podríamos sustituir la corriente de la segunda ecuación en la primera ecuación y luego intentar reorganizar la ecuación resultante para obtener términos de . Una dificultad con este método es que la ley del diodo no es lineal. No obstante, se puede obtener una fórmula que se exprese directamente en términos de sin involucrar utilizando la función W de Lambert , que es la función inversa de , es decir ,. Esta solución se analiza a continuación. ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle V_{D}}$ ${\displaystyle V_{S}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle V_{S}}$ ${\displaystyle V_{D}}$ ${\displaystyle f(w)=we^{w}}$ ${\displaystyle w=W(f)}$

Solución explícita

Se puede obtener una expresión explícita para la corriente del diodo en términos de la función Lambert W (también llamada función Omega). ^[3] A continuación se ofrece una guía para estas manipulaciones. Se introduce una nueva variable como ${\displaystyle w}$

${\displaystyle w={\frac {I_{S}R}{nV_{\text{T}}}}\left({\frac {I}{I_{S}}}+1\right)}$.

Siguiendo las sustituciones : ${\displaystyle I/I_{S}=e^{V_{D}/nV_{\text{T}}}-1}$

${\displaystyle we^{w}={\frac {I_{S}R}{nV_{\text{T}}}}e^{\frac {V_{D}}{nV_{\text{T}}}}e^{{\frac {I_{S}R}{nV_{\text{T}}}}\left({\frac {I}{I_{S}}}+1\right)}}$

y : ${\displaystyle V_{D}=V_{S}-IR}$

${\displaystyle we^{w}={\frac {I_{S}R}{nV_{\text{T}}}}e^{\frac {V_{S}}{nV_{\text{T}}}}e^{\frac {-IR}{nV_{\text{T}}}}e^{\frac {IRI_{S}}{nV_{\text{T}}I_{S}}}e^{\frac {I_{S}R}{nV_{\text{T}}}}}$

La reordenación de la ley del diodo en términos de w se convierte en:

${\displaystyle we^{w}={\frac {I_{S}R}{nV_{\text{T}}}}e^{\frac {V_{s}+I_{s}R}{nV_{\text{T}}}}}$,

que usando la función Lambert se convierte en ${\displaystyle W}$

${\displaystyle w=W\left({\frac {I_{S}R}{nV_{\text{T}}}}e^{\frac {V_{s}+I_{s}R}{nV_{\text{T}}}}\right)}$.

La solución explícita final es

${\displaystyle I={\frac {nV_{\text{T}}}{R}}W\left({\frac {I_{S}R}{nV_{\text{T}}}}e^{\frac {V_{s}+I_{s}R}{nV_{\text{T}}}}\right)-I_{S}}$.

Con las aproximaciones (válidas para los valores más comunes de los parámetros) y , esta solución pasa a ser ${\displaystyle I_{s}R\ll V_{S}}$ ${\displaystyle I/I_{S}\gg 1}$

${\displaystyle I\approx {\frac {nV_{\text{T}}}{R}}W\left({\frac {I_{S}R}{nV_{\text{T}}}}e^{\frac {V_{s}}{nV_{\text{T}}}}\right)}$.

Una vez determinada la corriente, el voltaje del diodo se puede encontrar usando cualquiera de las otras ecuaciones.

Para x grande, se puede aproximar mediante . Para parámetros físicos y resistencias comunes, serán del orden de 10 ⁴⁰ . ${\displaystyle W(x)}$ ${\displaystyle W(x)=\ln x-\ln \ln x+o(1)}$ ${\displaystyle {\frac {I_{S}R}{nV_{\text{T}}}}e^{\frac {V_{s}}{nV_{\text{T}}}}}$

solución iterativa

El voltaje del diodo se puede encontrar en términos de para cualquier conjunto particular de valores mediante un método iterativo usando una calculadora o computadora. ^[4] La ley de los diodos se reorganiza dividiendo por y sumando 1. La ley de los diodos se convierte en ${\displaystyle V_{D}}$ ${\displaystyle V_{S}}$ ${\displaystyle I_{S}}$

${\displaystyle e^{\frac {V_{D}}{nV_{\text{T}}}}={\frac {I}{I_{S}}}+1}$.

