Cúbico solvente

Gráfica de la función polinómica $x 4 + x 3 - x 2 - 7 x /4 - 1/2$ (en verde) junto con la gráfica de su función cúbica resolutiva $R 4 (y)$ (en rojo). También son visibles las raíces de ambos polinomios.

En álgebra , un polinomio cúbico resolvente es uno de varios polinomios cúbicos distintos, aunque relacionados, definidos a partir de un polinomio mónico de grado cuatro :

P(x)=x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}.

En cada caso:

Los coeficientes de la cúbica resolvente se pueden obtener a partir de los coeficientes de $P (x)$ usando únicamente sumas, restas y multiplicaciones.
Conocer las raíces de la ecuación cúbica resolvente de $P (x)$ es útil para hallar las raíces de la propia $P (x)$ . De ahí el nombre de “ecuación cúbica resolvente”.
El polinomio $P (x)$ tiene una raíz múltiple si y sólo si su cúbica resolvente tiene una raíz múltiple.

Definiciones

Supongamos que los coeficientes de $P (x)$ pertenecen a un cuerpo $k$ cuya característica es distinta de $2$ . En otras palabras, estamos trabajando en un cuerpo en el que $1 + 1 \neq 0$ . Siempre que se mencionan raíces de $P (x)$ , pertenecen a alguna extensión $K$ de $k$ tal que $P (x)$ se factoriza en factores lineales en $K [x]$ . Si $k$ es el cuerpo $Q$ de los números racionales, entonces $K$ puede ser el cuerpo $C$ de los números complejos o el cuerpo $Q$ de los números algebraicos .

En algunos casos, el concepto de cúbica resolvente se define sólo cuando $P (x)$ es un cuártico en forma deprimida, es decir, cuando $a 3 = 0$ .

Nótese que las definiciones cuarta y quinta a continuación también tienen sentido y que la relación entre estas cúbicas resolutivas y $P (x)$ siguen siendo válidas si la característica de $k$ es igual a $2$ .

Primera definición

Supongamos que $P (x)$ es una cuártica deprimida, es decir, que $a 3 = 0$ . Una posible definición de la cúbica resolutiva de $P (x)$ es: ^[1]

R_{1}(y)=8y^{3}+8a_{2}y^{2}+(2{a_{2}}^{2}-8a_{0})y-{a_{ 1}}^{2}.

El origen de esta definición se encuentra en la aplicación del método de Ferrari para hallar las raíces de $P (x)$ . Para ser más precisos:

{\begin{aligned}P(x)=0&\Longleftrightarrow x^{4}+a_{2}x^{2}=-a_{1}x-a_{0}\\&\Longleftrightarrow \left(x^{2}+{\frac {a_{2}}{2}}\right)^{2}=-a_{1}x-a_{0}+{\frac {{a_{2}}^{2}}{4}}.\end{aligned}}

Agregue una nueva incógnita, $y$ , a $x 2 + a 2 /2$ . Ahora tiene:

{\begin{aligned}\left(x^{2}+{\frac {a_{2}}{2}}+y\right)^{2}&=-a_{1}x-a_{0}+{\frac {{a_{2}}^{2}}{4}}+2x^{2}y+a_{2}y+y^{2}\\&=2yx^{2}-a_{1}x-a_{0}+{\frac {{a_{2}}^{2}}{4}}+a_{2}y+y^{2}.\end{aligned}}

Si esta expresión es un cuadrado, sólo puede ser el cuadrado de

{\sqrt {2y}}\,x-{\frac {a_{1}}{2{\sqrt {2y}}}}.

Pero la igualdad

\left({\sqrt {2y}}\,x-{\frac {a_{1}}{2{\sqrt {2y}}}}\right)^{2}=2yx^{2}-a_{1}x-a_{0}+{\frac {{a_{2}}^{2}}{4}}+a_{2}y+y^{2}

es equivalente a

{\frac {{a_{1}}^{2}}{8y}}=-a_{0}+{\frac {{a_{2}}^{2}}{4}}+a_{2}y+y^{2}{\text{,}}

y esto es lo mismo que la afirmación de que $R 1 (y)$ = 0.

Si $y 0$ es una raíz de $R 1 (y)$ , entonces es una consecuencia de los cálculos realizados anteriormente que las raíces de $P (x)$ son las raíces del polinomio

x^{2}-{\sqrt {2y_{0}}}\,x+{\frac {a_{2}}{2}}+y_{0}+{\frac {a_{1}}{2{\sqrt {2y_{0}}}}}

junto con las raíces del polinomio

x^{2}+{\sqrt {2y_{0}}}\,x+{\frac {a_{2}}{2}}+y_{0}-{\frac {a_{1}}{2{\sqrt {2y_{0}}}}}.

