Mediante (matemáticas)

En matemáticas , mediante de dos fracciones , generalmente formadas por cuatro números enteros positivos

${\displaystyle {\frac {a}{c}}\quad }$y se define como ${\displaystyle \quad {\frac {b}{d}}\quad }$ ${\displaystyle \quad {\frac {a+b}{c+d}}.}$

Es decir, el numerador y denominador del mediante son las sumas de los numeradores y denominadores de las fracciones dadas, respectivamente. A veces se le llama suma de primer año , ya que es un error común en las primeras etapas del aprendizaje sobre la suma de fracciones .

Técnicamente, se trata de una operación binaria sobre fracciones válidas (denominador distinto de cero), consideradas como pares ordenados de números enteros apropiados, ignorando a priori la perspectiva de los números racionales como clases de equivalencia de fracciones. Por ejemplo, la mediante de las fracciones 1/1 y 1/2 es 2/3. Sin embargo, si se reemplaza la fracción 1/1 por la fracción 2/2, que es una fracción equivalente que denota el mismo número racional 1, la mediante de las fracciones 2/2 y 1/2 es 3/4. Para una conexión más fuerte con los números racionales, es posible que sea necesario reducir las fracciones a sus términos más bajos , seleccionando así representantes únicos de las respectivas clases de equivalencia.

El árbol de Stern-Brocot proporciona una enumeración de todos los números racionales positivos mediante mediantes en términos más bajos, obtenidos puramente mediante cálculo iterativo del mediante según un algoritmo simple.

Propiedades

• La desigualdad mediante: Una propiedad importante (que también explica su nombre) del mediante es que se encuentra estrictamente entre las dos fracciones de las que es mediante: Si y , entonces ${\displaystyle a/c<b/d}$ ${\displaystyle c\cdot d>0}$
  $${\displaystyle {\frac {a}{c}}<{\frac {a+b}{c+d}}<{\frac {b}{d}}.}$$
  Esta propiedad se sigue de las dos relaciones.
  $${\displaystyle {\frac {a+b}{c+d}}-{\frac {a}{c}}={{bc-ad} \over {c(c+d)}}={d \over {c+d}}\left({\frac {b}{d}}-{\frac {a}{c}}\right)}$$
  y
  $${\displaystyle {\frac {b}{d}}-{\frac {a+b}{c+d}}={{bc-ad} \over {d(c+d)}}={c \over {c+d}}\left({\frac {b}{d}}-{\frac {a}{c}}\right).}$$
• Teoremas de Componendo y Dividendo: Si y , entonces ^[1] ${\displaystyle a/c=b/d}$ ${\displaystyle c\neq 0,\ d\neq 0}$
  $${\displaystyle {\frac {a}{c}}={\frac {b}{d}}={\frac {a+b}{c+d}}}$$

• Componentes: ^[1]

$${\displaystyle {\frac {a+c}{c}}={\frac {b+d}{d}}}$$

• Dividendo: ^[1]