Al tomar logaritmos naturales de ambos lados, se elimina la exponencial y la ecuación queda

${\displaystyle {\frac {V_{D}}{nV_{\text{T}}}}=\ln \left({\frac {I}{I_{S}}}+1\right)}$.

Para cualquiera , esta ecuación determina . Sin embargo, también debe satisfacer la ecuación de la ley de Kirchhoff, dada anteriormente. Esta expresión se sustituye para obtener ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle V_{D}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle {\frac {V_{D}}{nV_{\text{T}}}}=\ln \left({\frac {V_{S}-V_{D}}{RI_{S}}}+1\right)}$,

o

${\displaystyle V_{D}=nV_{\text{T}}\ln \left({\frac {V_{S}-V_{D}}{RI_{S}}}+1\right)}$.

El voltaje de la fuente es un valor dado conocido, pero está en ambos lados de la ecuación, lo que obliga a una solución iterativa: se adivina un valor inicial y se coloca en el lado derecho de la ecuación. Realizando las distintas operaciones en el lado derecho obtenemos un nuevo valor para . Este nuevo valor ahora se sustituye en el lado derecho, y así sucesivamente. Si esta iteración converge, los valores de se acercan cada vez más a medida que continúa el proceso, y podemos detener la iteración cuando la precisión sea suficiente. Una vez encontrado, se puede encontrar a partir de la ecuación de la ley de Kirchhoff. ${\displaystyle V_{S}}$ ${\displaystyle V_{D}}$ ${\displaystyle V_{D}}$ ${\displaystyle V_{D}}$ ${\displaystyle V_{D}}$ ${\displaystyle V_{D}}$ ${\displaystyle I}$

A veces un procedimiento iterativo depende críticamente de la primera suposición. En este ejemplo, casi cualquier primera suposición servirá, digamos . A veces un procedimiento iterativo no converge en absoluto: en este problema una iteración basada en la función exponencial no converge, y es por eso que las ecuaciones se reordenaron para usar un logaritmo. Encontrar una formulación iterativa convergente es un arte y cada problema es diferente. ${\displaystyle V_{D}=600\,{\text{mV}}}$

Solución gráfica

Determinación gráfica del punto de funcionamiento mediante la intersección de la característica del diodo con la línea de carga resistiva.

El análisis gráfico es una forma sencilla de derivar una solución numérica a las ecuaciones trascendentales que describen el diodo. Como ocurre con la mayoría de los métodos gráficos, tiene la ventaja de una fácil visualización. Al trazar las curvas I - V , es posible obtener una solución aproximada con cualquier grado arbitrario de precisión. Este proceso es el equivalente gráfico de los dos enfoques anteriores, que son más susceptibles de implementación informática.

Este método traza las dos ecuaciones de corriente-voltaje en un gráfico y el punto de intersección de las dos curvas satisface ambas ecuaciones, dando el valor de la corriente que fluye a través del circuito y el voltaje a través del diodo. La figura ilustra dicho método.

Modelo lineal por partes

Una aproximación lineal por partes de la característica del diodo.

En la práctica, el método gráfico es complicado y poco práctico para circuitos complejos. Otro método para modelar un diodo se llama modelado lineal por partes (PWL) . En matemáticas, esto significa tomar una función y dividirla en varios segmentos lineales. Este método se utiliza para aproximar la curva característica del diodo como una serie de segmentos lineales. El diodo real se modela como 3 componentes en serie: un diodo ideal, una fuente de voltaje y una resistencia .

La figura muestra una curva IV de diodo real aproximada mediante un modelo lineal por partes de dos segmentos. Normalmente, el segmento de línea inclinado se elegiría tangente a la curva del diodo en el punto Q. Entonces la pendiente de esta línea viene dada por el recíproco de la resistencia de pequeña señal del diodo en el punto Q.

Diodo matemáticamente idealizado

IV característica de un diodo ideal.

