Medida del juego de cilindros

En matemáticas , la medida de conjunto cilíndrico (o promedida , premedida , cuasimedida o CSM ) es un tipo de prototipo de una medida en un espacio vectorial de dimensión infinita . Un ejemplo es la medida de conjunto cilíndrico gaussiana en el espacio de Hilbert .

Las medidas del conjunto de cilindros en general no son medidas (y en particular no necesitan ser contablemente aditivas sino solo finitamente aditivas ), pero pueden usarse para definir medidas, como la medida clásica de Wiener en el conjunto de caminos continuos que comienzan en el origen en el espacio euclidiano .

Definición

Sea un espacio vectorial topológico real separable . Sea la colección de todas las aplicaciones lineales continuas sobreyectivas definidas en cuya imagen se encuentra algún espacio vectorial real de dimensión finita : ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}(E)}$ ${\displaystyle T:E\to F_{T}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F_{T}}$ $${\displaystyle {\mathcal {A}}(E):=\left\{T\in \mathrm {Lin} (E;F_{T}):T{\mbox{ surjective and }}\dim _{\mathbb {R} }F_{T}<+\infty \right\}.}$$

Una medida de conjunto de cilindros es una colección de medidas de probabilidad ${\displaystyle E}$ $${\displaystyle \left\{\mu _{T}:T\in {\mathcal {A}}(E)\right\}.}$$

donde es una medida de probabilidad en Estas medidas deben satisfacer la siguiente condición de consistencia: si es una proyección sobreyectiva , entonces el avance de la medida es el siguiente: ${\displaystyle \mu _{T}}$ ${\displaystyle F_{T}.}$ ${\displaystyle \pi _{ST}:F_{S}\to F_{T}}$ $${\displaystyle \mu _{T}=\left(\pi _{ST}\right)_{*}\left(\mu _{S}\right).}$$

Observaciones

La condición de consistencia se modela en la forma en que las medidas verdaderas avanzan (consulte la sección Medidas de conjunto de cilindros versus medidas verdaderas). Sin embargo, es importante entender que en el caso de las medidas de conjunto de cilindros, este es un requisito que forma parte de la definición, no un resultado. $${\displaystyle \mu _{T}=\left(\pi _{ST}\right)_{*}(\mu _{S})}$$

Una medida de conjunto de cilindros se puede entender intuitivamente como la definición de una función finitamente aditiva en los conjuntos de cilindros del espacio vectorial topológico. Los conjuntos de cilindros son las preimágenes en de los conjuntos medibles en : si denota el -álgebra en en el que se define, entonces ${\displaystyle E.}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F_{T}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{T}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle F_{T}}$ ${\displaystyle \mu _{T}}$ $${\displaystyle \mathrm {Cyl} (E):=\left\{T^{-1}(B):B\in {\mathcal {B}}_{T},T\in {\mathcal {A}}(E)\right\}.}$$

En la práctica, a menudo se toma como el álgebra de Borel de En este caso, se puede demostrar que cuando es un espacio de Banach separable , el σ-álgebra generada por los conjuntos de cilindros es precisamente el álgebra de Borel de : ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{T}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle F_{T}.}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle E}$ $${\displaystyle \mathrm {Borel} (E)=\sigma \left(\mathrm {Cyl} (E)\right).}$$

Medidas del juego de cilindros versus medidas reales

Una medida de conjunto de cilindros en no es realmente una verdadera medida en : es una colección de medidas definidas en todas las imágenes de dimensión finita de Si ya tiene una medida de probabilidad definida en ella, entonces da lugar a una medida de conjunto de cilindros en usando el empuje hacia adelante: establecer en ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E.}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mu _{T}=T_{*}(\mu )}$ ${\displaystyle F_{T}.}$

Cuando hay una medida tal que de esta manera, se acostumbra abusar un poco de la notación y decir que la medida del conjunto de cilindros "es" la medida. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mu _{T}=T_{*}(\mu )}$ ${\displaystyle \left\{\mu _{T}:T\in {\mathcal {A}}(E)\right\}}$ ${\displaystyle \mu .}$

