Matriz de ponderación

Dispositivo de pesaje matemático

Las matrices de pesaje se denominan así debido a su uso para medir de forma óptima los pesos individuales de múltiples objetos. ^{[1] [2]}

En matemáticas , una matriz de ponderación de orden y peso es una matriz con entradas del conjunto tales que: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \{0,1,-1\}}$

${\displaystyle WW^{\mathsf {T}}=wI_{n}}$

Donde es la transpuesta de y es la matriz identidad de orden . El peso también se denomina grado de la matriz. Por conveniencia, una matriz de ponderación de orden y peso se denota a menudo por . ^[3] ${\displaystyle W^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle W(n,w)}$

Las matrices de pesaje se denominan así debido a su uso para medir de forma óptima los pesos individuales de varios objetos. Cuando el dispositivo de pesaje es una balanza , la varianza estadística de la medición se puede minimizar pesando varios objetos a la vez, incluidos algunos objetos en el platillo opuesto de la balanza donde se restan de la medición. ^{[1] [2]}

Propiedades

Algunas propiedades son inmediatas a partir de la definición. Si es a , entonces: ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W(n,w)}$

• Las filas de son ortogonales entre sí . De manera similar, las columnas son ortogonales entre sí. ${\displaystyle W}$
• Cada fila y cada columna tiene exactamente elementos distintos de cero. ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle w}$
• ${\displaystyle W^{\mathsf {T}}W=wI}$, ya que la definición significa que , donde es la inversa de . ${\displaystyle W^{-1}=w^{-1}W^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle W^{-1}}$ ${\displaystyle W}$
• ${\displaystyle \det W=\pm w^{n/2}}$donde es el determinante de . ${\displaystyle \det W}$ ${\displaystyle W}$

Una matriz de ponderación es una generalización de la matriz de Hadamard , que no permite entradas cero. ^[3] Como dos casos especiales, a es una matriz de Hadamard ^[3] y a es equivalente a una matriz de conferencia . ${\displaystyle W(n,n)}$ ${\displaystyle W(n,n-1)}$

Aplicaciones

Diseño de experimentos

Las matrices de pesaje toman su nombre del problema de medir el peso de múltiples objetos. Si un dispositivo de medición tiene una varianza estadística de , entonces medir los pesos de los objetos y restar el peso de tara (igualmente impreciso) dará como resultado una medición final con una varianza de . ^[4] Es posible aumentar la precisión de los pesos estimados midiendo diferentes subconjuntos de los objetos, especialmente cuando se utiliza una balanza donde los objetos se pueden colocar en el platillo de medición opuesto donde restan su peso de la medición. ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 2\sigma ^{2}}$

Se puede utilizar una matriz de orden para representar la colocación de objetos (incluido el peso de tara) en los ensayos. Supongamos que el platillo izquierdo de la balanza suma a la medición y el platillo derecho resta a la medición. Cada elemento de esta matriz tendrá: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle w_{ij}}$

${\displaystyle w_{ij}={\begin{cases}0&{\text{if on the }}i{\text{th trial the }}j{\text{th object was not measured}}\\1&{\text{if on the }}i{\text{th trial the }}j{\text{th object was placed in the left pan}}\\-1&{\text{if on the }}i{\text{th trial the }}j{\text{th object was placed in the right pan }}\\\end{cases}}}$

Sea un vector columna de las mediciones de cada uno de los ensayos, sean los errores de estas mediciones, cada uno independiente e idénticamente distribuido con varianza , y sea un vector columna de los pesos verdaderos de cada uno de los objetos. Entonces tenemos: ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {e} }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \mathbf {x} =W\mathbf {y} +\mathbf {e} }$

Suponiendo que no es singular , podemos utilizar el método de mínimos cuadrados para calcular una estimación de los pesos reales: ${\displaystyle W}$

${\displaystyle \mathbf {y} =(W^{T}W)^{-1}W\mathbf {x} }$

La varianza del vector estimado no puede ser menor que , y será mínima si y solo si es una matriz de ponderación. ^{[4] [5]} ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}/n}$ ${\displaystyle W}$

Medición óptica

Para medir el espectro de la luz entrante (4) se utiliza una máscara óptica (3) basada en una matriz de ponderación. Según el elemento correspondiente de la matriz, la luz se absorbe o pasa a uno de los dos detectores de intensidad (1,2). ^[6]

Las matrices de pesaje aparecen en la ingeniería de espectrómetros , escáneres de imágenes ^[6] y sistemas de multiplexación óptica ^[5] . El diseño de estos instrumentos implica una máscara óptica y dos detectores que miden la intensidad de la luz. La máscara puede transmitir luz al primer detector, absorberla o reflejarla hacia el segundo detector. La medición del segundo detector se resta de la primera, por lo que estos tres casos corresponden a elementos de matriz de pesaje de 1, 0 y −1 respectivamente. Como este es esencialmente el mismo problema de medición que en la sección anterior, también se aplica la utilidad de las matrices de pesaje ^{[6] .}