En primer lugar, considere un diodo matemáticamente idealizado. En tal diodo ideal, si el diodo tiene polarización inversa, la corriente que fluye a través de él es cero. Este diodo ideal comienza a conducir a 0 V y para cualquier voltaje positivo fluye una corriente infinita y el diodo actúa como un cortocircuito. Las características IV de un diodo ideal se muestran a continuación:

Diodo ideal en serie con fuente de voltaje.

Ahora considere el caso en el que agregamos una fuente de voltaje en serie con el diodo en la forma que se muestra a continuación:

Diodo ideal con una fuente de voltaje en serie.

Cuando está polarizado en directa, el diodo ideal es simplemente un cortocircuito y cuando está en polarización inversa, un circuito abierto.

Si el ánodo del diodo está conectado a 0  V, el voltaje en el cátodo será Vt , por lo que el potencial en el cátodo será mayor que el potencial en el ánodo y el diodo tendrá polarización inversa. Para que el diodo conduzca, será necesario llevar el voltaje en el ánodo a Vt . Este circuito se aproxima al voltaje de corte presente en diodos reales. La característica IV combinada de este circuito se muestra a continuación:

Característica IV de un diodo ideal con una fuente de voltaje en serie.

El modelo de diodo de Shockley se puede utilizar para predecir el valor aproximado de . ${\displaystyle V_{t}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&I=I_{S}\left(e^{\frac {V_{D}}{n\cdot V_{\text{T}}}}-1\right)\\\Leftrightarrow {}&\ln \left(1+{\frac {I}{I_{S}}}\right)={\frac {V_{D}}{n\cdot V_{\text{T}}}}\\\Leftrightarrow {}&V_{D}=n\cdot V_{\text{T}}\ln \left(1+{\frac {I}{I_{S}}}\right)\approx n\cdot V_{\text{T}}\ln \left({\frac {I}{I_{S}}}\right)\\\Leftrightarrow {}&V_{D}\approx n\cdot V_{\text{T}}\cdot \ln {10}\cdot \log _{10}{\left({\frac {I}{I_{S}}}\right)}\end{aligned}}}$

Usando y : ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle T=25\,{\text{°C}}}$

${\displaystyle V_{D}\approx 0.05916\cdot \log _{10}{\left({\frac {I}{I_{S}}}\right)}}$

Los valores típicos de la corriente de saturación a temperatura ambiente son:

• ${\displaystyle I_{S}=10^{-12}}$para diodos de silicio;
• ${\displaystyle I_{S}=10^{-6}}$para diodos de germanio.

Como la variación de va con el logaritmo de la razón , su valor varía muy poco para una gran variación de la razón. El uso de logaritmos de base 10 hace que sea más fácil pensar en órdenes de magnitud. ${\displaystyle V_{D}}$ ${\displaystyle {\frac {I}{I_{S}}}}$

Para una corriente de 1,0  mA:

• ${\displaystyle V_{D}\approx 0.53\,{\text{V}}}$para diodos de silicio (9 órdenes de magnitud);
• ${\displaystyle V_{D}\approx 0.18\,{\text{V}}}$para diodos de germanio (3 órdenes de magnitud).

Para una corriente de 100  mA:

• ${\displaystyle V_{D}\approx 0.65\,{\text{V}}}$para diodos de silicio (11 órdenes de magnitud);
• ${\displaystyle V_{D}\approx 0.30\,{\text{V}}}$para diodos de germanio (5 órdenes de magnitud).

Para los diodos de silicio se utilizan habitualmente valores de 0,6 o 0,7 voltios. ^[5]

Diodo con fuente de voltaje y resistencia limitadora de corriente.

Lo último que se necesita es una resistencia para limitar la corriente, como se muestra a continuación:

Diodo ideal con una fuente de voltaje en serie y una resistencia.

La característica IV del circuito final se ve así:

Característica IV de un diodo ideal con una fuente de voltaje en serie y una resistencia.

El diodo real ahora se puede reemplazar con el diodo ideal combinado, la fuente de voltaje y la resistencia y luego el circuito se modela usando solo elementos lineales. Si el segmento de línea inclinada es tangente a la curva del diodo real en el punto Q , este circuito aproximado tiene el mismo circuito de pequeña señal en el punto Q que el diodo real.

