Mecanismo de Kelvin-Helmholtz

Proceso de liberación de energía de una estrella o planeta en contracción.

El mecanismo de Kelvin-Helmholtz es un proceso astronómico que ocurre cuando la superficie de una estrella o un planeta se enfría. El enfriamiento hace que la presión interna caiga y, como resultado, la estrella o el planeta se encoge. Esta compresión, a su vez, calienta el núcleo de la estrella/planeta. Este mecanismo es evidente en Júpiter y Saturno y en las enanas marrones cuyas temperaturas centrales no son lo suficientemente altas como para experimentar la fusión de hidrógeno . Se estima que Júpiter irradia más energía a través de este mecanismo de la que recibe del Sol, pero Saturno podría no hacerlo. Se ha estimado que Júpiter se encoge a una tasa de aproximadamente 1 mm/año mediante este proceso, ^[1] correspondiente a un flujo interno de 7,485 W/m ² . ^[2]

El mecanismo fue propuesto originalmente por Kelvin y Helmholtz a finales del siglo XIX para explicar la fuente de energía del Sol . A mediados del siglo XIX, se había aceptado la conservación de la energía , y una consecuencia de esta ley de la física es que el Sol debe tener alguna fuente de energía para seguir brillando. Como las reacciones nucleares eran desconocidas, el principal candidato para la fuente de energía solar era la contracción gravitatoria.

Sin embargo, pronto Sir Arthur Eddington y otros reconocieron que la cantidad total de energía disponible a través de este mecanismo sólo permitía al Sol brillar durante millones de años en lugar de los miles de millones de años que la evidencia geológica y biológica sugería para la edad de la Tierra . (El propio Kelvin había argumentado que la Tierra tenía millones, no miles de millones, de años). La verdadera fuente de la energía del Sol permaneció incierta hasta la década de 1930, cuando Hans Bethe demostró que era la fusión nuclear .

Potencia generada por una contracción de Kelvin-Helmholtz

Se planteó la teoría de que la energía potencial gravitatoria de la contracción del Sol podría ser su fuente de energía. Para calcular la cantidad total de energía que liberaría el Sol en un mecanismo de este tipo (suponiendo una densidad uniforme ), se aproximó a una esfera perfecta formada por capas concéntricas . La energía potencial gravitatoria se pudo hallar entonces como la integral de todas las capas desde el centro hasta su radio exterior.

La energía potencial gravitacional de la mecánica newtoniana se define como: ^[3]

${\displaystyle U=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r}},}$

donde G es la constante gravitacional y las dos masas en este caso son las de las capas delgadas de ancho dr y la masa contenida dentro del radio r cuando se integra entre cero y el radio de la esfera total. Esto da: ^[3]

${\displaystyle U=-G\int _{0}^{R}{\frac {m(r)4\pi r^{2}\rho }{r}}\,dr,}$

donde R es el radio exterior de la esfera y m ( r ) es la masa contenida dentro del radio r . Al convertir m ( r ) en un producto de volumen y densidad para satisfacer la integral, ^[3]

${\displaystyle U=-G\int _{0}^{R}{\frac {4\pi r^{3}\rho 4\pi r^{2}\rho }{3r}}\,dr=-{\frac {16}{15}}G\pi ^{2}\rho ^{2}R^{5}.}$

Reformulando en términos de la masa de la esfera se obtiene la energía potencial gravitatoria total como ^[3]

${\displaystyle U=-{\frac {3GM^{2}}{5R}}.}$

Según el Teorema Virial , la energía total de los sistemas gravitacionalmente ligados en equilibrio es la mitad de la energía potencial promediada en el tiempo,

${\displaystyle U_{r}={\frac {|\langle U\rangle |}{2}}={\frac {3GM^{2}}{10R}}.}$

Si bien la densidad uniforme no es correcta, se puede obtener una estimación aproximada del orden de magnitud de la edad esperada de nuestra estrella insertando valores conocidos para la masa y el radio del Sol , y luego dividiéndolos por la luminosidad conocida del Sol (tenga en cuenta que esto implicará otra aproximación, ya que la potencia de salida del Sol no siempre ha sido constante): ^[3]

${\displaystyle {\frac {U_{\text{r}}}{L_{\odot }}}\approx {\frac {1.1\times 10^{41}~{\text{J}}}{3.828\times 10^{26}~{\text{W}}}}=2.874\times 10^{14}~\mathrm {s} \,\approx 8\,900\,000~{\text{years}},}$

donde es la luminosidad del Sol. Si bien proporciona suficiente energía durante mucho más tiempo que muchos otros métodos físicos, como la energía química , este valor claramente no era lo suficientemente largo debido a la evidencia geológica y biológica de que la Tierra tenía miles de millones de años. Finalmente se descubrió que la energía termonuclear era responsable de la producción de energía y las largas vidas de las estrellas. ^[4] ${\displaystyle L_{\odot }}$

El flujo de calor interno de Júpiter está dado por la derivada en función del tiempo de la energía total.

${\displaystyle {\frac {dU_{r}}{dt}}={\frac {-3GM^{2}}{10R^{2}}}{\frac {dR}{dt}}=-1.46\times 10^{28}~{\text{[J/m]}}~\times {\frac {dR}{dt}}~{\text{[m/s]}}.}$

Con una contracción de , se obtiene ${\textstyle -1\mathrm {\frac {~mm}{yr}} =-0.001\mathrm {\frac {~m}{yr}} =-3.17\times 10^{-11}~\mathrm {\frac {m}{s}} }$

${\displaystyle {\frac {dU_{r}}{dt}}=4.63\times 10^{17}~{\text{W}},}$

dividiendo por toda el área de Júpiter, es decir , se obtiene ${\displaystyle S=6.14\times 10^{16}~\mathrm {m^{2}} }$

${\displaystyle {\frac {1}{S}}{\frac {dU_{r}}{dt}}=7.5~\mathrm {\frac {W}{m^{2}}} .}$

Por supuesto, normalmente se calcula esta ecuación en la dirección opuesta: la cifra experimental del flujo específico de calor interno, 7,485 W/m2 ^, se obtuvo a partir de las mediciones directas realizadas in situ por la sonda Cassini durante su sobrevuelo el 30 de diciembre de 2000 y se obtiene la cantidad de contracción, ~1 mm/año, una cifra minúscula por debajo de los límites de la medición práctica.

Referencias

1. Patrick GJ Irwin (2009). Planetas gigantes de nuestro sistema solar: atmósferas, composición y estructura, 2.ª edición. Springer, págs. 4-5. ISBN 978-3-642-09888-8.
2. Liming, Li; et al. (2018). "Menos energía solar absorbida y más calor interno para Júpiter". Nature Communications . 9 (3709): 1–10. Bibcode :2018NatCo...9.3709L. doi : 10.1038/s41467-018-06107-2 . PMC 6137063 . PMID  30213944. 
3. Carroll, Bradley W.; Ostlie, Dale A. (2007). Introducción a la astrofísica moderna (2.ª ed.). Pearson Addison Wesley. págs. 296–298. ISBN 978-0-8053-0402-2Archivado desde el original el 22 de diciembre de 2015.
4. Pogge, Richard (15 de enero de 2006). "El mecanismo de Kelvin-Helmholtz". Lección 12: Mientras brille el sol . Universidad Estatal de Ohio . Consultado el 5 de noviembre de 2009 .