$${\displaystyle {\frac {a-c}{c}}={\frac {b-d}{d}}}$$

• Supongamos que el par de fracciones a / c y b / d satisface la relación determinante . Entonces el mediante tiene la propiedad de que es la fracción más simple del intervalo ( a / c , b / d ), en el sentido de ser la fracción con menor denominador. Más precisamente, si la fracción con denominador positivo c' se encuentra (estrictamente) entre a / c y b / d , entonces su numerador y denominador se pueden escribir como y con dos números reales positivos (de hecho, racionales) . Para ver por qué debe ser positivo, tenga en cuenta que ${\displaystyle bc-ad=1}$ ${\displaystyle a'/c'}$ ${\displaystyle a'=\lambda _{1}a+\lambda _{2}b}$ ${\displaystyle c'=\lambda _{1}c+\lambda _{2}d}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\,\lambda _{2}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$
  $${\displaystyle {\frac {\lambda _{1}a+\lambda _{2}b}{\lambda _{1}c+\lambda _{2}d}}-{\frac {a}{c}}=\lambda _{2}{{bc-ad} \over {c(\lambda _{1}c+\lambda _{2}d)}}}$$
  y
  $${\displaystyle {\frac {b}{d}}-{\frac {\lambda _{1}a+\lambda _{2}b}{\lambda _{1}c+\lambda _{2}d}}=\lambda _{1}{{bc-ad} \over {d(\lambda _{1}c+\lambda _{2}d)}}}$$
  debe ser positivo. La relación determinante
  $${\displaystyle bc-ad=1\,}$$
  entonces implica que ambos deben ser números enteros, resolviendo el sistema de ecuaciones lineales ${\displaystyle \lambda _{1},\,\lambda _{2}}$
  $${\displaystyle a'=\lambda _{1}a+\lambda _{2}b}$$
  $${\displaystyle c'=\lambda _{1}c+\lambda _{2}d}$$
  para . Por lo tanto, ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}}$ ${\displaystyle c'\geq c+d.}$
• Lo contrario también es cierto: supongamos que el par de fracciones reducidas a / c  <  b / d tiene la propiedad de que la fracción reducida con el menor denominador que se encuentra en el intervalo ( a / c ,  b / d ) es igual al mediante de la dos fracciones. Entonces se cumple la relación determinante bc − ad = 1 . Este hecho se puede deducir, por ejemplo, con la ayuda del teorema de Pick , que expresa el área de un triángulo plano cuyos vértices tienen coordenadas enteras en términos del número v _interior de puntos de la red (estrictamente) dentro del triángulo y el número v _límite de los puntos de la red en el límite del triángulo. Considere el triángulo con los tres vértices v ₁ = (0, 0), v ₂ = ( a ,  c ), v ₃ = ( b ,  d ). Su área es igual a ${\displaystyle \Delta (v_{1},v_{2},v_{3})}$
  $${\displaystyle {\text{area}}(\Delta )={{bc-ad} \over 2}\,.}$$
  Un punto dentro del triángulo se puede parametrizar como ${\displaystyle p=(p_{1},p_{2})}$
  $${\displaystyle p_{1}=\lambda _{1}a+\lambda _{2}b,\;p_{2}=\lambda _{1}c+\lambda _{2}d,}$$
  dónde
  $${\displaystyle \lambda _{1}\geq 0,\,\lambda _{2}\geq 0,\,\lambda _{1}+\lambda _{2}\leq 1.}$$
  La fórmula de elección
  $${\displaystyle {\text{area}}(\Delta )=v_{\mathrm {interior} }+{v_{\mathrm {boundary} } \over 2}-1}$$
  ahora implica que debe haber un punto de red q = ( q ₁ , q ₂ ) dentro del triángulo diferente de los tres vértices si bc − ad > 1 (entonces el área del triángulo es ). La fracción correspondiente q ₁ / q ₂ se encuentra (estrictamente) entre las fracciones dadas (por suposición reducidas) y tiene denominador ${\displaystyle \geq 1}$
  $${\displaystyle q_{2}=\lambda _{1}c+\lambda _{2}d\leq \max(c,d)<c+d}$$
  como
  $${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}\leq 1.}$$
• De manera relacionada, si p / q y r / s son fracciones reducidas en el intervalo unitario tales que | ps  −  rq | = 1 (para que sean elementos adyacentes de una fila de la secuencia de Farey ) entonces
  $${\displaystyle ?\left({\frac {p+r}{q+s}}\right)={\frac {1}{2}}\left(?\left({\frac {p}{q}}\right)+{}?\left({\frac {r}{s}}\right)\right)}$$
  dónde ? es la función del signo de interrogación de Minkowski .
  De hecho, los mediantes suelen aparecer en el estudio de fracciones continuas y, en particular, de las fracciones de Farey . La enésima secuencia de Farey F n _se define como la secuencia (ordenada con respecto a la magnitud) de fracciones reducidas a / b (con coprimos a , b ) tales que b  ≤  n . Si dos fracciones a / c  <  b / d son fracciones adyacentes (vecinas) en un segmento de F _n , entonces la relación determinante mencionada anteriormente es generalmente válida y, por lo tanto, la mediante es la fracción más simple en el intervalo ( a / c ,  b / d ), en el sentido de ser la fracción con menor denominador. Por lo tanto, el mediante aparecerá (primero) en la ( c  +  d )ésima secuencia de Farey y es la "siguiente" fracción que se inserta en cualquier secuencia de Farey entre a / c y b / d . Esto da la regla de cómo las secuencias de Farey F _n se construyen sucesivamente al aumentar n . ${\displaystyle bc-ad=1}$

Determinación gráfica de mediantes.