Diodos PWL duales o modelo PWL de 3 líneas

Característica IV del modelo PWL estándar (marcada con triángulos rojos), como se describe anteriormente. Como referencia se muestra el modelo estándar de diodo Shockley (marcado con diamantes azules). Los parámetros de Shockley son I _s = 1e - 12 A, V _t = 0,0258 V

Cuando se desea una mayor precisión en el modelado de la característica de encendido del diodo, el modelo se puede mejorar duplicando el modelo PWL estándar. Este modelo utiliza dos diodos lineales por partes en paralelo, como una forma de modelar un solo diodo con mayor precisión.

Modelo PWL Diodo de 2 ramas. La rama superior tiene un voltaje directo más bajo y una resistencia más alta. Esto permite que el diodo se encienda más gradualmente y, en este sentido, modela con mayor precisión un diodo real. La rama inferior tiene un voltaje directo más alto y una resistencia más baja, lo que permite una corriente alta a un voltaje alto.

Gráfico de la característica IV de este modelo (marcado con triángulos rojos), en comparación con el modelo estándar de diodo Shockley (marcado con diamantes azules). Los parámetros de Shockley son I _s = 1e - 12 A, V _t = 0,0258 V

Modelado de pequeña señal

Resistencia

Usando la ecuación de Shockley, la resistencia del diodo de señal pequeña del diodo se puede derivar alrededor de algún punto de operación ( punto Q ) donde está la corriente de polarización de CC y el voltaje aplicado en el punto Q es . ^[6] Para comenzar, se encuentra la conductancia de señal pequeña del diodo, es decir, el cambio en la corriente en el diodo causado por un pequeño cambio en el voltaje a través del diodo, dividido por este cambio de voltaje, a saber: ${\displaystyle r_{D}}$ ${\displaystyle I_{Q}}$ ${\displaystyle V_{Q}}$ ${\displaystyle g_{D}}$

${\displaystyle g_{D}=\left.{\frac {dI}{dV}}\right|_{Q}={\frac {I_{s}}{n\cdot V_{\text{T}}}}e^{\frac {V_{Q}}{n\cdot V_{\text{T}}}}\approx {\frac {I_{Q}}{n\cdot V_{\text{T}}}}}$.

La última aproximación supone que la corriente de polarización es lo suficientemente grande como para que se pueda ignorar el factor 1 entre paréntesis de la ecuación del diodo de Shockley. Esta aproximación es precisa incluso con voltajes bastante pequeños, porque el voltaje térmico a 300 K tiende a ser grande, lo que significa que la exponencial es muy grande. ${\displaystyle I_{Q}}$ ${\displaystyle V_{\text{T}}\approx 25\,{\text{mV}}}$  ${\displaystyle V_{Q}/V_{\text{T}}}$

Teniendo en cuenta que la resistencia de señal pequeña es la inversa de la conductancia de señal pequeña que acabamos de encontrar, la resistencia del diodo es independiente de la corriente alterna, pero depende de la corriente continua y se expresa como ${\displaystyle r_{D}}$

${\displaystyle r_{D}={\frac {n\cdot V_{\text{T}}}{I_{Q}}}}$.

Capacidad

Se sabe que la carga en el diodo que transporta corriente es ${\displaystyle I_{Q}}$

${\displaystyle Q=I_{Q}\tau _{F}+Q_{J}}$,

donde es el tiempo de tránsito directo de los portadores de carga: ^[6] El primer término de la carga es la carga en tránsito a través del diodo cuando fluye la corriente. El segundo término es la carga almacenada en la propia unión cuando se la ve como un simple capacitor ; es decir, como un par de electrodos con cargas opuestas. Es la carga almacenada en el diodo simplemente por tener un voltaje a través de él, independientemente de la corriente que conduzca. ${\displaystyle \tau _{F}}$ ${\displaystyle I_{Q}}$

De manera similar a antes, la capacitancia del diodo es el cambio en la carga del diodo con el voltaje del diodo:

${\displaystyle C_{D}={\frac {dQ}{dV_{Q}}}={\frac {dI_{Q}}{dV_{Q}}}\tau _{F}+{\frac {dQ_{J}}{dV_{Q}}}\approx {\frac {I_{Q}}{V_{\text{T}}}}\tau _{F}+C_{J}}$,

donde es la capacitancia de la unión y el primer término se llama capacitancia de difusión , porque está relacionado con la corriente que se difunde a través de la unión. ${\displaystyle C_{J}={\frac {dQ_{J}}{dV_{Q}}}}$

Variación del voltaje directo con la temperatura.

