Resultantes de estrés

Las resultantes de tensión son representaciones simplificadas del estado de tensión en elementos estructurales como vigas , placas o láminas . ^[1] La geometría de elementos estructurales típicos permite simplificar el estado de tensión interna debido a la existencia de una dirección de "espesor" en la que el tamaño del elemento es mucho menor que en otras direcciones. Como consecuencia, los tres componentes de tracción que varían de un punto a otro en una sección transversal pueden reemplazarse con un conjunto de fuerzas resultantes y momentos resultantes. Estas son las resultantes de tensión (también llamadas fuerzas de membrana , fuerzas de corte y momento de flexión ) que pueden usarse para determinar el estado de tensión detallado en el elemento estructural. Un problema tridimensional puede entonces reducirse a un problema unidimensional (para vigas) o un problema bidimensional (para placas y láminas).

Las resultantes de tensión se definen como integrales de la tensión sobre el espesor de un elemento estructural. Las integrales se ponderan con potencias enteras de la coordenada de espesor z (o x ₃ ). Las resultantes de tensión se definen de esta manera para representar el efecto de la tensión como una fuerza de membrana N (potencia cero en z ), momento de flexión M (potencia 1) sobre una viga o una lámina (estructura) . Las resultantes de tensión son necesarias para eliminar la dependencia de z de la tensión de las ecuaciones de la teoría de placas y láminas.

Resultantes de tensiones en vigas

Componentes de tensión en las superficies de un elemento estructural.

Considere el elemento que se muestra en la figura adyacente. Suponga que la dirección del espesor es x ₃ . Si el elemento se ha extraído de una viga, el ancho y el espesor son comparables en tamaño. Sea x ₂ la dirección del ancho. Entonces x ₁ es la dirección del largo.

Fuerzas de membrana y de corte

El vector de fuerza resultante debido a la tracción en la sección transversal ( A ) perpendicular al eje x ₁ es

${\displaystyle \mathbf {F} _{1}=\int _{A}(\sigma _{11}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{12}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{13}\mathbf {e} _{3})\,dA}$

donde e ₁ , e ₂ , e ₃ son los vectores unitarios a lo largo de x ₁ , x ₂ y x ₃ , respectivamente. Definimos las resultantes de tensión de manera que

${\displaystyle \mathbf {F} _{1}=:N_{11}\mathbf {e} _{1}+V_{2}\mathbf {e} _{2}+V_{3}\mathbf {e} _{3}}$

donde N ₁₁ es la fuerza de membrana y V ₂ , V ₃ son las fuerzas de corte. Más explícitamente, para una viga de altura t y ancho b ,

${\displaystyle N_{11}=\int _{-b/2}^{b/2}\int _{-t/2}^{t/2}\sigma _{11}\,dx_{3}\,dx_{2}\,.}$

De manera similar, las resultantes de la fuerza cortante son

${\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{2}\\V_{3}\end{bmatrix}}=\int _{-b/2}^{b/2}\int _{-t/2}^{t/2}{\begin{bmatrix}\sigma _{12}\\\sigma _{13}\end{bmatrix}}\,dx_{3}\,dx_{2}\,.}$

Momentos de flexión

El vector del momento flector debido a las tensiones en la sección transversal A perpendicular al eje x ₁ está dado por

${\displaystyle \mathbf {M} _{1}=\int _{A}\mathbf {r} \times (\sigma _{11}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{12}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{13}\mathbf {e} _{3})\,dA\quad {\text{where}}\quad \mathbf {r} =x_{2}\,\mathbf {e} _{2}+x_{3}\,\mathbf {e} _{3}\,.}$

Ampliando esta expresión tenemos,

${\displaystyle \mathbf {M} _{1}=\int _{A}\left(-x_{2}\sigma _{11}\mathbf {e} _{3}+x_{2}\sigma _{13}\mathbf {e} _{1}+x_{3}\sigma _{11}\mathbf {e} _{2}-x_{3}\sigma _{12}\mathbf {e} _{1}\right)dA=:M_{11}\,\mathbf {e} _{1}+M_{12}\,\mathbf {e} _{2}+M_{13}\,\mathbf {e} _{3}\,.}$

