Métrica de Riemann en el espacio de estados mixtos de un sistema cuántico
En matemáticas , en el área de la geometría de la información cuántica , la métrica de Bures (nombrada en honor a Donald Bures) [1] o la métrica de Helstrom (nombrada en honor a Carl W. Helstrom ) [2] define una distancia infinitesimal entre operadores de matriz de densidad que definen estados cuánticos . Es una generalización cuántica de la métrica de información de Fisher y es idéntica a la métrica de Fubini-Study [3] cuando se restringe solo a los estados puros.
Definición
La métrica de Bures puede definirse como
¿Dónde está el operador de 1-forma hermítico dado implícitamente por
que es un caso especial de una ecuación de Lyapunov continua .
Algunas de las aplicaciones de la métrica de Bures incluyen que, dado un error objetivo, permite el cálculo del número mínimo de mediciones para distinguir dos estados diferentes [4] y el uso del elemento de volumen como candidato para la densidad de probabilidad previa de Jeffreys [5] para estados cuánticos mixtos.
Distancia de Bures
La distancia de Bures es la versión finita de la distancia cuadrada infinitesimal descrita anteriormente y está dada por
donde la función de fidelidad se define como [6]
Otra función asociada es el arco de Bures también conocido como ángulo de Bures, longitud de Bures o ángulo cuántico , definido como
que es una medida de la distancia estadística [7]
entre estados cuánticos.
Distancia de Wootters
Cuando ambos operadores de densidad son diagonales (de modo que son simplemente distribuciones de probabilidad clásicas), entonces sea y de manera similar , entonces la fidelidad es con la longitud de Bures convirtiéndose en la distancia de Wootters . La distancia de Wootters es la distancia geodésica entre las distribuciones de probabilidad bajo la métrica de chi-cuadrado . [8]
Realizamos un cambio de variables con , entonces la métrica de chi-cuadrado se convierte en . Como , los puntos están restringidos a moverse en el cuadrante positivo de una hiperesfera unitaria. Por lo tanto, las geodésicas son solo los círculos máximos en la hiperesfera y también obtenemos la fórmula de la distancia de Wootters.
Si ambos operadores de densidad son estados puros , entonces la fidelidad es y obtenemos la versión cuántica de la distancia de Wootter.
. [9]
En particular, la distancia de Bures directa entre dos estados ortogonales es , mientras que la distancia de Bures sumada a lo largo de la trayectoria geodésica que los conecta es .
Información sobre Quantum Fisher
La métrica de Bures puede verse como el equivalente cuántico de la métrica de información de Fisher y puede reescribirse en términos de la variación de los parámetros de coordenadas como
que se cumple siempre que y tengan el mismo rango. En los casos en que no tengan el mismo rango, hay un término adicional en el lado derecho. [10] [11] es el operador de derivada logarítmica simétrica (SLD) definido a partir de [12]
De esta manera, se tiene
donde la métrica cuántica de Fisher (componentes tensoriales) se identifica como
La definición de SLD implica que la métrica cuántica de Fisher es 4 veces la métrica de Bures. En otras palabras, dado que son componentes del tensor de la métrica de Bures, se tiene
Al igual que sucede con la métrica de información de Fisher clásica, la métrica cuántica de Fisher se puede utilizar para encontrar el límite de Cramér-Rao de la covarianza .
Fórmulas explícitas
El cálculo real de la métrica de Bures no es evidente a partir de la definición, por lo que se desarrollaron algunas fórmulas para ese propósito. Para los sistemas 2x2 y 3x3, respectivamente, la forma cuadrática de la métrica de Bures se calcula como [13]
Para sistemas generales, la métrica de Bures se puede escribir en términos de los vectores propios y valores propios de la matriz de densidad como [14] [15]
como una integral, [16]
o en términos de producto y vectorización de Kronecker , [17]
donde denota conjugado complejo y denota transpuesta conjugada . Esta fórmula es válida para matrices de densidad invertibles. Para matrices de densidad no invertibles, la inversa anterior se sustituye por la pseudoinversa de Moore-Penrose . Alternativamente, la expresión también se puede calcular realizando un límite en un cierto estado mixto y, por lo tanto, invertible.
Sistema de dos niveles
El estado de un sistema de dos niveles se puede parametrizar con tres variables como
donde es el vector de matrices de Pauli y es el vector de Bloch (tridimensional) que satisface . Los componentes de la métrica de Bures en esta parametrización se pueden calcular como
- .
La medida de Bures se puede calcular tomando la raíz cuadrada del determinante para encontrar
que se puede utilizar para calcular el volumen de Bures como
Sistema de tres niveles
El estado de un sistema de tres niveles se puede parametrizar con ocho variables como
¿Dónde están las ocho matrices de Gell-Mann y el vector de Bloch de 8 dimensiones que satisfacen ciertas restricciones?
Véase también
Referencias
- ^ Bures, Donald (1969). "Una extensión del teorema de Kakutani sobre medidas de producto infinitas al producto tensorial de ω {\displaystyle \omega } *-álgebras semifinitas" (PDF) . Transactions of the American Mathematical Society . 135 . American Mathematical Society (AMS): 199. doi : 10.1090/s0002-9947-1969-0236719-2 . ISSN 0002-9947.
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Lectura adicional
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- Nielsen, MA; Chuang, IL (2000). Computación cuántica e información cuántica . Cambridge University Press. ISBN 0-521-63235-8.