En geometría algebraica , el programa de modelos mínimos forma parte de la clasificación biracional de variedades algebraicas . Su objetivo es construir un modelo biracional de cualquier variedad proyectiva compleja que sea lo más simple posible. El tema tiene su origen en la geometría biracional clásica de superficies estudiada por la escuela italiana , y actualmente es un área de investigación activa dentro de la geometría algebraica.
La idea básica de la teoría es simplificar la clasificación biracional de variedades encontrando, en cada clase de equivalencia biracional, una variedad que sea "lo más simple posible". El significado preciso de esta frase ha evolucionado con el desarrollo del tema; originalmente, para superficies, significaba encontrar una variedad suave para la cual cualquier morfismo biracional con una superficie suave es un isomorfismo .
En la formulación moderna, el objetivo de la teoría es el siguiente. Supongamos que se nos da una variedad proyectiva , que por simplicidad se supone que no es singular. Hay dos casos basados en su dimensión de Kodaira , : [1]
La cuestión de si las variedades y que aparecen arriba son no singulares es importante. Parece natural esperar que si empezamos con , siempre podemos encontrar un modelo mínimo o espacio de fibra de Fano dentro de la categoría de variedades suaves. Sin embargo, esto no es cierto, por lo que se hace necesario considerar también las variedades singulares. Las singularidades que aparecen se denominan singularidades terminales .
Toda curva algebraica compleja irreducible es biracional con respecto a una única curva proyectiva suave, por lo que la teoría de las curvas es trivial. El caso de las superficies fue investigado por primera vez por los geómetras de la escuela italiana alrededor de 1900; el teorema de contracción de Guido Castelnuovo describe esencialmente el proceso de construcción de un modelo mínimo de cualquier superficie. El teorema establece que cualquier morfismo biracional no trivial debe contraer una curva −1 hasta un punto suave y, a la inversa, cualquier curva de este tipo puede contraerse suavemente. Aquí, una curva −1 es una curva racional suave C con autointersección Cualquier curva de este tipo debe tener lo que muestra que si la clase canónica es nef, entonces la superficie no tiene curvas −1.
El teorema de Castelnuovo implica que para construir un modelo mínimo para una superficie lisa, simplemente contraemos todas las curvas −1 de la superficie, y la variedad resultante Y es un modelo mínimo (único) con K nef, o una superficie reglada (que es lo mismo que un espacio de fibras de Fano bidimensional, y es un plano proyectivo o una superficie reglada sobre una curva). En el segundo caso, la superficie reglada birracional a X no es única, aunque hay una única isomorfa al producto de la línea proyectiva y una curva. Un punto un tanto sutil es que, aunque una superficie puede tener infinitas curvas −1, solo es necesario contraer un número finito de ellas para obtener una superficie sin curvas −1.
En dimensiones mayores que 2, la teoría se vuelve mucho más compleja. En particular, existen variedades suaves que no son biracionales a ninguna variedad suave con clase canónica nef . El principal avance conceptual de la década de 1970 y principios de la de 1980 fue que la construcción de modelos mínimos todavía es factible, siempre que se tenga cuidado con los tipos de singularidades que ocurren. (Por ejemplo, queremos decidir si es nef, por lo que se deben definir los números de intersección. Por lo tanto, como mínimo, nuestras variedades deben ser un divisor de Cartier para algún entero positivo ).
El primer resultado clave es el teorema del cono de Shigefumi Mori , que describe la estructura del cono de curvas de . Brevemente, el teorema muestra que a partir de , se puede construir inductivamente una secuencia de variedades , cada una de las cuales está "más cerca" que la anterior de tener nef. Sin embargo, el proceso puede encontrar dificultades: en algún punto la variedad puede volverse "demasiado singular". La solución conjetural a este problema es el flip , una especie de operación de cirugía de codimensión 2 en . No está claro que existan los flips requeridos, ni que siempre terminen (es decir, que se alcance un modelo mínimo en un número finito de pasos). Mori (1988) mostró que los flips existen en el caso tridimensional.
La existencia de los cambios logarítmicos más generales fue establecida por Vyacheslav Shokurov en las dimensiones tres y cuatro. Posteriormente, Caucher Birkar , Paolo Cascini, Christopher Hacon y James McKernan lo generalizaron a dimensiones superiores basándose en trabajos anteriores de Shokurov y Hacon, y de McKernan. También demostraron otros problemas, incluida la generación finita de anillos logarítmicos canónicos y la existencia de modelos mínimos para variedades de tipo logarítmico general.
El problema de la terminación de los cambios de registro en dimensiones superiores sigue siendo objeto de investigación activa.
