Ecuación del diodo Shockley

Ecuación de ingeniería eléctrica

"Curvas de corriente-voltaje de la ley del diodo a 25 °C, 50 °C y dos factores de idealidad ". La escala logarítmica utilizada para el gráfico inferior es útil para expresar la relación exponencial de la ecuación .

La ecuación del diodo de Shockley , o ley del diodo , que lleva el nombre del co-inventor del transistor William Shockley de Bell Labs , modela la relación exponencial corriente-voltaje (I-V) de diodos semiconductores con polarización directa o polarización inversa de corriente constante moderada :

${\displaystyle I_{\text{D}}=I_{\text{S}}\left(e^{\frac {V_{\text{D}}}{nV_{\text{T}}}}-1\right),}$

dónde

${\displaystyle I_{\text{D}}}$es la corriente del diodo,

${\displaystyle I_{\text{S}}}$es la corriente de saturación de polarización inversa (o corriente de escala),

${\displaystyle V_{\text{D}}}$es el voltaje a través del diodo,

${\displaystyle V_{\text{T}}}$es el voltaje térmico , y

${\displaystyle n}$Es el factor de idealidad , también conocido como factor de calidad o coeficiente de emisión .

La ecuación se llama ecuación del diodo ideal de Shockley cuando el factor de idealidad es igual a 1, por lo que a veces se omite. El factor de idealidad suele variar de 1 a 2 (aunque en algunos casos puede ser mayor), según el proceso de fabricación y el material semiconductor . El factor de idealidad se agregó para tener en cuenta las uniones imperfectas observadas en transistores reales, principalmente debido a la recombinación de portadores cuando los portadores de carga cruzan la región de agotamiento . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

El voltaje térmico es de aproximadamente 25,852 mV a 300 K (27 °C; 80 °F). A una temperatura arbitraria , es una constante conocida: ${\displaystyle V_{\text{T}}}$ 

${\displaystyle V_{\text{T}}={\frac {kT}{q}},}$

dónde

${\displaystyle k}$es la constante de Boltzmann ,

${\displaystyle T}$es la temperatura absoluta de la unión p-n, y

${\displaystyle q}$es la carga elemental (la magnitud de la carga de un electrón ).

La corriente de saturación inversa no es constante para un dispositivo determinado, sino que varía con la temperatura; generalmente de manera más significativa que , por lo que normalmente disminuye a medida que aumenta. ${\displaystyle I_{\text{S}}}$ ${\displaystyle V_{\text{T}}}$ ${\displaystyle V_{\text{D}}}$ ${\displaystyle T}$

Bajo polarización inversa , el término exponencial de la ecuación del diodo está cerca de 0, por lo que la corriente está cerca del valor de corriente inversa algo constante (aproximadamente un picoamperio para diodos de silicio o un microamperio para diodos de germanio, ^[1] aunque esto es obviamente una función del tamaño) . ${\displaystyle -I_{\text{S}}}$

Para voltajes de polarización directa moderados , el exponencial se vuelve mucho mayor que 1, ya que el voltaje térmico es muy pequeño en comparación. En la ecuación del diodo es entonces insignificante, por lo que la corriente directa del diodo se aproximará ${\displaystyle -1}$

${\displaystyle I_{\text{S}}e^{\frac {V_{\text{D}}}{nV_{\text{T}}}}.}$

El uso de la ecuación del diodo en problemas de circuitos se ilustra en el artículo sobre modelado de diodos .

Limitaciones

La resistencia interna provoca la "nivelación" de la curva I-V de un diodo real con una polarización directa alta. La ecuación de Shockley no modela esto, pero agregar una resistencia en serie sí lo hará.

La región de ruptura inversa (particularmente de interés para los diodos Zener ) no está modelada por la ecuación de Shockley.

La ecuación de Shockley no modela el ruido (como el ruido de Johnson-Nyquist procedente de la resistencia interna o el ruido de disparo ).

La ecuación de Shockley es una relación de corriente constante (estado estable) y, por lo tanto, no tiene en cuenta la respuesta transitoria del diodo , que incluye la influencia de su unión interna y capacitancia de difusión y el tiempo de recuperación inversa .