Por supuesto, esto no tiene sentido si $y 0 = 0$ , pero como el término constante de $R 1 (y)$ es $- a 12$ , $0$ es una raíz de $R 1 (y)$ si y solo si $a 1 = 0$ , y en este caso las raíces de $P (x)$ se pueden encontrar usando la fórmula cuadrática .

Segunda definición

Otra posible definición ^[1] (aún suponiendo que $P (x)$ es un cuártico deprimido) es

R_{2}(y)=8y^{3}-4a_{2}y^{2}-8a_{0}y+4a_{2}a_{0}-{a_{1}}^{2}

El origen de esta definición es similar a la anterior. En esta ocasión, empezamos haciendo:

{\begin{aligned}P(x)=0&\Longleftrightarrow x^{4}=-a_{2}x^{2}-a_{1}x-a_{0}\\&\Longleftrightarrow (x^{2}+y)^{2}=-a_{2}x^{2}-a_{1}x-a_{0}+2yx^{2}+y^{2}\end{aligned}}

y un cálculo similar al anterior muestra que esta última expresión es un cuadrado si y sólo si

8y^{3}-4a_{2}y^{2}-8a_{0}y+4a_{2}a_{0}-{a_{1}}^{2}=0{\text{.}}

Un cálculo simple muestra que

R_{2}(y+{\frac {a_{2}}{2}}\right)=R_{1}(y).

Tercera definición

Otra posible definición ^[2]^[3] (de nuevo, suponiendo que $P (x)$ es un cuártico deprimido) es

R_{3}(y)=y^{3}+2a_{2}y^{2}+({a_{2}}^{2}-4a_{0})y-{a_{1}}^{2}{\text{.}}

El origen de esta definición se encuentra en otro método de resolución de ecuaciones de cuarto grado, a saber, el método de Descartes . Si intentas encontrar las raíces de $P (x)$ expresándola como un producto de dos polinomios cuadráticos mónicos $x 2 + αx + β$ y $x 2 - αx + γ$ , entonces

P(x)=(x^{2}+\alpha x+\beta )(x^{2}-\alpha x+\gamma )\Longleftrightarrow \left\{{\begin{array}{l}\beta +\gamma -\alpha ^{2}=a_{2}\\\alpha (-\beta +\gamma )=a_{1}\\\beta \gamma =a_{0}.\end{array}}\right.

Si existe una solución de este sistema con $α \neq 0$ (nótese que si $a 1 \neq 0$ , entonces esto es automáticamente cierto para cualquier solución), el sistema anterior es equivalente a

\left\{{\begin{array}{l}\beta +\gamma =a_{2}+\alpha ^{2}\\-\beta +\gamma ={\frac {a_{1}}{\alpha }}\\\beta \gamma =a_{0}.\end{array}}\right.

Es una consecuencia de las dos primeras ecuaciones que entonces

\beta ={\frac {1}{2}}\left(a_{2}+\alpha ^{2}-{\frac {a_{1}}{\alpha }}\right)

\gamma ={\frac {1}{2}}\left(a_{2}+\alpha ^{2}+{\frac {a_{1}}{\alpha }}\right).

Después de reemplazar, en la tercera ecuación, $β$ y $γ$ por estos valores se obtiene que

\left(a_{2}+\alpha ^{2}\right)^{2}-{\frac {{a_{1}}^{2}}{\alpha ^{2}}}=4a_{0}{\text{,}}

y esto es equivalente a la afirmación de que $α 2$ es una raíz de $R 3 (y)$ . Por lo tanto, nuevamente, conocer las raíces de $R 3 (y)$ ayuda a determinar las raíces de $P (x)$ .

Tenga en cuenta que

R_{3}(y)=R_{1}\left({\frac {y}{2}}\right){\text{.}}

Cuarta definición

Otra posible definición es ^[4]

R_{4}(y)=y^{3}-a_{2}y^{2}+(a_{1}a_{3}-4a_{0})y+4a_{0}a_{2}-{a_{1}}^{2}-a_{0}{a_{3}}^{2}.