La ecuación del diodo de Shockley tiene una exponencial de , lo que llevaría a esperar que el voltaje directo aumente con la temperatura. De hecho, generalmente este no es el caso: a medida que aumenta la temperatura, aumenta la corriente de saturación y este efecto domina. Entonces, a medida que el diodo se calienta , el voltaje directo (para una corriente determinada) disminuye . ${\displaystyle V_{D}/(kT/q)}$ ${\displaystyle I_{S}}$

A continuación se muestran algunos datos experimentales detallados, ^[7] que muestran esto para un diodo de silicio 1N4005. De hecho, algunos diodos de silicio se utilizan como sensores de temperatura; por ejemplo, la serie CY7 de OMEGA tiene una tensión directa de 1,02  V en nitrógeno líquido (77  K), 0,54  V a temperatura ambiente y 0,29  V a 100 °C. ^[8]

Además, hay un pequeño cambio en la banda prohibida del parámetro del material con la temperatura. Para los LED, este cambio de banda prohibida también cambia su color: se mueven hacia el extremo azul del espectro cuando se enfrían.

Dado que el voltaje directo del diodo cae a medida que aumenta su temperatura, esto puede provocar un descontrol térmico debido al acaparamiento de corriente cuando se conecta en paralelo en circuitos de transistores bipolares (ya que la unión base-emisor de un BJT actúa como un diodo), donde una reducción en el El voltaje directo del emisor de base conduce a un aumento en la disipación de potencia del colector, lo que a su vez reduce aún más el voltaje directo del emisor de base requerido.

Ver también

• Transistor de unión bipolar
• Modelado de dispositivos semiconductores

Referencias

1. B. Van Zeghbroeck (2011). "Uniones pn: características IV de diodos pn reales". Archivado desde el original el 15 de junio de 2021 . Consultado el 2 de noviembre de 2020 .
2. . Popadic, Miloš; Lorito, Gianpaolo; Nanver, Lis K. (2009). "Modelo analítico de características I - V de uniones pn arbitrariamente poco profundas". Transacciones IEEE en dispositivos electrónicos . 56 (1): 116-125. Código bibliográfico : 2009ITED...56..116P. doi :10.1109/TED.2008.2009028.
3. Banwell, TC; Jayakumar, A. (2000). "Solución analítica exacta para el flujo de corriente a través de un diodo con resistencia en serie". Letras de Electrónica . 36 (4): 291. Código bibliográfico : 2000ElL....36..291B. doi :10.1049/el:20000301.
4. . AS Sedra y KC Smith (2004). Circuitos microelectrónicos (Quinta ed.). Nueva York: Oxford. Ejemplo 3.4 p. 154.ISBN​ 978-0-19-514251-8.
5. Kal, Santiram (2004). "Capitulo 2". Electrónica básica: dispositivos, circuitos y fundamentos de TI (Sección 2.5: Modelo de circuito de un diodo de unión PN ed.). Prentice-Hall de la India Pvt.Ltd. ISBN 978-81-203-1952-3.
6. RC Jaeger y TN Blalock (2004). Diseño de circuitos microelectrónicos (segunda ed.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-232099-2.
7. "Voltaje directo de la familia de diodos 1n400x". www.cliftonlaboratories.com . Laboratorios Clifton. 14 de abril de 2009. Archivado desde el original el 6 de septiembre de 2013 . Consultado el 10 de febrero de 2019 .
8. http://www.omega.com/Temperature/pdf/CY7.pdf hoja de datos