Determinar gráficamente la mediante de dos números racionales. Las pendientes de los segmentos azul y rojo son dos números racionales; la pendiente del segmento verde es su mediante.

Un número racional positivo es aquel en la forma donde son números naturales positivos ; es decir . El conjunto de los números racionales positivos es, por tanto, el producto cartesiano de por sí mismo; es decir . Un punto con coordenadas representa el número racional , y la pendiente de un segmento que conecta el origen de coordenadas con este punto es . Como no es necesario que sean coprimos , el punto representa uno y sólo un número racional, pero un número racional está representado por más de un punto; por ejemplo, son todas las representaciones del número racional . Esta es una ligera modificación de la definición formal de números racionales, restringiéndolos a valores positivos e invirtiendo el orden de los términos en el par ordenado para que la pendiente del segmento sea igual al número racional. ${\displaystyle a/b}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle a,b\in \mathbb {N} ^{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} ^{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{+}=(\mathbb {N} ^{+})^{2}}$ ${\displaystyle (b,a)}$ ${\displaystyle a/b}$ ${\displaystyle a/b}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle (b,a)}$ ${\displaystyle (4,2),(60,30),(48,24)}$ ${\displaystyle 1/2}$ ${\displaystyle (b,a)}$

Dos puntos donde hay dos representaciones de números racionales (posiblemente equivalentes) y . Los segmentos de línea que conectan el origen de las coordenadas y forman dos lados adyacentes en un paralelogramo. El vértice del paralelogramo opuesto al origen de coordenadas es el punto , que es mediante de y . ${\displaystyle (b,a)\neq (d,c)}$ ${\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {N} ^{+}}$ ${\displaystyle a/b}$ ${\displaystyle c/d}$ ${\displaystyle (b,a)}$ ${\displaystyle (d,c)}$ ${\displaystyle (b+d,a+c)}$ ${\displaystyle a/b}$ ${\displaystyle c/d}$

El área del paralelogramo es , que también es la magnitud del producto vectorial de los vectores y . De la definición formal de equivalencia de números racionales se deduce que el área es cero si y son equivalentes. En este caso, un segmento coincide con el otro, ya que sus pendientes son iguales. El área del paralelogramo formado por dos números racionales consecutivos en el árbol de Stern-Brocot es siempre 1. ^[2] ${\displaystyle bc-ad}$ ${\displaystyle \langle b,a\rangle }$ ${\displaystyle \langle d,c\rangle }$ ${\displaystyle a/b}$ ${\displaystyle c/d}$

Generalización

La noción de mediante puede generalizarse a n fracciones, y se cumple una desigualdad mediante generalizada, ^[3] un hecho que parece haber sido notado por primera vez por Cauchy. Más precisamente, la mediante ponderada de n fracciones se define por (con ). Se puede demostrar que se encuentra en algún lugar entre la fracción más pequeña y más grande entre . ${\displaystyle m_{w}}$ ${\displaystyle a_{1}/b_{1},\ldots ,a_{n}/b_{n}}$ ${\displaystyle {\frac {\sum _{i}w_{i}a_{i}}{\sum _{i}w_{i}b_{i}}}}$ ${\displaystyle w_{i}>0}$ ${\displaystyle m_{w}}$ ${\displaystyle a_{i}/b_{i}}$

Ver también

• Mediante
• secuencia de despedida
• Árbol de popa-brocot

Referencias

1. Milburn, RM (1880). Fórmulas matemáticas: para uso de candidatos que se preparan para el ejército, el servicio civil, la universidad y otros exámenes. Longmans, verde y compañía. págs. 18-19.
2. Austin, David. Árboles, dientes y tiempo: las matemáticas de la fabricación de relojes, columna destacada del AMS
3. Bensimhoun, Michael (2013). "Una nota sobre la desigualdad mediante" (PDF) . Consultado el 25 de diciembre de 2023 .

enlaces externos

• Fracciones mediantes al cortar el nudo
• MATHPAGES, Kevin Brown: Mediante generalizado