Medida compleja

Medir con valores complejos

En matemáticas , específicamente en la teoría de la medida , una medida compleja generaliza el concepto de medida al permitirle tener valores complejos . ^[1] En otras palabras, se permiten conjuntos cuyo tamaño (longitud, área, volumen) es un número complejo .

Definición

Formalmente, una medida compleja en un espacio medible es una función de valor complejo . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$

${\displaystyle \mu :\Sigma \to \mathbb {C} }$

que es sigma-aditivo . En otras palabras, para cualquier secuencia de conjuntos disjuntos pertenecientes a , se tiene ${\displaystyle (A_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})=\mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)\in \mathbb {C} .}$

Como para cualquier permutación ( biyección ) , se deduce que converge incondicionalmente (por lo tanto, como es de dimensión finita, converge absolutamente ). ${\displaystyle \displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{\sigma (n)}}$ ${\displaystyle \sigma :\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mu }$

Integración con respecto a una medida compleja

Se puede definir la integral de una función medible de valor complejo con respecto a una medida compleja de la misma manera que la integral de Lebesgue de una función medible de valor real con respecto a una medida no negativa , aproximando una función medible con funciones simples . ^[2] Al igual que en el caso de la integración ordinaria, esta integral más general podría no existir, o su valor podría ser infinito (el infinito complejo ).

Otro enfoque es no desarrollar una teoría de integración desde cero, sino más bien utilizar el concepto ya disponible de integral de una función de valor real con respecto a una medida no negativa. ^[3] Para ello, es una comprobación rápida que las partes reales e imaginarias μ ₁ y μ _{2 de una medida compleja μ son} medidas con signo de valor finito . Se puede aplicar la descomposición de Hahn-Jordan a estas medidas para dividirlas como

${\displaystyle \mu _{1}=\mu _{1}^{+}-\mu _{1}^{-}}$

y

${\displaystyle \mu _{2}=\mu _{2}^{+}-\mu _{2}^{-}}$

donde μ ₁ ⁺ , μ ₁ ⁻ , μ ₂ ⁺ , μ ₂ ⁻ son medidas no negativas de valor finito (que son únicas en algún sentido). Entonces, para una función medible f que es de valor real por el momento, se puede definir

${\displaystyle \int _{X}\!f\,d\mu =\left(\int _{X}\!f\,d\mu _{1}^{+}-\int _{X}\!f\,d\mu _{1}^{-}\right)+i\left(\int _{X}\!f\,d\mu _{2}^{+}-\int _{X}\!f\,d\mu _{2}^{-}\right)}$

siempre que la expresión del lado derecho esté definida, es decir, existan las cuatro integrales y al sumarlas no se encuentre el indeterminado ∞−∞. ^[3]

Dada ahora una función medible de valor complejo , se pueden integrar sus componentes reales e imaginarios por separado como se ilustra arriba y definir, como se esperaba,

${\displaystyle \int _{X}\!f\,d\mu =\int _{X}\!\Re (f)\,d\mu +i\int _{X}\!\Im (f)\,d\mu .}$

Variación de una medida compleja y descomposición polar

Para una medida compleja μ, se define su variación , o valor absoluto , |μ| mediante la fórmula

${\displaystyle |\mu |(A)=\sup \sum _{n=1}^{\infty }|\mu (A_{n})|}$

donde A está en Σ y el supremo recorre todas las sucesiones de conjuntos disjuntos ( A _n ) _n cuya unión es A . Tomando sólo particiones finitas del conjunto A en subconjuntos medibles , se obtiene una definición equivalente.

Resulta que |μ| es una medida finita no negativa. De la misma manera que un número complejo se puede representar en forma polar , se tiene una descomposición polar para una medida compleja: Existe una función medible θ con valores reales tales que

${\displaystyle d\mu =e^{i\theta }d|\mu |,}$

significado

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\int _{X}fe^{i\theta }\,d|\mu |}$

para cualquier función medible absolutamente integrable f , es decir, f que satisface

${\displaystyle \int _{X}|f|\,d|\mu |<\infty .}$

Se puede utilizar el teorema de Radon-Nikodym para demostrar que la variación es una medida y la existencia de la descomposición polar .

El espacio de medidas complejas

La suma de dos medidas complejas es una medida compleja, como lo es el producto de una medida compleja por un número complejo. Es decir, el conjunto de todas las medidas complejas en un espacio de medida ( X , Σ ) forma un espacio vectorial sobre los números complejos. Además, la variación total definida como ${\displaystyle \|\cdot \|}$

${\displaystyle \|\mu \|=|\mu |(X)\,}$

es una norma , respecto de la cual el espacio de medidas complejas es un espacio de Banach .

Véase también

• Teorema de representación de Riesz
• Medida firmada
• Medida vectorial

Referencias

1. Tao, Terence (14 de septiembre de 2011). Introducción a la teoría de la medida. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-6919-2.
2. Tao, Terence (14 de septiembre de 2011). Introducción a la teoría de la medida. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-6919-2.
3. Taylor, Michael Eugene (2006). Teoría de la medida e integración. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-4180-8.

Lectura adicional

• Folland, Gerald B. (1999). Análisis real. Técnicas modernas y sus aplicaciones . Matemáticas puras y aplicadas (segunda edición de la edición original de 1984). Nueva York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-31716-0.MR  1681462.Zbl 0924.28001  .​
• Rudin, Walter (1987). Análisis real y complejo (tercera edición de la edición original de 1966). Nueva York: McGraw-Hill Book Co. ISBN 0-07-054234-1.MR  0924157.Zbl 0925.00005  .​

Enlaces externos

• Medida compleja en MathWorld