De hecho, si las raíces de $P (x)$ son $α 1, α 2, α 3$ y $α 4$ , entonces

R_{4}(y)={\bigl (}y-(\alpha _{1}\alpha _{2}+\alpha _{3}\alpha _{4}){\bigr )}{\bigl (}y-(\alpha _{1}\alpha _{3}+\alpha _{2}\alpha _{4}){\bigr )}{\bigl (}y-(\alpha _{1}\alpha _{4}+\alpha _{2}\alpha _{3}){\bigr )}{\text{,}}

un hecho se desprende de las fórmulas de Vieta . En otras palabras, R ₄ ( y ) es el polinomio mónico cuyas raíces son $α 1 α 2 + α 3 α 4$ , $α 1 α 3 + α 2 α 4$ , y $α 1 α 4 + α 2 α 3$ .

Es fácil ver que

\alpha _{1}\alpha _{2}+\alpha _{3}\alpha _{4}-(\alpha _{1}\alpha _{3}+\alpha _{2}\alpha _{4})=(\alpha _{1}-\alpha _{4})(\alpha _{2}-\alpha _{3}){\text{,}}

\alpha _{1}\alpha _{3}+\alpha _{2}\alpha _{4}-(\alpha _{1}\alpha _{4}+\alpha _{2}\alpha _{3})=(\alpha _{1}-\alpha _{2})(\alpha _{3}-\alpha _{4}){\text{,}}

\alpha _{1}\alpha _{2}+\alpha _{3}\alpha _{4}-(\alpha _{1}\alpha _{4}+\alpha _{2}\alpha _{3})=(\alpha _{1}-\alpha _{3})(\alpha _{2}-\alpha _{4}){\text{.}}

Por lo tanto, $P (x)$ tiene una raíz múltiple si y solo si $R 4 (y)$ tiene una raíz múltiple. Más precisamente, $P (x)$ y $R 4 (y)$ tienen el mismo discriminante .

Se debe tener en cuenta que si $P (x)$ es un polinomio deprimido, entonces

{\begin{aligned}R_{4}(y)&=y^{3}-a_{2}y^{2}-4a_{0}y+4a_{0}a_{2}-{a_{1}}^{2}\\&=R_{2}\left({\frac {y}{2}}\right){\text{.}}\end{aligned}}

Quinta definición

Otra definición es ^[5]^[6]

R_{5}(y)=y^{3}-2a_{2}y^{2}+({a_{2}}^{2}+a_{3}a_{1}-4a_{0})y+{a_{1}}^{2}-a_{3}a_{2}a_{1}+{a_{3}}^{2}a_{0}{\text{.}}

Si, como arriba, las raíces de $P (x)$ son $α 1, α 2, α 3$ y $α 4$ , entonces

R_{5}(y)={\bigl (}y-(\alpha _{1}+\alpha _{2})(\alpha _{3}+\alpha _{4}){\bigr )}{\bigl (}y-(\alpha _{1}+\alpha _{3})(\alpha _{2}+\alpha _{4}){\bigr )}{\bigl (}y-(\alpha _{1}+\alpha _{4})(\alpha _{2}+\alpha _{3}){\bigr )}{\text{,}}

nuevamente como consecuencia de las fórmulas de Vieta . En otras palabras, $R 5 (y)$ es el polinomio mónico cuyas raíces son $(α 1 + α 2)(α 3 + α 4)$ , $(α 1 + α 3)(α 2 + α 4)$ y $(α 1 + α 4)(α 2 + α 3)$ .

Es fácil ver que

(\alpha _{1}+\alpha _{2})(\alpha _{3}+\alpha _{4})-(\alpha _{1}+\alpha _{3})(\alpha _{2}+\alpha _{4})=-(\alpha _{1}-\alpha _{4})(\alpha _{2}-\alpha _{3}){\text{,}}

(\alpha _{1}+\alpha _{2})(\alpha _{3}+\alpha _{4})-(\alpha _{1}+\alpha _{4})(\alpha _{2}+\alpha _{3})=-(\alpha _{1}-\alpha _{3})(\alpha _{2}-\alpha _{4}){\text{,}}

(\alpha _{1}+\alpha _{3})(\alpha _{2}+\alpha _{4})-(\alpha _{1}+\alpha _{4})(\alpha _{2}+\alpha _{3})=-(\alpha _{1}-\alpha _{2})(\alpha _{3}-\alpha _{4}){\text{.}}

Por lo tanto, como ocurre con $R 4 (y)$ , $P (x)$ tiene raíz múltiple si y sólo si $R 5 (y)$ tiene raíz múltiple. Más precisamente, $P (x)$ y $R 5 (y)$ tienen el mismo discriminante. Esto también es una consecuencia del hecho de que $R 5 (y + a 2)$ = $- R 4 (- y)$ .

