En matemáticas , un matroide algebraico es un matroide , una estructura combinatoria , que expresa una abstracción de la relación de independencia algebraica .
Dada una extensión de campo L / K , se puede utilizar el lema de Zorn para demostrar que siempre existe un subconjunto algebraicamente independiente máximo de L sobre K . Además, todos los subconjuntos algebraicamente independientes máximos tienen la misma cardinalidad , conocida como el grado de trascendencia de la extensión.
Para cada conjunto finito S de elementos de L , los subconjuntos algebraicamente independientes de S satisfacen los axiomas que definen los conjuntos independientes de un matroide . En este matroide, el rango de un conjunto de elementos es su grado de trascendencia, y el plano generado por un conjunto T de elementos es la intersección de L con el cuerpo K [ T ]. [1] Un matroide que se puede generar de esta manera se llama algebraico o algebraicamente representable . [2] No se conoce una buena caracterización de los matroides algebraicos, [3] pero se sabe que ciertos matroides no son algebraicos; el más pequeño es el matroide Vámos . [4] [5]
Muchos matroides finitos pueden representarse mediante una matriz sobre un cuerpo K , en la que los elementos del matroide corresponden a columnas de la matriz, y un conjunto de elementos es independiente si el conjunto correspondiente de columnas es linealmente independiente . Todo matroide con una representación lineal de este tipo sobre un cuerpo F puede representarse también como un matroide algebraico sobre F , [6] [7] eligiendo un indeterminado para cada fila de la matriz, y utilizando los coeficientes de la matriz dentro de cada columna para asignar a cada elemento del matroide una combinación lineal de estos trascendentales. Para cuerpos de característica cero (como los números reales) coinciden los matroides lineales y algebraicos, pero para otros cuerpos pueden existir matroides algebraicos que no sean lineales; [8] [9] de hecho el matroide no-Pappus es algebraico sobre cualquier cuerpo finito, pero no lineal ni algebraico sobre cualquier cuerpo de característica cero. [7] Sin embargo, si un matroide es algebraico sobre un cuerpo F de característica cero, entonces es lineal sobre F ( T ) para algún conjunto finito de trascendentales T sobre F [5] y sobre el cierre algebraico de F . [7]
Si un matroide es algebraico sobre una extensión simple F ( t ), entonces es algebraico sobre F . De ello se deduce que la clase de matroides algebraicas está cerrada bajo contracción , [10] y que un matroide algebraico sobre F es algebraico sobre el cuerpo primo de F . [11]
La clase de matroides algebraicas está cerrada bajo truncamiento y unión de matroides. [12] No se sabe si el dual de un matroide algebraico es siempre algebraico [13] y no existe una caracterización menor excluida de la clase. [12]
El conjunto característico (algebraico) K ( M ) de un matroide M es el conjunto de características posibles de los campos sobre los que M es algebraicamente representable. [7]