Medidas de conjuntos de cilindros en espacios de Hilbert

Cuando el espacio de Banach es también un espacio de Hilbert hay una ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle H,}$conjunto de cilindros gaussianos canónicos que surge de ladel producto internoenEspecíficamente, sidenota el producto interno enseael producto interno cociente enLa medidaense define entonces como lamedida gaussianaen: dondees unaisometríade espacios de Hilbert que toma elproducto internoeuclidianoal producto internoenymedida gaussianaestándaren ${\displaystyle \gamma ^{H}}$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{T}}$ ${\displaystyle F_{T}.}$ ${\displaystyle \gamma _{T}^{H}}$ ${\displaystyle F_{T}}$ ${\displaystyle F_{T}}$ $${\displaystyle \gamma _{T}^{H}:=i_{*}\left(\gamma ^{\dim F_{T}}\right),}$$ ${\displaystyle i:\mathbb {R} ^{\dim(F_{T})}\to F_{T}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\dim(F_{T})}}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{T}}$ ${\displaystyle F_{T},}$ ${\displaystyle \gamma ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

La medida del conjunto de cilindros gaussianos canónicos en un espacio de Hilbert separable de dimensión infinita no corresponde a una medida verdadera en La prueba es bastante simple: la bola de radio (y centro 0) tiene medida como máximo igual a la de la bola de radio en un espacio de Hilbert de dimensión -, y esta tiende a 0 cuando tiende a infinito. Por lo tanto, la bola de radio tiene medida 0; como el espacio de Hilbert es una unión numerable de tales bolas, también tiene medida 0, lo cual es una contradicción. (Véase medida de Lebesgue de dimensión infinita .) ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle r}$

Una prueba alternativa de que la medida del conjunto de cilindros gaussianos no es una medida utiliza el teorema de Cameron-Martin y un resultado sobre la cuasi-invariancia de las medidas . Si realmente fuera una medida, entonces la función identidad en radonificaría esa medida, convirtiéndola así en un espacio de Wiener abstracto . Por el teorema de Cameron-Martin, sería entonces cuasi-invariante bajo la traducción por cualquier elemento de lo que implica que o bien es de dimensión finita o que es la medida cero. En cualquier caso, tenemos una contradicción. ${\displaystyle \gamma ^{H}=\gamma }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \operatorname {id} :H\to H}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \gamma }$

El teorema de Sazonov proporciona las condiciones bajo las cuales el avance de una medida de un conjunto de cilindros gaussianos canónicos puede transformarse en una medida verdadera.

Medidas de espacios nucleares y conjuntos de cilindros

Una medida de conjunto de cilindros en el dual de un espacio de Fréchet nuclear se extiende automáticamente a una medida si su transformada de Fourier es continua.

Ejemplo : Sea el espacio de funciones de Schwartz en un espacio vectorial de dimensión finita; es nuclear. Está contenido en el espacio de funciones de Hilbert , que a su vez está contenido en el espacio de distribuciones templadas, el dual del espacio nuclear de Fréchet : ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle S^{\prime },}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle S\subseteq H\subseteq S^{\prime }.}$$

La medida del conjunto de cilindros gaussianos proporciona una medida del conjunto de cilindros en el espacio de distribuciones templadas, que se extiende a una medida en el espacio de distribuciones templadas, ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle S^{\prime }.}$

El espacio de Hilbert tiene medida 0 en el primer argumento utilizado anteriormente para mostrar que el conjunto de medida del cilindro gaussiano canónico no se extiende a una medida en ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle S^{\prime },}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H.}$

Véase también

• Espacio de Wiener abstracto  – Construcción matemática relativa a espacios de dimensión infinita.
• Álgebra σ cilíndrica
• Función radonificante
• Teorema de estructura para medidas gaussianas  – Teorema matemático

Referencias

• IM Gel'fand, N.Ya. Vilenkin, Funciones generalizadas. Aplicaciones del análisis armónico , vol. 4, Acad. Press (1968)
• RA Minlos (2001) [1994], "medida cilíndrica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• RA Minlos (2001) [1994], "conjunto de cilindros", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• L. Schwartz, Medidas de radón .