Podemos escribir los componentes resultantes del momento flector como

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{12}\\M_{13}\end{bmatrix}}:=\int _{-b/2}^{b/2}\int _{-t/2}^{t/2}{\begin{bmatrix}x_{2}\sigma _{13}-x_{3}\sigma _{12}\\x_{3}\sigma _{11}\\-x_{2}\sigma _{11}\end{bmatrix}}\,dx_{3}\,dx_{2}\,.}$

Resultantes de tensión en placas y láminas

_{En el caso} de las placas y láminas, las dimensiones x1 y x2 son mucho _mayores que el tamaño en la _{dirección x3} . La integración sobre el área de la sección transversal tendría que incluir una de las dimensiones mayores y conduciría a un modelo demasiado simple para los cálculos prácticos. Por este motivo, las tensiones solo se integran a través del espesor y las resultantes de las tensiones se expresan normalmente en unidades de fuerza por unidad de longitud (o momento por unidad de longitud ) en lugar de la fuerza y ​​el momento reales, como es el caso de las vigas.

Fuerzas de membrana y de corte

Para las placas y láminas debemos considerar dos secciones transversales. La primera es perpendicular al eje x ₁ y la segunda es perpendicular al eje x _2. Siguiendo el mismo procedimiento que para las vigas, y teniendo en cuenta que las resultantes ahora son por unidad de longitud, tenemos

${\displaystyle \mathbf {F} _{1}=\int _{-t/2}^{t/2}(\sigma _{11}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{12}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{13}\mathbf {e} _{3})\,dx_{3}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {F} _{2}=\int _{-t/2}^{t/2}(\sigma _{12}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{22}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{23}\mathbf {e} _{3})\,dx_{3}}$

Podemos escribir lo anterior como

${\displaystyle \mathbf {F} _{1}=N_{11}\mathbf {e} _{1}+N_{12}\mathbf {e} _{2}+V_{1}\mathbf {e} _{3}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {F} _{2}=N_{12}\mathbf {e} _{1}+N_{22}\mathbf {e} _{2}+V_{2}\mathbf {e} _{3}}$

donde las fuerzas de membrana se definen como

${\displaystyle {\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}:=\int _{-t/2}^{t/2}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,dx_{3}}$

y las fuerzas cortantes se definen como

${\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}}=\int _{-t/2}^{t/2}{\begin{bmatrix}\sigma _{13}\\\sigma _{23}\end{bmatrix}}\,dx_{3}\,.}$

Momentos de flexión

Para las resultantes del momento flector, tenemos

${\displaystyle \mathbf {M} _{1}=\int _{-t/2}^{t/2}\mathbf {r} \times (\sigma _{11}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{12}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{13}\mathbf {e} _{3})\,dx_{3}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {M} _{2}=\int _{-t/2}^{t/2}\mathbf {r} \times (\sigma _{12}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{22}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{23}\mathbf {e} _{3})\,dx_{3}}$

donde r = x ₃ e ₃ . Desarrollando estas expresiones tenemos,

${\displaystyle \mathbf {M} _{1}=\int _{-t/2}^{t/2}[-x_{3}\sigma _{12}\mathbf {e} _{1}+x_{3}\sigma _{11}\mathbf {e} _{2}]\,dx_{3}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {M} _{2}=\int _{-t/2}^{t/2}[-x_{3}\sigma _{22}\mathbf {e} _{1}+x_{3}\sigma _{12}\mathbf {e} _{2}]\,dx_{3}}$

Definir las resultantes del momento flector tales que

${\displaystyle \mathbf {M} _{1}=:-M_{12}\mathbf {e} _{1}+M_{11}\mathbf {e} _{2}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {M} _{2}=:-M_{22}\mathbf {e} _{1}+M_{12}\mathbf {e} _{2}\,.}$

Entonces, las resultantes del momento flector se dan por

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}:=\int _{-t/2}^{t/2}x_{3}\,{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,dx_{3}\,.}$

Éstos son los resultantes que a menudo se encuentran en la literatura, pero se debe tener cuidado para asegurarse de que los signos se interpreten correctamente.

Véase también

• Fuerza de corte
• Momento flector
• Teoría de placas
• Doblado de placas
• Teoría de las placas de Kirchhoff-Love
• Teoría de placas de Mindlin-Reissner
• Vibración de placas

Referencias

1. Barbero, Ever J. (2010). Introducción al diseño de materiales compuestos. Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1-4200-7915-9.