Nótese que si $P (x)$ es un polinomio deprimido, entonces

{\begin{aligned}R_{5}(y)&=y^{3}-2a_{2}y^{2}+({a_{2}}^{2}-4a_{0})y+{a_{1}}^{2}\\&=-R_{3}(-y)\\&=-R_{1}\left(-{\frac {y}{2}}\right){\text{.}}\end{aligned}}

Aplicaciones

Resolver ecuaciones de cuarto grado

Se explicó anteriormente cómo se pueden usar $R1(y)$ , $R2(y)$ y $R3(y) para hallar las raíces de$ $P (x) si este polinomio$ $está deprimido. En el caso general, simplemente hay que$ $hallar$ las raíces del polinomio deprimido $P$ $(x - a3 / 4)$ . Para cada raíz $x0$ de este polinomio, $x0 -$ $a3$ $/4$ es una raíz $de$ $P$ $($ $x$ $)$ .

Factorización de polinomios de cuarto grado

Si un polinomio cuártico $P (x)$ es reducible en $k [x]$ , entonces es el producto de dos polinomios cuadráticos o el producto de un polinomio lineal por un polinomio cúbico. Esta segunda posibilidad ocurre si y solo si $P (x)$ tiene una raíz en $k$ . Para determinar si $P (x)$ puede expresarse o no como el producto de dos polinomios cuadráticos, supongamos, por simplicidad, que $P (x)$ es un polinomio deprimido. Entonces se vio anteriormente que si el polinomio cúbico resolutivo $R 3 (y)$ tiene una raíz no nula de la forma $α 2$ , para algún $α \in k$ , entonces existe tal descomposición.

Esto se puede usar para demostrar que, en $R [x]$ , cada polinomio cuártico sin raíces reales se puede expresar como el producto de dos polinomios cuadráticos. Sea $P (x)$ un polinomio de este tipo. Podemos suponer sin pérdida de generalidad que $P (x)$ es mónico. También podemos suponer sin pérdida de generalidad que es un polinomio reducido, porque $P (x)$ se puede expresar como el producto de dos polinomios cuadráticos si y solo si $P (x - a 3 /4)$ puede y este polinomio es reducido. Entonces $R 3 (y)$ = $y 3 + 2 a 2 y 2 + (a 22 - 4 a 0) y - a 12$ . Hay dos casos:

Si $a 1 \neq 0$ entonces $R 3 (0)$ = $- a 12 < 0$ . Como $R 3 (y) > 0$ si $y$ es suficientemente grande, entonces, por el teorema del valor intermedio , $R 3 (y)$ tiene una raíz $y 0$ con $y 0 > 0$ . Por lo tanto, podemos tomar $α$ = $\sqrt y 0$ .
Si $a 1$ = $0$ , entonces $R 3 (y)$ = $y 3 + 2 a 2 y 2 + (a 22 - 4 a 0) y$ . Las raíces de este polinomio son $0$ y las raíces del polinomio cuadrático $y 2 + 2 a 2 y + a 22 - 4 a 0$ . Si $a 22 - 4 a 0 < 0$ , entonces el producto de las dos raíces de este polinomio es menor que $0$ y por lo tanto tiene una raíz mayor que $0$ (que resulta ser $- a 2 + 2 \sqrt a 0$ ) y podemos tomar $α$ como la raíz cuadrada de esa raíz. De lo contrario, $a 22 - 4 a 0 \geq 0$ y entonces,

P(x)=\left(x^{2}+{\frac {a_{2}+{\sqrt {{a_{2}}^{2}-4a_{0}}}}{2}}\right)\left(x^{2}+{\frac {a_{2}-{\sqrt {{a_{2}}^{2}-4a_{0}}}}{2}}\right){\text{.}}

En términos más generales, si $k$ es un cuerpo real cerrado , entonces todo polinomio cuártico sin raíces en $k$ puede expresarse como el producto de dos polinomios cuadráticos en $k [x]$ . De hecho, esta afirmación puede expresarse en lógica de primer orden y cualquier afirmación de este tipo que sea válida para $R$ también lo es para cualquier cuerpo real cerrado.

Se puede utilizar un enfoque similar para obtener un algoritmo ^[2] que determine si un polinomio cuártico $P (x) \in Q [x]$ es reducible o no y, si lo es, cómo expresarlo como un producto de polinomios de menor grado. Nuevamente, supondremos que $P (x)$ es mónico y deprimido. Entonces $P (x)$ es reducible si y solo si se cumple al menos una de las siguientes condiciones:

El polinomio $P (x)$ tiene una raíz racional (esto se puede determinar utilizando el teorema de la raíz racional ).
La función cúbica resolutiva $R 3 (y)$ tiene una raíz de la forma $α 2$ , para algún número racional no nulo $α$ (de nuevo, esto se puede determinar usando el teorema de la raíz racional ).
El número $a 22 - 4 a 0$ es el cuadrado de un número racional y $a 1$ = $0$ .

