medida martin

En la teoría descriptiva de conjuntos , la medida de Martin es un filtro sobre el conjunto de grados de Turing de conjuntos de números naturales , llamado así en honor a Donald A. Martin . Bajo el axioma de determinabilidad se puede demostrar que es un ultrafiltro .

Definición

Sea el conjunto de grados de Turing de conjuntos de números naturales. Dada alguna clase de equivalencia , podemos definir el cono (o cono ascendente ) de como el conjunto de todos los grados de Turing tales que ; ^[1] es decir, el conjunto de grados de Turing que son "al menos tan complejos" como bajo la reducción de Turing . En términos de teoría del orden, el cono de es el conjunto superior de . ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle [X]\in D}$ ${\displaystyle [X]}$ ${\displaystyle [Y]}$ ${\displaystyle X\leq _{T}Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [X]}$ ${\displaystyle [X]}$

Suponiendo el axioma de determinabilidad , el lema del cono establece que si A es un conjunto de grados de Turing, A incluye un cono o el complemento de A contiene un cono. ^[1] Es similar al lema de Wadge para los grados de Wadge y es importante para el siguiente resultado.

Decimos que un conjunto de grados de Turing tiene medida 1 bajo la medida de Martin exactamente cuando contiene algún cono. Dado que es posible, para cualquier , construir un juego en el que el jugador I tenga una estrategia ganadora exactamente cuando contiene un cono y en el que el jugador II tenga una estrategia ganadora exactamente cuando el complemento de contiene un cono, el axioma de determinación implica que el Los conjuntos de medida 1 de grados de Turing forman un ultrafiltro. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Consecuencias

Es fácil demostrar que una intersección contable de conos es en sí misma un cono; Por tanto, la medida de Martin es un filtro contablemente completo . Este hecho, combinado con el hecho de que la medida de Martin puede transferirse mediante un mapeo simple, nos dice que es mensurable bajo el axioma de determinabilidad. Este resultado muestra parte de la importante conexión entre la determinación y los cardenales grandes . ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$

Referencias

1. D. Martin, HG Dales, La verdad en las matemáticas , cap. "Evidencia Matemática", p.223. Publicaciones científicas de Oxford, 1998.

• Moschovakis, Yiannis N. (2009). Teoría descriptiva de conjuntos. Encuestas y monografías matemáticas. vol. 155 (2ª ed.). Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 338.ISBN​ 9780821848135.