En matemáticas , la mayorización es un preorden de vectores de números reales . Para dos de estos vectores, decimos que mayoriza débilmente (o domina) desde abajo , comúnmente denotado cuando
para todos ,
donde denota la entrada más grande de . Si satisface además , decimos que mayoriza (o domina) , lo que comúnmente se denota . La mayorización es un orden parcial para vectores cuyas entradas no son decrecientes, pero sólo un preorden para vectores generales, ya que la mayorización es independiente del orden de las entradas en los vectores, por ejemplo, la declaración es simplemente equivalente a .
Mayorizar también a veces se refiere al orden de entrada, por ejemplo, la función de valor real f mayoriza la función de valor real g cuando está para todos en el dominio, u otras definiciones técnicas, como medidas de mayorización en teoría de probabilidad . [1]
Condiciones equivalentes
Definición geométrica
Porque tenemos si y sólo si está en el casco convexo de todos los vectores obtenidos al permutar las coordenadas de . Esto equivale a decir lo mismo para alguna matriz doblemente estocástica . [2] : Thm. 2.1 En particular, puede escribirse como una combinación convexa de permutaciones de . [3]
La Figura 1 muestra el casco convexo en 2D para el vector . Observe que el centro del casco convexo, que en este caso es un intervalo, es el vector . Este es el vector "más pequeño" que satisface este vector dado . La Figura 2 muestra el casco convexo en 3D. El centro del casco convexo, que en este caso es un polígono 2D, es el vector "más pequeño" que satisface este vector dado .
Otras definiciones
Cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera si y sólo si .
Podemos producir mediante una secuencia finita de "operaciones de Robin Hood" donde reemplazamos dos elementos y con y , respectivamente, por algunos . [2] : 11
Para cada función convexa , . [2] : Thm. 2.9
De hecho, basta un caso especial: y, para cada t , . [4]
Para cada , . [5] : Ejercicio 12.17
Ejemplos
Entre los vectores no negativos con tres componentes, y sus permutaciones, mayorizan todos los demás vectores tales que . Por ejemplo, . De manera similar, está mayorizado por todos los demás vectores similares, por lo que .
Se dice que una función es convexa de Schur cuando implica . Por lo tanto, las funciones Schur-convexas traducen el orden de los vectores a un orden estándar en . De manera similar, Schur es cóncavo cuando implica
Un ejemplo de función Schur-convexa es la función máxima, . Las funciones convexas de Schur son necesariamente simétricas y las entradas de su argumento se pueden cambiar sin modificar el valor de la función. Por tanto, las funciones lineales, que son convexas, no son convexas de Schur a menos que sean simétricas. Si una función es simétrica y convexa, entonces es Schur-convexa.
El preorden de mayorización puede extenderse naturalmente a matrices de densidad en el contexto de la información cuántica . [5] [7] En particular, exactamente cuándo (donde indica el espectro del estado ).
De manera similar, se puede decir que un operador hermitiano , mayoriza a otro, si el conjunto de valores propios de mayoriza el de .
^ Talagrand, Michel (1 de julio de 1996). "Medidas mayorizadoras: el encadenamiento genérico". Los anales de la probabilidad . 24 (3). doi : 10.1214/aop/1065725175 . ISSN 0091-1798.
^ abc Barry C. Arnold. "La mayorización y la orden de Lorenz: una breve introducción". Notas de conferencias de estadística de Springer-Verlag, vol. 43, 1987.
^ Xingzhi, Zhan (2003). "El agudo teorema de Rado para las mayorizaciones". El Mensual Matemático Estadounidense . 110 (2): 152-153. doi :10.2307/3647776. JSTOR 3647776.
^ Publicación del 3 de julio de 2005 de Fleeting_guest en el hilo "La desigualdad de Karamata", foros de la comunidad de AoPS . Archivado el 11 de noviembre de 2020.
^ Marshall, Albert W. (2011). "14, 15". Desigualdades: teoría de la mayorización y sus aplicaciones. Ingram Olkin, Barry C. Arnold (2ª ed.). Nueva York: Springer Science+Business Media, LLC. ISBN978-0-387-68276-1. OCLC 694574026.
^ Wehrl, Alfred (1 de abril de 1978). "Propiedades generales de la entropía". Reseñas de Física Moderna . 50 (2): 221–260. Código Bib : 1978RvMP...50..221W. doi :10.1103/RevModPhys.50.221.
Referencias
J. Karamata. "Sur une inegalite relativo aux fonctions convexes". Publ. Matemáticas. Univ. Belgrado 1, 145-158, 1932.
GH Hardy, JE Littlewood y G. Pólya, Inequalities , 2.ª edición, 1952, Cambridge University Press, Londres.
Desigualdades: teoría de la mayorización y sus aplicaciones Albert W. Marshall, Ingram Olkin , Barry Arnold, segunda edición. Serie Springer en Estadística. Springer, Nueva York, 2011. ISBN 978-0-387-40087-7
Un homenaje al libro de Marshall y Olkin "Desigualdades: teoría de la mayorización y sus aplicaciones"
Temas de análisis matricial (1994) Roger A. Horn y Charles R. Johnson, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46713-1
Mayorización y funciones matriciales monótonas en comunicaciones inalámbricas (2007) Eduard Jorswieck y Holger Boche, Now Publishers, ISBN 978-1-60198-040-3
La clase magistral de Cauchy Schwarz (2004) J. Michael Steele, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54677-5