Derivación

Shockley deriva una ecuación para el voltaje a través de una unión pn en un extenso artículo publicado en 1949. ^[2] Posteriormente, proporciona una ecuación correspondiente para la corriente en función del voltaje bajo supuestos adicionales, que es la ecuación que llamamos ecuación del diodo ideal de Shockley. . ^[3] Lo llama "una fórmula de rectificación teórica que proporciona la máxima rectificación", con una nota a pie de página que hace referencia a un artículo de Carl Wagner , Physikalische Zeitschrift 32 , págs. 641–645 (1931).

Para derivar su ecuación para el voltaje, Shockley sostiene que la caída de voltaje total se puede dividir en tres partes:

• la caída del nivel cuasi-Fermi de los huecos desde el nivel del voltaje aplicado en el terminal p hasta su valor en el punto donde el dopaje es neutro (que podemos llamar la unión),
• la diferencia entre el nivel cuasi-Fermi de los huecos en la unión y el de los electrones en la unión,
• la caída del nivel cuasi-Fermi de los electrones desde la unión hasta el terminal n.

Muestra que el primero y el tercero se pueden expresar como una resistencia multiplicada por la corriente: en cuanto al segundo, la diferencia entre los niveles cuasi-Fermi en la unión, dice que podemos estimar la corriente que fluye a través del diodo a partir de esta diferencia. Señala que la corriente en el terminal p son todos los huecos, mientras que en el terminal n son todos los electrones, y la suma de estos dos es la corriente total constante. Entonces, la corriente total es igual a la disminución de la corriente del orificio de un lado del diodo al otro. Esta disminución se debe a un exceso de recombinación de pares electrón-hueco sobre la generación de pares electrón-hueco. La tasa de recombinación es igual a la tasa de generación cuando está en equilibrio, es decir, cuando los dos niveles cuasi-Fermi son iguales. Pero cuando los niveles cuasi-Fermi no son iguales, entonces la tasa de recombinación es multiplicada por la tasa de generación. Luego asumimos que la mayor parte del exceso de recombinación (o disminución en la corriente de huecos) tiene lugar en una capa que pasa por una longitud de difusión de un hueco en el material n y una longitud de difusión de electrones en el material p, y que la diferencia entre los cuasi-Fermi Los niveles son constantes en esta capa en Entonces encontramos que la corriente total, o la caída en la corriente del agujero, es ${\displaystyle I_{\text{D}}R_{1}.}$ ${\displaystyle e^{(\phi _{\text{p}}-\phi _{\text{n}})/V_{\text{T}}}}$ ${\displaystyle L_{\text{p}}}$ ${\displaystyle L_{\text{n}}}$ ${\displaystyle V_{\text{J}}.}$

${\displaystyle I_{\text{D}}=I_{\text{S}}\left(e^{\frac {V_{\text{J}}}{V_{\text{T}}}}-1\right),}$

dónde

${\displaystyle I_{\text{S}}=gq(L_{\text{p}}+L_{\text{n}}),}$

y es la tasa de generación. Podemos resolver en términos de : ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle V_{\text{J}}}$ ${\displaystyle I_{\text{D}}}$

${\displaystyle V_{\text{J}}=V_{\text{T}}\ln \left(1+{\frac {I_{\text{D}}}{I_{\text{S}}}}\right),}$

y la caída de voltaje total es entonces

${\displaystyle V=I_{\text{D}}R_{1}+V_{\text{T}}\ln \left(1+{\frac {I_{\text{D}}}{I_{\text{S}}}}\right).}$

Cuando asumimos que es pequeño, obtenemos la ecuación del diodo ideal de Shockley. ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle V=V_{\text{J}}}$

La pequeña corriente que fluye bajo una alta polarización inversa es entonces el resultado de la generación térmica de pares electrón-hueco en la capa. Luego, los electrones fluyen hacia el terminal n y los huecos hacia el terminal p. La concentración de electrones y huecos en la capa es tan pequeña que la recombinación allí es insignificante.