Diseños ortogonales

Un diseño ortogonal de orden y tipo donde son números enteros positivos, es una matriz cuyas entradas están en el conjunto , donde son variables conmutativas. Además, un diseño ortogonal debe satisfacer: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (s_{1},\dots ,s_{u})}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \{0,\pm x_{1},\dots ,\pm x_{u}\}}$ ${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle XX^{T}=\sum _{i=0}^{u}s_{i}x_{i}^{2}}$

Esta restricción también es equivalente a que las filas sean ortogonales y que cada fila tenga exactamente ocurrencias de . ^[7] Un diseño ortogonal se puede denotar como . ^[8] Un diseño ortogonal de una variable es una matriz de ponderación, por lo que los dos campos de estudio están conectados. ^[7] Debido a esta conexión, se pueden descubrir nuevos diseños ortogonales por medio de matrices de ponderación. ^[9] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle \mathrm {OD} (n;s_{1},\dots ,s_{u})}$

Ejemplos

Tenga en cuenta que, cuando se muestran matrices de ponderación, se utiliza el símbolo para representar −1. A continuación, se muestran algunos ejemplos: ${\displaystyle -}$

Esto es un : ${\displaystyle W(2,2)}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\1&-\end{pmatrix}}}$

Esto es un : ${\displaystyle W(4,3)}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&-&0&1\\1&0&-&-\\0&1&-&1\end{pmatrix}}}$

Esto es un : ${\displaystyle W(7,4)}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&1&1&0&0&0\\1&-&0&0&1&1&0\\1&0&-&0&-&0&1\\1&0&0&-&0&-&-\\0&1&-&0&0&1&-\\0&1&0&-&1&0&1\\0&0&1&-&-&1&0\end{pmatrix}}}$

Otro : ${\displaystyle W(7,4)}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-&1&1&0&1&0&0\\0&-&1&1&0&1&0\\0&0&-&1&1&0&1\\1&0&0&-&1&1&0\\0&1&0&0&-&1&1\\1&0&1&0&0&-&1\\1&1&0&1&0&0&-\end{pmatrix}}}$

Que es circulante , es decir, cada fila es un desplazamiento cíclico de la fila anterior. Una matriz de este tipo se denomina y está determinada por su primera fila. Las matrices de ponderación circulantes son de especial interés ya que su estructura algebraica las hace más fáciles de clasificar. De hecho, sabemos que una matriz de ponderación circulante de orden y peso debe ser de peso cuadrado . Por tanto, los pesos son permisibles y los pesos han sido completamente clasificados. ^[10] Dos casos especiales (y en realidad, extremos) de matrices de ponderación circulantes son (A) matrices de Hadamard circulantes que se conjetura que no existen a menos que su orden sea menor que 5. Se sabe que esta conjetura, la conjetura de Hadamard circulante planteada por primera vez por Ryser, es verdadera para muchos órdenes pero sigue estando abierta . (B) de peso y orden mínimo existen si es una potencia prima y una matriz de ponderación circulante de este tipo se puede obtener firmando el complemento de un plano proyectivo finito . Puesto que todos para han sido clasificados, el primer caso abierto es . El primer caso abierto para una matriz de ponderación general (ciertamente no circulante) es . ${\displaystyle CW(n,k)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 1,4,9,16,...}$ ${\displaystyle k\leq 25}$ ${\displaystyle CW(n,k)}$ ${\displaystyle k=s^{2}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle CW(n,k)}$ ${\displaystyle k\leq 25}$ ${\displaystyle CW(105,36)}$ ${\displaystyle W(35,25)}$

Equivalencia

Se considera que dos matrices de ponderación son equivalentes si una puede obtenerse de la otra mediante una serie de permutaciones y negaciones de las filas y columnas de la matriz. La clasificación de las matrices de ponderación es completa para los casos en los que así como para todos los casos en los que también se completan. ^[11] Sin embargo, se ha hecho muy poco más allá de esto, con excepción de la clasificación de matrices de ponderación circulantes. ^{[12] [13]} ${\displaystyle w\leq 5}$ ${\displaystyle n\leq 15}$

Existencia

Una de las principales cuestiones abiertas sobre las matrices de ponderación es su existencia: ¿para qué valores de y existe una ? Se han propuesto las siguientes conjeturas sobre la existencia de : ^[7] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle W(n,w)}$ ${\displaystyle W(n,w)}$