En efecto:

Si $P (x)$ tiene una raíz racional $r$ , entonces $P (x)$ es el producto de $x - r$ por un polinomio cúbico en $Q [x]$ , que puede determinarse por división larga de polinomios o por la regla de Ruffini .
Si hay un número racional $α \neq 0$ tal que $α 2$ es una raíz de $R 3 (y)$ , se mostró anteriormente cómo expresar $P (x)$ como el producto de dos polinomios cuadráticos en $Q [x]$ .
Finalmente, si se cumple la tercera condición y si $δ \in Q$ es tal que $δ 2$ = $a$ $2$ $2$ $- 4$ $a$ $0$ , entonces $P$ $($ $x$ $)$ = $($ $x$ $2$ $+ ($ $a$ $2$ $+$ $δ$ $)/2)($ $x$ $2$ $+ ($ $a$ $2$ $-$ $δ$ $)/2)$ .

Grupos de Galois de polinomios cuárticos irreducibles

La cúbica resolvente de un polinomio cuártico irreducible $P (x)$ se puede utilizar para determinar su grupo de Galois $G$ ; es decir, el grupo de Galois del campo de desdoblamiento de $P (x)$ . Sea $m$ el grado sobre $k$ del campo de desdoblamiento de la cúbica resolvente (puede ser $R 4 (y)$ o $R 5 (y)$ ; tienen el mismo campo de desdoblamiento). Entonces el grupo $G$ es un subgrupo del grupo simétrico $S 4$ . Más precisamente: ^[4]

Si $m = 1$ (es decir, si los factores cúbicos resolventes se transforman en factores lineales en $k$ ), entonces $G$ es el grupo ${e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)$ }.
Si $m = 2$ (es decir, si la cúbica resolvente tiene una y, hasta multiplicidad , solo una raíz en $k$ ), entonces, para determinar $G$ , se puede determinar si $P (x)$ sigue siendo irreducible después de adjuntar al cuerpo $k$ las raíces de la cúbica resolvente. Si no, entonces $G$ es un grupo cíclico de orden 4; más precisamente, es uno de los tres subgrupos cíclicos de $S 4$ generados por cualquiera de sus seis $4$ -ciclos. Si sigue siendo irreducible, entonces $G$ es uno de los tres subgrupos de $S 4$ de orden $8$ , cada uno de los cuales es isomorfo al grupo diedro de orden $8$ .
Si $m = 3$ , entonces $G$ es el grupo alterno $A 4$ .
Si $m = 6$ , entonces $G$ es todo el grupo $S 4$ .

Véase también

Resolvente (teoría de Galois)

Referencias

^ ab Tignol, Jean-Pierre (2016), "Ecuaciones cuárticas", Teoría de ecuaciones algebraicas de Galois (2.ª ed.), World Scientific , ISBN 978-981-4704-69-4, Zbl1333.12001
^ ab Brookfield, G. (2007), "Factorización de polinomios cuárticos: un arte perdido" (PDF) , Mathematics Magazine , 80 (1): 67–70, doi :10.1080/0025570X.2007.11953453, JSTOR 27642994, S2CID 53375377, Zbl 1227.97040, archivado desde el original (PDF) el 2015-02-21
^ Hartshorne, Robin (1997), "Problemas de construcción y extensiones de campo: ecuaciones cúbicas y cuárticas", Geometría: Euclides y más allá , Springer-Verlag , ISBN 0-387-98650-2, Zbl0954.51001
^ ab Kaplansky, Irving (1972), "Campos: ecuaciones cúbicas y cuárticas", Campos y anillos , Chicago Lectures in Mathematics (2.ª ed.), University of Chicago Press , ISBN 0-226-42451-0, Zbl1001.16500
^ Rotman, Joseph (1998), "Grupos Galois de cuadráticas, cúbicas y cuárticas", Teoría de Galois (2ª ed.), Springer-Verlag , ISBN 0-387-98541-7, Zbl0924.12001
^ van der Waerden, Bartel Leendert (1991), "La teoría de Galois: ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado", Álgebra , vol. 1 (7ª ed.), Springer-Verlag , ISBN 0-387-97424-5, Zbl0724.12001