Medida Sinaí-Ruelle-Bowen

Medida invariante que muestra una forma menos restringida de ergodicidad.

En la disciplina matemática de la teoría ergódica , una medida Sinai–Ruelle–Bowen (SRB) es una medida invariante que se comporta de manera similar a, pero no es una medida ergódica . Para ser ergódico, el promedio temporal tendría que ser igual al promedio espacial para casi todos los estados iniciales , siendo el espacio de fase . ^[1] Para una medida SRB , basta con que la condición de ergodicidad sea válida para los estados iniciales en un conjunto de medidas de Lebesgue positivas . ^[2] ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle B(\mu )}$

Las ideas iniciales relativas a las medidas SRB fueron introducidas por Yakov Sinai , David Ruelle y Rufus Bowen en el área menos general de los difeomorfismos de Anosov y los atractores del axioma A. ^{[3] [4] [5]}

Definición

Sea un mapa . Entonces una medida definida en es una medida SRB si existen medidas de Lebesgue positivas, y con la misma medida de Lebesgue, tales que: ^{[2] [6]} ${\displaystyle T:X\rightarrow X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle V\subset U}$

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n}\varphi (T^{i}x)=\int _{U}\varphi \,d\mu }$

para toda y cada función continua . ${\displaystyle x\in V}$ ${\displaystyle \varphi :U\rightarrow \mathbb {R} }$

Se puede ver la medida SRB como una que satisface las conclusiones del teorema ergódico de Birkhoff en un conjunto más pequeño contenido en . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$

Existencia de medidas de la JUR

El siguiente teorema establece condiciones suficientes para la existencia de medidas SRB. Considera el caso de los atractores del Axioma A, que es más simple, pero que ha sido extendido a escenarios más generales. ^[7]

Teorema 1: ^[7] Sea un difeomorfismo con un atractor de axioma A . Supóngase que este atractor es irreducible , es decir, no es la unión de otros dos conjuntos que también son invariantes bajo . Entonces existe una medida boreliana única , con , ^[a] caracterizada por los siguientes enunciados equivalentes: ${\displaystyle T:X\rightarrow X}$ ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}\subset X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu (X)=1}$

1. ${\displaystyle \mu }$es una medida del SRB;
2. ${\displaystyle \mu }$tiene medidas absolutamente continuas condicionadas a la variedad inestable y sus subvariedades;
3. ${\displaystyle h(T)=\int \log {{\bigl |}\det(DT)|_{E^{u}}{\bigr |}}\,d\mu }$, donde es la entropía de Kolmogorov-Sinai , es la variedad inestable y es el operador diferencial . ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle E^{u}}$ ${\displaystyle D}$

Además, en estas condiciones se trata de un sistema dinámico que preserva la medida . ${\displaystyle \left(T,X,{\mathcal {B}}(X),\mu \right)}$

También se ha demostrado que lo anterior es equivalente a afirmar que es igual al límite de ruido cero de la distribución estacionaria de una cadena de Markov con estados . ^[8] Es decir, considérese que a cada punto se le asocia una probabilidad de transición con nivel de ruido que mide la cantidad de incertidumbre del siguiente estado, de forma tal que: ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle T^{i}(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle P_{\varepsilon }(\cdot \mid x)}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \rightarrow 0}P_{\varepsilon }(\cdot \mid x)=\delta _{Tx}(\cdot ),}$

donde es la medida de Dirac . El límite de ruido cero es la distribución estacionaria de esta cadena de Markov cuando el nivel de ruido se acerca a cero. La importancia de esto es que establece matemáticamente que la medida SRB es una "buena" aproximación a los casos prácticos donde existen pequeñas cantidades de ruido, ^[8] aunque no se puede decir nada sobre la cantidad de ruido que es tolerable. ${\displaystyle \delta }$

Véase también

• Medida cuasi-invariante
• Teorema de Krylov-Bogolyubov
• Medida de Gibbs

Notas

1. Si no se integra en uno, habrá infinitas medidas de este tipo, cada una igual a la otra excepto por una constante multiplicativa.

Referencias

1. Walters, Peter (2000). Introducción a la teoría ergódica . Springer.
2. Bonatti, C.; Viana, M. (2000). "Medidas SRB para sistemas parcialmente hiperbólicos cuya dirección central es mayoritariamente contractiva". Revista israelí de matemáticas . 115 (1): 157–193. doi : 10.1007/BF02810585 . S2CID  10139213.
3. Bowen, Robert Edward (1975). "Teoría ergódica de los difeomorfismos del axioma A". Estados de equilibrio y la teoría ergódica de los difeomorfismos de Anosov . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 470. Springer. págs. 63–76. doi : 10.1007/978-3-540-77695-6_4 .
4. Ruelle, David (1976). "Una medida asociada con los atractores del axioma A". American Journal of Mathematics . 98 (3): 619–654. doi :10.2307/2373810. JSTOR  2373810.
5. Sinai, Yakov G. (1972). "Medidas de Gibbs en la teoría ergódica". Encuestas matemáticas rusas . 27 (4): 21–69. doi :10.1070/RM1972v027n04ABEH001383.
6. Metzger, RJ (2000). "Medidas del Sinaí-Ruelle-Bowen para la contratación de mapas y flujos de Lorenz". Annales de l'Institut Henri Poincaré C. 17 (2): 247–276. Código Bib : 2000AIHPC..17..247M. doi : 10.1016/S0294-1449(00)00111-6 .
7. Young, LS (2002). "¿Qué son las medidas SRB y qué sistemas dinámicos las tienen?". Journal of Statistical Physics . 108 (5–6): 733–754. doi :10.1023/A:1019762724717. S2CID  14403405.
8. Cowieson, W.; Young, LS (2005). "Medidas de SRB como límites de ruido cero". Teoría ergódica y sistemas dinámicos . 25 (4): 1115–1138. doi :10.1017/S0143385704000604. S2CID  15640353.