En 1950, Shockley y sus compañeros publicaron un breve artículo que describía un diodo de germanio que seguía de cerca la ecuación ideal. ^[4]

En 1954, Bill Pfann y W. van Roosbroek (que también pertenecían a Bell Telephone Laboratories) informaron que, si bien la ecuación de Shockley era aplicable a ciertas uniones de germanio, para muchas uniones de silicio la corriente (bajo una polarización directa apreciable) era proporcional a donde A tenía una valor tan alto como 2 o 3. ^[5] Este es el factor de idealidad anterior. ${\displaystyle e^{V_{\text{J}}/AV_{\text{T}}},}$ ${\displaystyle n}$

Conversión de energía fotovoltaica

En 1981, Alexis de Vos y Herman Pauwels demostraron que un análisis más cuidadoso de la mecánica cuántica de una unión, bajo ciertas suposiciones, da una característica de corriente versus voltaje de la forma

${\displaystyle I_{\text{D}}(V)=-qA[F_{i}-2F_{o}(V)],}$

en la que A es el área de la sección transversal de la unión, y F _i es el número de fotones entrantes por unidad de área, por unidad de tiempo, con energía por encima de la energía de la banda prohibida, y F _o ( V ) son fotones salientes, dado por ^[6]

${\displaystyle F_{o}(V)=\int _{\nu _{g}}^{\infty }{\frac {1}{\exp \left({\frac {h\nu -qV}{kT_{c}}}\right)-1}}{\frac {2\pi \nu ^{2}}{c^{2}}}\,d\nu .}$

Se necesita el factor 2 que multiplica el flujo saliente porque los fotones se emiten desde ambos lados, pero se supone que el flujo entrante proviene de un solo lado. Aunque el análisis se realizó para células fotovoltaicas bajo iluminación, se aplica también cuando la iluminación es simplemente radiación térmica de fondo, siempre que se utilice también un factor de 2 para este flujo entrante. El análisis da una expresión más rigurosa para los diodos ideales en general, excepto que supone que la celda es lo suficientemente gruesa como para poder producir este flujo de fotones. Cuando la iluminación es solo radiación térmica de fondo, la característica es

${\displaystyle I_{\text{D}}(V)=2q[F_{o}(V)-F_{o}(0)].}$

Tenga en cuenta que, a diferencia de la ley de Shockley, la corriente llega al infinito a medida que el voltaje llega al voltaje de separación hν _g /q . Por supuesto, esto requeriría un espesor infinito para proporcionar una cantidad infinita de recombinación.

Esta ecuación se revisó recientemente para tener en cuenta la nueva escala de temperatura en la corriente revisada utilizando un modelo reciente ^[7] para diodos Schottky basados ​​en materiales 2D. ${\displaystyle I_{\text{S}}}$

Referencias

1. McAllister, Willy (14 de noviembre de 2022). "Ecuación de diodo". Números giratorios . Consultado el 17 de enero de 2023 .
2. William Shockley (julio de 1949). "La teoría de las uniones pn en semiconductores y transistores de unión pn". La revista técnica de Bell System . 28 (3): 435–489. doi :10.1002/j.1538-7305.1949.tb03645.x.. Ecuación 3.13 en la página 454.
3. Ibídem. pag. 456.
4. FS Goucher; et al. (diciembre de 1950). "Teoría y experimento para una unión pn de germanio". Revisión física . 81 . doi : 10.1103/PhysRev.81.637.2.
5. WG Pfann ; W. van Roosbroek (noviembre de 1954). "Fuentes de energía de unión p-n radiactivas y fotoeléctricas". Revista de Física Aplicada . 25 (11): 1422-1434. Código bibliográfico : 1954JAP....25.1422P. doi : 10.1063/1.1721579.
6. A. De Vos y H. Pauwels (1981). "Sobre el límite termodinámico de la conversión de energía fotovoltaica". Aplica. Física . 25 (2): 119-125. Código bibliográfico : 1981ApPhy..25..119D. doi :10.1007/BF00901283. S2CID  119693148.. Apéndice.
7. YS Ang, HY Yang y LK Ang (agosto de 2018). "Escalado universal en heteroestructuras Schottky laterales a nanoescala". Física. Rev. Lett. 121 : 056802.