1. Si entonces existe un si y sólo si es la suma de dos cuadrados enteros. ${\displaystyle n\equiv 2{\pmod {4}}}$ ${\displaystyle W(n,w)}$ ${\displaystyle w<n-1}$
2. Si entonces existe un para cada . ${\displaystyle n\equiv 0{\pmod {4}}}$ ${\displaystyle W(n,w)}$ ${\displaystyle w<n}$
3. Si entonces existe un diseño ortogonal para todos donde es la suma de tres cuadrados enteros. ${\displaystyle n\equiv 4{\pmod {8}}}$ ${\displaystyle \mathrm {OD} (n;1,1)}$ ${\displaystyle k<n}$ ${\displaystyle k}$
4. Si entonces existe un diseño ortogonal para todos . ${\displaystyle n\equiv 0{\pmod {8}}}$ ${\displaystyle \mathrm {OD} (n;1,k)}$ ${\displaystyle k<n}$
5. Si entonces existe un diseño ortogonal para todos tales que , un entero. ${\displaystyle n\equiv 2{\pmod {4}}}$ ${\displaystyle \mathrm {OD} (n;1,k)}$ ${\displaystyle k<n-1}$ ${\displaystyle k=a^{2}}$ ${\displaystyle a}$

Aunque las tres últimas conjeturas son afirmaciones sobre diseños ortogonales, se ha demostrado que la existencia de un diseño ortogonal es equivalente a la existencia de matrices de ponderación de orden donde tiene peso . ^[7] ${\displaystyle \mathrm {OD} (n;s_{1},\dots ,s_{u})}$ ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{u}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle s_{i}}$

Una pregunta igualmente importante, pero a menudo pasada por alto, sobre las matrices de ponderación es su enumeración: para un y dado , ¿cuántas hay? ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle W(n,w)}$

Referencias

1. Raghavarao, Damaraju (1960). "Algunos aspectos de los diseños de pesaje". Anales de estadística matemática . 31 (4). Instituto de estadística matemática: 878–884. doi : 10.1214/aoms/1177705664 . ISSN  0003-4851.
2. Seberry, Jennifer (2017). "Algunos resultados de no existencia algebraica y combinatoria". Orthogonal Designs . Cham: Springer International Publishing. págs. 7-17. doi :10.1007/978-3-319-59032-5_2. ISBN 978-3-319-59031-8.
3. Geramita, Anthony V.; Pullman, Norman J.; Wallis, Jennifer S. (1974). "Familias de matrices de pesaje". Boletín de la Sociedad Matemática Australiana . 10 (1). Cambridge University Press (CUP): 119–122. doi :10.1017/s0004972700040703. ISSN  0004-9727. S2CID  122560830.
4. Raghavarao, Damaraju (1971). "Diseños de pesaje". Construcciones y problemas combinatorios en el diseño de experimentos . Nueva York: Wiley. pp. 305–308. ISBN 978-0471704850.
5. Koukouvinos, Christos; Seberry, Jennifer (1997). "Matrices de ponderación y sus aplicaciones". Revista de planificación estadística e inferencia . 62 (1). Elsevier BV: 91–101. doi :10.1016/s0378-3758(96)00172-3. ISSN  0378-3758. S2CID  122205953.
6. Sloane, Neil JA; Harwit, Martin (1976-01-01). "Máscaras para óptica de transformada de Hadamard y diseños de pesaje". Óptica Aplicada . 15 (1). The Optical Society: 107–114. Bibcode :1976ApOpt..15..107S. doi :10.1364/ao.15.000107. ISSN  0003-6935. PMID  20155192.
7. Geramita, Anthony V.; Seberry, Jennifer (1974). "Diseños ortogonales III: matrices de ponderación". Utilitas Mathematica .
8. Charles J. Colbourn (1996). "Diseños ortogonales". En Colbourn, Charles J. (ed.). Manual CRC de diseños combinatorios (1 ed.). Boca Ratón: CRC Press. pag. 400. doi : 10.1201/9781003040897. ISBN 9781003040897.
9. Kotsireas, Ilias; Koukouvinos, Christos; Seberry, Jennifer (2008). "Nuevos diseños ortogonales a partir de matrices de pesaje". Australasian Journal of Combinatorics . 40 : 99–104.
10. Arasu, KT; Gordon, Daniel M.; Zhang, Yiran (2019). "Nuevos resultados de inexistencia en matrices de pesaje circulantes". arXiv : 1908.08447v3 . {{cite journal}}: Requiere citar revista |journal=( ayuda )
11. Harada, Masaaki; Munemasa, Akihiro (2012). "Sobre la clasificación de matrices de pesaje y códigos autorrotogonales". J. Combin. Designs . 20 : 40–57. arXiv : 1011.5382 . doi :10.1002/jcd.20295. S2CID  1004492.
12. Ang, Miin Huey; Arasu, KT; Lun Ma, Siu; Strassler, Yoseph (2008). "Estudio de matrices de pesaje circulantes adecuadas con peso 9". Matemáticas discretas . 308 (13): 2802–2809. doi : 10.1016/j.disc.2004.12.029 .
13. Arasu, KT; Hin Leung, Ka; Lun Ma, Siu; Nabavi, Ali; Ray-Chaudhuri, DK (2006). "Determinación de todos los órdenes posibles de peso 16 matrices de pesaje circulantes". Campos finitos y sus aplicaciones . 12 (4): 498–538. doi : 10.1016/j.ffa.2005.06.009 .