Teoría completa del modelo

En teoría de modelos , una teoría de primer orden se denomina modelo completo si cada incrustación de sus modelos es una incrustación elemental . De manera equivalente, cada fórmula de primer orden es equivalente a una fórmula universal. Esta noción fue introducida por Abraham Robinson .

Modelo complementario y finalización del modelo

Un compañero de una teoría T es una teoría T * tal que cada modelo de T puede ser incorporado a un modelo de T * y viceversa.

Un modelo acompañante de una teoría T es un modelo acompañante de T que es modelo completo. Robinson demostró que una teoría tiene como máximo un modelo acompañante. No todas las teorías son acompañables por modelos, por ejemplo, la teoría de grupos. Sin embargo, si T es una teoría categórica , entonces siempre tiene un modelo acompañante. ^[1]^[2] $estilo de visualización {\aleph _{0}}$

Un modelo de completitud para una teoría T es un modelo complementario T * tal que para cualquier modelo M de T , la teoría de T * junto con el diagrama de M está completa . En términos generales, esto significa que cada modelo de T se puede incorporar en un modelo de T * de una manera única.

Si T * es un modelo compañero de T entonces las siguientes condiciones son equivalentes: ^[3]

T * es un modelo de compleción de T
T tiene la propiedad de amalgamación .

Si T también tiene axiomatización universal, ambos anteriores también son equivalentes a:

T * tiene eliminación de cuantificadores

Ejemplos

Cualquier teoría con eliminación de cuantificadores es un modelo completo.
La teoría de cuerpos algebraicamente cerrados es la completitud del modelo de la teoría de cuerpos. Es un modelo completo, pero no está completa.
El modelo que completa la teoría de relaciones de equivalencia es la teoría de relaciones de equivalencia con infinitas clases de equivalencia, cada una de las cuales contiene un número infinito de elementos.
La teoría de campos reales cerrados , en el lenguaje de los anillos ordenados , es un modelo de complementación de la teoría de campos ordenados (o incluso de dominios ordenados ).
La teoría de campos reales cerrados, en el lenguaje de los anillos , es el modelo complementario de la teoría de campos formalmente reales , pero no es una complementación del modelo.

No-ejemplos

La teoría de órdenes lineales densos con un primer y un último elemento es completa pero no es un modelo completo.
La teoría de grupos (en un lenguaje con símbolos para la identidad, el producto y las inversas) tiene la propiedad de amalgama pero no tiene un modelo acompañante.

Condición suficiente para la completitud de las teorías de modelos completos

Si T es una teoría modelo completa y hay un modelo de T que se integra en cualquier modelo de T , entonces T es completa. ^[4]

Notas

^ Saracino 1973.
^ Simmons 1976.
^ Chang y Keisler 2012.
^ Marcador 2002.

Referencias

Chang, Chen Chung ; Keisler, H. Jerome (1990) [1973]. Teoría de modelos . Estudios de lógica y fundamentos de las matemáticas (3.ª ed.). Elsevier. ISBN 978-0-444-88054-3.

Chang, Chen Chung ; Keisler, H. Jerome (2012) [1990]. Model Theory . Dover Books on Mathematics (3.ª ed.). Dover Publications . pág. 672. ISBN 978-0-486-48821-9.

Hirschfeld, Joram; Wheeler, William H. (1975). "Compleciones de modelos y modelos complementarios". Forzamiento, aritmética, anillos de división . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 454. Springer. págs. 44–54. doi :10.1007/BFb0064085. ISBN. 978-3-540-07157-0.Sr . 0389581.

Marker, David (2002). Teoría de modelos: una introducción . Textos de posgrado en matemáticas 217. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98760-6.

Saracino, D. (agosto de 1973). "Compañeros de modelo para teorías categóricas ℵ _{0 ".}Actas de la American Mathematical Society . 39 (3): 591–598.

Simmons, H. (1976). "Estructuras existencialmente cerradas, grandes y pequeñas". Journal of Symbolic Logic . 41 (2): 379–390.